利用費(fèi)馬原理 求解最值問題

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校,安徽 太和 236652)

滿足什么條件“時(shí)間最短”“做功最少”“造價(jià)最低”等問題是物理研究和生活中常見的最值問題.而費(fèi)馬原理說的是光在介質(zhì)中兩確定點(diǎn)之間傳播時(shí),總是沿光程(即時(shí)間)最短的路徑傳播,涉及到“時(shí)間最短”問題.如果對(duì)光的折射規(guī)律進(jìn)一步推廣,還可以推理出與行程問題有關(guān)的其他量存在最值的條件[1].所以,利用費(fèi)馬原理可以比較方便地解決一些相關(guān)的確定一些量最值的實(shí)際問題.

1 利用費(fèi)馬原理證明光的折射定律

利用費(fèi)馬原理,很容易證明“在同種均勻介質(zhì)中光沿直線傳播”、光在反射時(shí)“反射角等于入射角”等光學(xué)規(guī)律.光在兩種介質(zhì)分界面發(fā)生折射時(shí),折射角與入射角間的定量關(guān)系:“折射角與入射角正弦之比等于光在兩種介質(zhì)中傳播速度之比”這一規(guī)律,也可以通過費(fèi)馬原理進(jìn)行邏輯推導(dǎo).

如圖1所示,設(shè)l是兩種介質(zhì)的分界面,A、O分別是兩種介質(zhì)中的兩定點(diǎn),一條光線由A點(diǎn)發(fā)出,經(jīng)界面B點(diǎn)折射后傳播至O點(diǎn).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于分界面的方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A(a,b),光在兩種介質(zhì)中的傳播速度分別是v1和v2,入射角和折射角分別是α和β,若O點(diǎn)到分界面的豎直距離為h(h

圖1 光在兩種介質(zhì)中折射示意圖 圖2 落水及施救人員初始位置圖示

由圖可知,光從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)B傳播到O需要的時(shí)間為:

為確定時(shí)間的最小值,將時(shí)間t對(duì)x求導(dǎo)可得:

令t′=0可得:

實(shí)際上,我們上面利用費(fèi)馬原理推導(dǎo)光的折射定律的推理過程中,得出的等式(1)是一個(gè)關(guān)于B點(diǎn)橫坐標(biāo)x的一元方程,而實(shí)際問題需要在某個(gè)變化過程中求相關(guān)量的最大值或最小值時(shí),往往需要確定類似光的折射問題中折射點(diǎn)位置的其他相關(guān)問題中“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”的位置,所以,確定方程(1)的解就顯得尤為重要.

2 費(fèi)馬原理在行程問題確定時(shí)間最值時(shí)的應(yīng)用

例1 如圖2所示,一幼童不慎落入河水中的B點(diǎn),岸上的人員在A處聞?dòng)嵑?迅速跑步前去救援,已知救援人員得到信息時(shí)距離河岸30 m,落水者距離河岸24 m,二人水平距離為47 m,若救援人員在岸上跑步的最大速度和水中游泳的最大速度分別是8 m/s和2.8 m/s,問救援人員最短在多長時(shí)間內(nèi)可以到達(dá)落水幼童處?(結(jié)果保留分?jǐn)?shù))

解析救援人員有無數(shù)種救援路徑可以選擇,最容易想到的是圖3所示的幾種情形,由以上分析可知,這些都不是救援人員按最大速度到達(dá)落水幼童位置時(shí)間最短的行走路線,救援人員行走和游泳總時(shí)間最短的路徑應(yīng)該滿足費(fèi)馬原理,即光的折射規(guī)律[2].

圖3 幾種常見施救路徑圖示 圖4 相關(guān)角度和距離圖示

3 費(fèi)馬原理在其它問題確定最值時(shí)的應(yīng)用

例2如圖5所示,A、B兩城之間有一塊寬度為24 km的矩形沼澤地,兩城到沼澤地邊緣的垂直距離分別是18 km和6 km,兩城在平行于沼澤地邊緣方向上的距離是39 km.現(xiàn)欲在兩城市之間修建一條高速公路.經(jīng)測算陸地上公路的造價(jià)是0.7億元/公里,沼澤地上公路造價(jià)是2億元/公里,請?jiān)O(shè)計(jì)公路的走向,使總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià).

圖5 兩城之間地況數(shù)據(jù)圖示 圖6 兩城之間修建公路示意圖

解得:x=8

因此,整個(gè)工程的最小總造價(jià)為P最小=s陸地a陸地+s沼澤地a沼澤地=40×0.7+25×20億元=78億元

答:修建公路的最低總造價(jià)為78億元.

由上面的這些例子可以看出,費(fèi)馬原理不僅可以解決行程問題中特定情況下時(shí)間的最小值,也可以解決與行程問題類似的其他跟路程相關(guān)的有關(guān)量的最值[4].