立足基本圖形 培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)
——以2023年高考全國(guó)卷立體幾何試題為例

姚振暉

(福建省永春美嶺中學(xué),福建 泉州 362619)

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段[1]. 直觀想象要求考生能夠借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型,探索解決問(wèn)題的思路[2]. 高考數(shù)學(xué)中直觀想象素養(yǎng)的考查要求為:能根據(jù)條件畫(huà)出正確的圖形,根據(jù)圖形想象出直觀形象;能正確分析圖形中的基本元素及其相互關(guān)系;能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合;會(huì)運(yùn)用圖形等手段形象地揭示問(wèn)題的本質(zhì)[3].

1 正方體模型

例1(2023年全國(guó)甲卷理科15題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為CD,A1B1的中點(diǎn),則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為_(kāi)___．

解析不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,EF中點(diǎn)為O,取AB,BB1中點(diǎn)G,M,側(cè)面BB1C1C的中心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖1所示.

圖1 正方體

同理,根據(jù)正方體的對(duì)稱性知,其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn),所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

評(píng)析通過(guò)直觀想象與簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算,可以確定以EF為直徑的球的球心O也是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心O,所以,點(diǎn)O到各棱的距離均等于OE,因此以EF為直徑的球的球面與正方體的棱共有12個(gè)公共點(diǎn).

2 三棱錐模型

(1)證明:EF∥平面ADO;

(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

圖2 例2示意圖

評(píng)析先通過(guò)解三角形確定F為AC的中點(diǎn),利用中位線的性質(zhì)得到EF∥PC∥DO,再根據(jù)線面平行的判定定理可以得出第(1)問(wèn)的結(jié)論. 第(2)問(wèn)通過(guò)圖形判斷要證明的核心結(jié)論是AO⊥平面BEF,所以要在平面BEF中找到兩條相交直線和AO垂直,結(jié)論的證明為第(3)問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系做鋪墊.

3 圓錐模型

例3(2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第9題)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則( )．

A．該圓錐的體積為π

評(píng)析本題以多選題的形式全面考查了圓錐的內(nèi)容. 如圖3所示,通過(guò)二面角P-AC-O為45°可以確定點(diǎn)C在底面圓周上的位置. 再根據(jù)圓錐的母線長(zhǎng)為2,可以得到圓錐的底面圓半徑和高,為后面的計(jì)算奠定基礎(chǔ).題目的四個(gè)選項(xiàng)設(shè)問(wèn)逐次遞進(jìn),前面的選項(xiàng)為后面的選項(xiàng)提供條件.

圖3 圓錐

4 三棱柱的外接球模型

例4(2023年乙卷文科第16題)已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=____．

圖4 三棱柱

評(píng)析本題雖然是考查三棱錐的外接球問(wèn)題,但由于SA⊥平面ABC,所以可把三棱錐S-ABC放到三棱柱SMN-ABC中,這樣,就將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為了三棱柱的外接球. 因?yàn)槿忮F的外接球形式多樣,但三棱柱的外接球模型比較簡(jiǎn)單,如圖4,易知三棱柱的外接球的球心O就是兩個(gè)底面三角形外接圓圓心的中心,而AO1就是△ABC外接圓的半徑,利用正弦定理可輕松得到.

5 正方體的內(nèi)切球模型

例5(2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第12題)下列物體中,能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有( ).

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m,高為1.8 m的圓柱體

D.底面直徑為1.2 m,高為0.01 m的圓柱體

解析對(duì)于選項(xiàng)A,如圖5,因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球(與各個(gè)面都相切)的直徑為1,且1>0.99,所以A正確.

圖5 正方體內(nèi)切球 圖6 正四面體放入正方體內(nèi)

圖7 正方體內(nèi)放不下圓柱

圖8 正方體的截面 圖9 正六邊形

評(píng)析以正方體的內(nèi)接幾何體(包括球、正四面體、圓柱等)為情境,考查正方體的棱長(zhǎng)、面對(duì)角線的長(zhǎng)和體對(duì)角線的長(zhǎng)的關(guān)系等. 結(jié)合組合體的位置關(guān)系,利用空間問(wèn)題平面化,通過(guò)分析選項(xiàng)中各個(gè)幾何體與正方體的棱長(zhǎng)、面對(duì)角線和體對(duì)角線長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系迅速找到破解此題的切入點(diǎn).

縱觀2023年高考全國(guó)卷的立體幾何試題,基本上都是以基本圖形為模型,考查線面關(guān)系、外接球、內(nèi)切球以及截面問(wèn)題. 這些試題在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和邏輯推理核心素養(yǎng)的同時(shí),更全面考查了考生的直觀想象核心素養(yǎng). 平時(shí)要注意積累一些常見(jiàn)幾何體的內(nèi)切和外接模型,以及熟悉空間幾何體的截面問(wèn)題.