極坐標(biāo)像素平鋪法獲取整體式立銑刀螺旋槽端截面廓形的研究＊

游明琳

（貴州師范大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550001）

整體式立銑刀因具備良好的切削加工性能而在制造業(yè)中得到廣泛應(yīng)用[1]。螺旋槽是整體式立銑刀的重要組成部分，其幾何結(jié)構(gòu)直接影響銑刀的切削性能和加工零件的表面質(zhì)量，因此需要通過(guò)建模仿真的方式進(jìn)行預(yù)先分析，并計(jì)算前角、芯徑和槽寬等關(guān)鍵幾何參數(shù)[2-3]。分析和計(jì)算方式可以先精確獲取螺旋槽截面廓形再求相關(guān)參數(shù)，或者先對(duì)螺旋槽準(zhǔn)確建模再測(cè)算相關(guān)參數(shù)[4]。近年來(lái)眾多學(xué)者致力于研究螺旋槽建模及重要參數(shù)求解，主要提出了3 種方法：解析法、布爾運(yùn)算法和圖形法[5]。（1）解析法以嚙合原理為核心，根據(jù)砂輪與刀具的包絡(luò)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，求出砂輪與螺旋槽之間的瞬時(shí)接觸線方程。Kang S K 等[6-7]建立了刃磨過(guò)程中砂輪與銑刀之間的接觸線方程，并給出了螺旋槽的計(jì)算方法。Dogrusadik A[8]將包絡(luò)運(yùn)動(dòng)關(guān)系應(yīng)用在球頭銑刀螺旋銑削中，給出了螺旋槽橫截面輪廓的方程。Rababah M[9]詳細(xì)介紹了解析法在刀具加工和建模中的應(yīng)用。Habibi M 等[10]提出了利用虛擬磨削曲線特征求解螺旋槽幾何輪廓的方法。Chen Z 等[11]

基于砂輪與刀具的包絡(luò)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，用迭代法計(jì)算銑刀螺旋槽二開(kāi)槽磨削的算法。Shen C 等[12]實(shí)現(xiàn)了砂輪加工刀具螺旋槽的參數(shù)化設(shè)計(jì)。

（2）布爾運(yùn)算法借助于三維建模軟件的布爾（Boolean）運(yùn)算功能，按照加工軌跡細(xì)分，不斷調(diào)整砂輪與被磨刀具之間姿態(tài)，連續(xù)進(jìn)行布爾運(yùn)算操作，從而獲得螺旋槽三維模型。Kim J H 等[13]利用三維軟件建立了立銑刀螺旋槽的實(shí)體模型，并定義了前刀面前角、芯徑等刀具幾何參數(shù)。Pei Q 等[14]利用三維軟件建立了球頭銑刀數(shù)控磨削建模與仿真的實(shí)用方法。Li G C 等[15]通過(guò)布爾運(yùn)算方法模擬實(shí)際螺旋槽的磨削過(guò)程，提出了由已知的砂輪幾何外形得到螺旋槽模型的方法。Tost D 等[16]對(duì)刀具的橫截面進(jìn)行動(dòng)態(tài)布爾運(yùn)算并重建了螺旋槽三維模型。

（3）圖形法，主要是將砂輪進(jìn)行離散化表達(dá)，然后根據(jù)砂輪與被磨刀具之間的相對(duì)空間位姿幾何關(guān)系，將螺旋槽描述為若干切削軌跡疊加包絡(luò)形成[17]。圖形法所采用的幾何理論簡(jiǎn)單，幾乎適用于任何類型砂輪形狀的加工計(jì)算，但每個(gè)離散點(diǎn)都由迭代運(yùn)算產(chǎn)生，所以識(shí)別或提取螺旋槽截面離散點(diǎn)的邊界成為圖形法研究的難點(diǎn)。眾多學(xué)者紛紛在圖形法的廓形識(shí)別和提取方法上不斷進(jìn)行創(chuàng)新，研究出各種各樣圖形圖像法，使得算法能夠更高效、更高精度識(shí)別或提取理論截面廓形邊界。

Li G C 等[18]將螺旋槽刃磨過(guò)程轉(zhuǎn)化為離散點(diǎn)云處理，并將立銑刀端截面離散為一系列圓環(huán)，通過(guò)這些離散圓環(huán)內(nèi)邊界點(diǎn)的計(jì)算獲得螺旋槽端面輪廓。中國(guó)臺(tái)灣的吳育仁等[19]提出RRS （radial-ray shooting）用以取代傳統(tǒng)的齒輪包絡(luò)原理進(jìn)行圓柱形成形磨齒及模擬加工的計(jì)算求解出精確的工件齒形。沈志煌等[20]提出DSG（digital scanning graphic），通過(guò)掃描屏幕上刀具切削軌跡包絡(luò)面的像素點(diǎn)，從而獲得轉(zhuǎn)子的輪廓數(shù)據(jù)。

本研究探索了一種圖形圖像法求解螺旋槽廓形的新算法，能獲取滿足設(shè)計(jì)和加工要求精度的刀具螺旋槽端截面廓形，簡(jiǎn)稱極坐標(biāo)像素平鋪法（polar pixel method，PPM）。該方法直接由離散點(diǎn)云結(jié)合數(shù)學(xué)形態(tài)快速求解螺旋槽橫截面輪廓點(diǎn)云圖像提取邊界，運(yùn)算過(guò)程直觀，解值穩(wěn)定，避開(kāi)求解接觸線方程，是圖形法又一創(chuàng)新研究和應(yīng)用。

1 砂輪磨削螺旋槽包絡(luò)原理

砂輪磨制螺旋槽的實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程是砂輪以確定的位姿沿棒料軸線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)棒料繞軸線旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，二者共同構(gòu)成螺旋運(yùn)動(dòng)。在對(duì)螺旋槽磨制過(guò)程進(jìn)行分析時(shí)通常將棒料看作固定不動(dòng)，砂輪在棒料坐標(biāo)系下做螺旋運(yùn)動(dòng)，這樣就將兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系轉(zhuǎn)換為只有砂輪的運(yùn)動(dòng)。建立刀具坐標(biāo)系[o;x,y,z]和砂輪坐標(biāo)系[o′;X,Y,Z]，如圖1 所示。其中砂輪軸線和刀具軸線間的夾角為Σ（安裝角），兩坐標(biāo)系原點(diǎn)沿y軸方向的距離為a（中心距），沿x軸方向的距離為e（ 偏心距），沿z軸方向的距離為d（安全距離）。

設(shè)砂輪軸截面輪廓方程f(t)，在砂輪坐標(biāo)系[o′;X,Y,Z]中建立砂輪回轉(zhuǎn)面方程（1）。

式中：t為參變量，t∈[0,b]；b為砂輪厚度； φG為參變量，φG∈[-π,π]，表示在砂輪某一厚度t對(duì)應(yīng)的平面內(nèi)繞砂輪軸線旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

如圖1 所示，根據(jù)砂輪安裝位置關(guān)系和坐標(biāo)變換原理，容易得出刀具坐標(biāo)系 [o;x,y,z]與砂輪坐標(biāo)系[o′;X,Y,Z]的變換關(guān)系變換矩陣M為

根據(jù)變換關(guān)系可得到砂輪回轉(zhuǎn)面點(diǎn)云轉(zhuǎn)換到刀具坐標(biāo)系[o;x,y,z]下的方程為

則可求得在刃磨過(guò)程中砂輪輪廓面點(diǎn)云形成的曲線簇方程為

用垂直于刀具軸線的平面z=0 截取螺旋槽點(diǎn)云形成的曲線簇，獲得曲線簇在該平面上留下的點(diǎn)云，令z=0，由式（5）可得θ=-zg/p，進(jìn)而可求得砂輪做螺旋運(yùn)動(dòng)包絡(luò)形成的運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)的端截面投影為

設(shè)刀具半徑為r，則螺旋槽端截面包絡(luò)點(diǎn)滿足在限制條件x2-y2≤r2內(nèi)。

2 螺旋槽輪廓提取方法

PPM 法是借用計(jì)算機(jī)圖像處理的原理，將大量點(diǎn)云數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)成極坐標(biāo)像素后結(jié)合數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)快速獲得點(diǎn)云邊界的一種方法。首先將砂輪離散化處理，并根據(jù)砂輪與刀具之間的相對(duì)位姿關(guān)系（即加工安裝參數(shù)）進(jìn)行砂輪與刀具的坐標(biāo)變換，提取刀具外圓內(nèi)所包絡(luò)數(shù)據(jù)點(diǎn)云，即刀具螺旋槽端截面點(diǎn)云。然后將螺旋槽端截面點(diǎn)云由笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)，生成二值圖像并結(jié)合數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)提取圖像邊界，最后將圖像邊界還原獲得螺旋槽廓形邊界。

2.1 包絡(luò)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)云生成

根據(jù)圖1 設(shè)定砂輪與刀具的空間位置關(guān)系，將離散的砂輪面點(diǎn)云在刀具坐標(biāo)系下繞z軸做螺旋運(yùn)動(dòng)，收集在平面（z=0）留下的所有包絡(luò)點(diǎn)，如圖2所示。

圖2 螺旋槽端截面的包絡(luò)點(diǎn)云圖

設(shè)定邊界條件為刀具半徑r，按式（6）收集端截面在刀具外圓范圍內(nèi)所有包絡(luò)點(diǎn)云，稱為目標(biāo)點(diǎn)云，即滿足要求的刀具端截形點(diǎn)云，如圖3 所示。

圖3 符合刀具半徑內(nèi)的包絡(luò)點(diǎn)云圖

2.2 極坐標(biāo)像素的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

本文所研究的立銑刀螺旋槽的端面截形為圓形分布的圖像，為了便于存儲(chǔ)和計(jì)算，提出一種適合數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的極坐標(biāo)像素平鋪方案。PPM 法采用扇區(qū)像素而不是直角像素進(jìn)行平鋪排列，沿圓徑向均勻分為U層圓環(huán)（U為正整數(shù)），每層圓環(huán)按等弧長(zhǎng)單位均勻劃分多個(gè)扇區(qū)，設(shè)V是最內(nèi)層區(qū)段中包含的扇區(qū)數(shù)（V為正整數(shù)），則第k層圓環(huán)從原點(diǎn)極軸開(kāi)始按弧長(zhǎng)均勻地劃分為kV個(gè)扇區(qū)，其中最外圓環(huán)被分為VU個(gè)扇區(qū)部分，整個(gè)圓面就被分成個(gè)扇區(qū)部分[21]，PPM 法像素平鋪方案如圖4 所示。

圖4 極坐標(biāo)像素平鋪方案

V和U的值應(yīng)該正確設(shè)置，設(shè)置過(guò)小，計(jì)算效率高，但可能不能充分表示圖像信息，易失真；設(shè)置較大，有利于圖像的表示，但會(huì)增加計(jì)算復(fù)雜度。所以V和U的值在設(shè)定時(shí)要盡量滿足所劃分的極坐標(biāo)像素面積大小合理，使坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換引起的圖像失真處在較低水平，從而保持必要的圖像分辨率。在實(shí)踐中，根據(jù)扇區(qū)像素面積與直角像素面積近似和扇區(qū)像素弧長(zhǎng)與直角像素邊長(zhǎng)近似，設(shè)置V=4。由此，螺旋槽點(diǎn)云在極坐標(biāo)像素平鋪方式如圖5 所示。

圖5 極坐標(biāo)像素平鋪法表示的螺旋槽

在整個(gè)圓面上按照等弧長(zhǎng)方式進(jìn)行平鋪極坐標(biāo)像素，則每個(gè)像素點(diǎn)是可以通過(guò)對(duì)應(yīng)各自的極坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，設(shè)極坐標(biāo)系為O-ρOθ，則有任意螺旋槽點(diǎn)云的笛卡爾坐標(biāo)(xj,yj)可轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)(ρj,θj) 。極坐標(biāo)和極坐標(biāo)像素之間存在相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如圖6 所示。

圖6 極坐標(biāo)與極坐標(biāo)像素轉(zhuǎn)換

設(shè)定U和V值后，每層圓環(huán)的寬度為

在每層圓弧上按等弧長(zhǎng)平鋪扇形像素，則有每個(gè)像素的外圓弧長(zhǎng)為

設(shè)m為圓環(huán)從原點(diǎn)極軸開(kāi)始均分的層數(shù)序列，n(m)為第m層的扇形像素的個(gè)數(shù)，則有n(m)=mV。

此時(shí)可以將螺旋槽點(diǎn)云的極坐標(biāo)(ρj,θj) 轉(zhuǎn)成m-n坐標(biāo)圖。

先按式（9）計(jì)算點(diǎn)云所在圓環(huán)層數(shù)mj。

式中：int為取整符號(hào)。

然后按式（10）計(jì)算點(diǎn)云所在的扇區(qū)位置。

代入δρ=r/U和δs=2πr/UV得到

由此完成笛卡爾坐標(biāo)下螺旋槽點(diǎn)云轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)像素的圖像點(diǎn)陣形式，如圖7 所示。

圖7 螺旋槽m-n圖像點(diǎn)陣

2.3 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)提取圖像邊界

螺旋槽極坐標(biāo)像素的圖像點(diǎn)陣要進(jìn)行數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算，需進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為二值圖像矩陣。處理方法為遍歷(mj,nj)點(diǎn)的位置坐標(biāo)置元素值為“1”，即前景像素（pixel value= 1）其余矩陣位置設(shè)置為“0”，即背景像素（pixel value= 0）[22]，建立螺旋槽點(diǎn)云的二值矩陣，則點(diǎn)云坐標(biāo)完成二值化處理，所生成的螺旋槽點(diǎn)云極坐標(biāo)像素平鋪的二值圖像如圖8 所示。

圖8 點(diǎn)云轉(zhuǎn)換的二值圖像

設(shè)A為原始二值圖像，B為“結(jié)構(gòu)元素”，通過(guò)膨脹運(yùn)算操作見(jiàn)式（12），可將圖像填充為連通的二值圖像，如圖9 所示，D(A)為膨脹后圖像像素集合[23-24]。

圖9 膨脹操作后圖像圖

式中： ⊕為膨脹運(yùn)算符。

然后使用膨脹運(yùn)算相同的結(jié)構(gòu)元素B 進(jìn)行腐蝕運(yùn)算操作，見(jiàn)式（13），E(A)為腐蝕后圖像像素集合，則可得到與元素圖像等大小且連通的二值圖像[23-24]。

式中： ⊕為腐蝕運(yùn)算符。

再選用相同的結(jié)構(gòu)原始B，進(jìn)行邊界β(A)的運(yùn)算操作，見(jiàn)式（14），便可獲取二值圖像的邊界[23-24]，如圖10 所示。

圖10 腐蝕操作后提取邊界圖

2.4 螺旋槽邊界輪廓還原

由于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算操作后的圖像邊界是極坐標(biāo)像素二值圖像廓形，將極坐標(biāo)像素邊界輪廓還原為笛卡爾坐標(biāo)的點(diǎn)陣形式時(shí)，需要先將輪廓像素點(diǎn)坐標(biāo)變換還原操作，獲得螺旋槽邊界點(diǎn)在極坐標(biāo)像素坐標(biāo)下點(diǎn)陣形式，如圖11 所示。

圖11 極坐標(biāo)像素邊界圖

最后將極坐標(biāo)像素邊界轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標(biāo)形式，設(shè)任一極坐標(biāo)像素邊界點(diǎn)的坐標(biāo)為pj(mj,nj)，則變化為對(duì)應(yīng)笛卡爾刀具工件坐標(biāo)(xj,yj)的表達(dá)式為

代入δρ=r/U和δs=2πr/UV得到：

轉(zhuǎn)換后即可得到還原為實(shí)際比例尺寸的螺旋槽廓形點(diǎn)。

3 實(shí)例分析

有一實(shí)際需磨削加工的硬質(zhì)合金平底立銑刀CYXV21204，其刀具參數(shù)、砂輪參數(shù)、安裝參數(shù)見(jiàn)表1～表3。

表1 刀具參數(shù)表

表2 砂輪參數(shù)表

表3 安裝參數(shù)表

在該參數(shù)條件下，離散砂輪參數(shù)φG=10 000和t=1 000，收集的螺旋槽初始目標(biāo)點(diǎn)云數(shù)為256 365，PPM 法選擇極坐標(biāo)像素平鋪參數(shù)U=1 000 和V=4，計(jì)算的廓形圖如圖12 所示。

圖12 PPM 法 U=1 000 時(shí)計(jì)算的廓形圖

在同等參數(shù)條件下使用解析法計(jì)算螺旋槽截面廓形，計(jì)算采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)為425 個(gè)，廓形圖如圖13 所示。

圖13 解析法計(jì)算的廓形圖

顯然，PPM 法所求截面廓形的精度與平鋪參數(shù)U和V直接相關(guān)，本實(shí)例取V=4，并分別選擇PPM法在U=100、U=500 和U=1 000 時(shí)的求解情況與接觸線法進(jìn)行廓形比較。比較方法是沿接觸線法廓形點(diǎn)的法線方向與PPM 法還原后廓形的交點(diǎn)距離作為誤差的值。

（1）PPM 法U=100 時(shí)，所提取的截面廓形兩者比較的誤差分布情況如圖14 所示，其中最大誤差小于10.032 4 μm。

圖14 PPM 法 U=100 與解析法廓形的誤差圖

（2）PPM 法U=500 時(shí)，所提取的截面廓形兩者比較的誤差分布情況如圖15 所示，其中最大誤差小于3.354 1μm。

圖15 PPM 法 U=500 與解析法廓形的誤差圖

（3）PPM 法U=1 000 時(shí)，所提取的截面廓形兩者比較的誤差分布情況如圖16 所示，其中最大誤差小于1.349 6 μm。

圖16 PPM 法 U=1 000 與解析法廓形的誤差圖

通過(guò)PPM 法在U=100、U=500 和U=1 000 的3種情況與解析法計(jì)算結(jié)果比較分析，發(fā)現(xiàn)廓形誤差結(jié)果隨著平鋪參數(shù)U增加而減小。當(dāng)U=1 000 時(shí)，其計(jì)算的廓形相對(duì)解析法的廓形，誤差基本在(-2 μm, 2 μm)范圍內(nèi)，說(shuō)明PPM 法U=1 000 時(shí)足夠滿足設(shè)計(jì)或加工的精度要求。

4 結(jié)語(yǔ)

為了準(zhǔn)確又穩(wěn)定地獲得螺旋槽端截面廓形，本文提出了一種新型數(shù)字化圖形解法——PPM 法。該方法通過(guò)砂輪面離散成點(diǎn)后繞被磨刀具z軸做螺旋包絡(luò)運(yùn)動(dòng)，由極坐標(biāo)像素平鋪法轉(zhuǎn)換為二值圖像，然后結(jié)合數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對(duì)二值圖像開(kāi)閉運(yùn)算，提取螺旋槽端截形的邊界廓形曲線。關(guān)于這一新方法的主要結(jié)論總結(jié)如下：

（1）本算法是以螺旋運(yùn)動(dòng)原理為基礎(chǔ)，因此不僅適用于立銑刀螺旋槽的計(jì)算，也適用于各類圓柱螺旋槽加工計(jì)算。

（2）本算法無(wú)需求解接觸線，避開(kāi)了求解非線性方程，因此該方法解值穩(wěn)定，無(wú)奇異解困擾。

（3）通過(guò)比較分析，PPM 法計(jì)算精度高，能夠滿足刀具實(shí)際加工中仿真計(jì)算的精度要求，并能提前預(yù)測(cè)加工刀具的重要參數(shù)和檢驗(yàn)刀具結(jié)構(gòu)的正確性。

（4）本方法基于像素圖像的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)，計(jì)算的數(shù)值解精度與點(diǎn)云數(shù)量直接相關(guān)，點(diǎn)云數(shù)量越多，計(jì)算精度越高，計(jì)算量就越大，常常影響計(jì)算的效率，但隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算性能的提高以及后期算法的優(yōu)化，這一問(wèn)題應(yīng)該能夠解決。