能量視角下的盾構(gòu)機(jī)刀盤的結(jié)構(gòu)變異重構(gòu)設(shè)計(jì)

劉宏磊,宋晨旭,魯睿,李寶童,洪軍

(1. 西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安;2. 西安交通大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

盾構(gòu)機(jī)是當(dāng)今隧洞挖掘的主力裝備之一,其施工過程不造成地面沉降、不阻斷交通運(yùn)行、不需要大面積拆遷,具備良好的社會(huì)及生態(tài)價(jià)值,目前已廣泛應(yīng)用于鐵路、公路、市政管線、城市立體交通等公共基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)中。盾構(gòu)機(jī)主要由刀盤、盾體、螺旋輸送機(jī)、管片拼裝機(jī)、后配套系統(tǒng)等組成。受地質(zhì)結(jié)構(gòu)多樣性的影響,盾構(gòu)機(jī)刀盤設(shè)計(jì)靈活多變,以適應(yīng)不同地域土層環(huán)境的巨大差異。為快速響應(yīng)市場(chǎng)需求,盾構(gòu)設(shè)備制造廠家通常會(huì)根據(jù)不同的掘進(jìn)直徑對(duì)盾體、螺旋輸送機(jī)、管片拼裝機(jī)、后配套系統(tǒng)等組件進(jìn)行模塊化設(shè)計(jì),除刀盤外的組件不僅產(chǎn)品類型豐富而且結(jié)構(gòu)相對(duì)成熟。因此,刀盤結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化是盾構(gòu)機(jī)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題之一。

盾構(gòu)機(jī)刀盤通常分為軟土輻條式刀盤及復(fù)合輻板式刀盤,前者針對(duì)黏性土層、粉砂質(zhì)黏性土層,后者主要用于巖石地層或復(fù)合地層掘進(jìn)。刀盤設(shè)計(jì)的常規(guī)流程[1]為:針對(duì)具體工程地質(zhì)及掘進(jìn)直徑,選配合適的刀具類型,擇優(yōu)布置各類刀具軌跡及位置;依據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范[2]計(jì)算確定刀具尺寸、刀間距和開口率,并以此為基礎(chǔ),進(jìn)行刀盤主體承載架構(gòu)選型設(shè)計(jì),構(gòu)建基礎(chǔ)支撐模塊、破碎刮渣模塊;最終匹配傳動(dòng)連接模塊及輔助保護(hù)模塊,完成刀盤結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。在這一過程中,承載架構(gòu)作為刀盤結(jié)構(gòu)主體,其設(shè)計(jì)質(zhì)量對(duì)盾構(gòu)機(jī)力學(xué)性能與掘進(jìn)效率具有重要影響,本研究將其作為設(shè)計(jì)對(duì)象。

在掘進(jìn)破碎過程中,盾構(gòu)機(jī)刀盤承受較大的軸向壓力及強(qiáng)烈的沖擊振動(dòng),易導(dǎo)致刀盤結(jié)構(gòu)卷邊變形甚至斷裂破壞,影響掘進(jìn)效率和施工安全,因此針對(duì)刀盤的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)是盾構(gòu)機(jī)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)之一,也是研究重點(diǎn)之一。文獻(xiàn)[3]以濱海復(fù)合地層掘進(jìn)過程為研究對(duì)象,探索了匹配其動(dòng)力學(xué)環(huán)境的刀盤受力性狀及布置優(yōu)化,提供了基于有限元方法的參數(shù)優(yōu)化,構(gòu)建了刀盤布局優(yōu)化策略。文獻(xiàn)[4]通過ANSYS軟件對(duì)盾構(gòu)機(jī)刀盤進(jìn)行強(qiáng)度驗(yàn)算以及模態(tài)分析,采用蒙特卡羅抽樣技術(shù)完成刀盤設(shè)計(jì)缺陷的辨識(shí)與優(yōu)化改進(jìn),有效降低了刀盤結(jié)構(gòu)最大動(dòng)響應(yīng),實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)品減重降本。文獻(xiàn)[5-6]則以提升刀盤低階固有頻率為目標(biāo),聯(lián)合ANSYS動(dòng)響應(yīng)分析模塊及尺寸優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)化刀盤關(guān)鍵結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化設(shè)計(jì),降低了動(dòng)態(tài)激勵(lì)環(huán)境下的結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)。類似研究可見文獻(xiàn)[7-9]。以上工作的共性在于利用經(jīng)典有限元方法完成刀盤結(jié)構(gòu)模態(tài)分析及動(dòng)響應(yīng)解算,并以此為基礎(chǔ)優(yōu)化既有結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù),規(guī)避刀盤共振、抑制結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)變形。值得注意的是,共振的本質(zhì)是振動(dòng)能量的不斷堆積,而結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)則是能量傳遞的外在表現(xiàn)。受此啟發(fā),本文從能量角度思考盾構(gòu)機(jī)刀盤設(shè)計(jì)方法,通過引導(dǎo)能量的傳遞與耗散解決動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題。

這一研究需要兩項(xiàng)基礎(chǔ)工具,即能量視角下的振動(dòng)分析工具及與之匹配的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工具。也就是本研究所關(guān)注的能量有限元分析方法及實(shí)現(xiàn)刀盤變異重構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。

能量視角下的振動(dòng)結(jié)構(gòu)分析并非新事物。有限元方法是較為成熟的低頻響應(yīng)分析方法,已被成功應(yīng)用于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的低頻動(dòng)響應(yīng)預(yù)示中[10]。然而,采用常規(guī)有限元方法分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí),單元的尺寸必須小于波長(zhǎng)的1/10才能得到較好的結(jié)果,這導(dǎo)致高頻響應(yīng)有限元分析的模型自由度數(shù)量非常高,對(duì)于大型結(jié)構(gòu),其計(jì)算成本是無(wú)法接受的。20世紀(jì)60年代,Lyon等[11]及Maidanik等[12]在針對(duì)大尺寸結(jié)構(gòu)噪音分析的研究中提出了統(tǒng)計(jì)能量法。統(tǒng)計(jì)能量法將結(jié)構(gòu)分解為若干個(gè)線性耦合的子系統(tǒng)結(jié)構(gòu),通過求解各個(gè)子系統(tǒng)振動(dòng)能量在時(shí)間和空間上的平均值獲得對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)性能的判斷。該方法從能量角度解析了結(jié)構(gòu)模塊的振動(dòng)分布,為振動(dòng)能量的利用與引導(dǎo)奠定了技術(shù)基礎(chǔ)。但該方法僅實(shí)現(xiàn)了子系統(tǒng)整體的能量計(jì)算,無(wú)法提供子系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)能量信息[13],因此無(wú)法為子系統(tǒng)內(nèi)的局部材料變化提供計(jì)算依據(jù),很難驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)內(nèi)的拓?fù)渲貥?gòu)?；诮y(tǒng)計(jì)能量法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化多為針對(duì)子系統(tǒng)整體的厚度優(yōu)化或材料屬性優(yōu)化,很難與設(shè)計(jì)自由度更高的拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合。進(jìn)入90年代,能量有限元的提出對(duì)上述困境帶來(lái)了改變[14-16]。能量有限元方法是在統(tǒng)計(jì)能量法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。1989年,Nefske等[17]基于微單元邊界上能量流和能量密度的一階導(dǎo)數(shù)成正比關(guān)系的假設(shè),得到了微單元中平均功耗和能量密度之間成正比這一關(guān)系式;將這兩個(gè)關(guān)系代入微單元中的能量平衡關(guān)系式,得到一個(gè)近似于熱傳導(dǎo)方程的以能量密度為變量的二階微分方程;用有限元法求解該微分方程,得到結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的響應(yīng),這即為能量有限元的雛形。Lase等[18]采用類似方法建立了縱向振動(dòng)桿的能量控制方程。Sun等[19]對(duì)非保守耦合結(jié)構(gòu)進(jìn)行了能量流分析。1992年Wohlever等[20]針對(duì)Nefske的關(guān)于微單元中邊界上的能量流和能量密度之間關(guān)系的假設(shè),對(duì)桿和梁中的關(guān)系式做出了推導(dǎo)和處理,證明了該假設(shè)的正確性。Bouthier等[14-15]把Wohlever的工作推廣至薄膜和薄板,發(fā)現(xiàn)在二維結(jié)構(gòu)中能量強(qiáng)度和能量密度的一階導(dǎo)數(shù)成正比。Moens等[21]將能量有限元法應(yīng)用于具體結(jié)構(gòu),并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,且實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果基本吻合。Hong等[22]開發(fā)了用于船艦結(jié)構(gòu)分析的能量有限元軟件,促進(jìn)了能量有限元方法在工程實(shí)際中的應(yīng)用。

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面,目前常用的優(yōu)化方法有尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化以及拓?fù)鋬?yōu)化。拓?fù)鋬?yōu)化相較于尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化具有更多的設(shè)計(jì)自由度,發(fā)展前景較好。1984年提出的均勻化方法[23-24]是拓?fù)鋬?yōu)化研究的起點(diǎn)之一。Bendsoe[25]于1988年提出的變密度法是拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用最廣、影響最深的方法。該方法的理論簡(jiǎn)單明了,算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,因此被多數(shù)主流拓?fù)鋬?yōu)化軟件所采用,并已廣泛用于解決各類工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。Wang等[26]提出對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行映射處理,將處于閉區(qū)間[0,1]內(nèi)的連續(xù)偽密度投影為離散的{0, 1}形式,解決中間態(tài)偽密度所造成的結(jié)構(gòu)模糊問題,保證了拓?fù)鋬?yōu)化解的存在性。Osher等[27]提出了水平集法,該方法所描述的結(jié)構(gòu)邊界隨廣義時(shí)間不斷變化,其邊界在速度場(chǎng)函數(shù)的驅(qū)動(dòng)下完成結(jié)構(gòu)形狀變化,并通過水平集間的重合與分裂實(shí)現(xiàn)所描述結(jié)構(gòu)的拓?fù)渥兓?014年郭旭等[28-30]提出了移動(dòng)可變形組件法,該方法通過驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)域內(nèi)組件的變形與移動(dòng)完成組件間重合與分裂,從而使組件間連接關(guān)系趨近最優(yōu)拓?fù)湫螒B(tài)。

綜上所述,能量有限元法以能量流平衡微分方程為控制方程,使用有限元方法求解,可以計(jì)算任意局部位置的能量密度分布,故可在能量密度場(chǎng)中反映形狀與拓?fù)涞淖兓?這為盾構(gòu)機(jī)刀盤結(jié)構(gòu)的拓?fù)渲貥?gòu)提供了基本分析工具。當(dāng)前刀盤主體承載架構(gòu)設(shè)計(jì)主要服務(wù)于刀具安裝與泥石排泄,其自身動(dòng)靜力學(xué)設(shè)計(jì)則多依賴校驗(yàn)-加強(qiáng)-校驗(yàn)?zāi)Ｊ?結(jié)構(gòu)形態(tài)單一,具有較大設(shè)計(jì)裕量,為刀盤重構(gòu)與創(chuàng)新提供了很大的設(shè)計(jì)空間。因此,本文以顯式拓?fù)鋬?yōu)化方法為設(shè)計(jì)工具,驅(qū)動(dòng)刀盤經(jīng)典承載架構(gòu)的變異與重構(gòu),并結(jié)合能量有限元分析方法,強(qiáng)化對(duì)刀盤振動(dòng)能量的引導(dǎo)與耗散,抑制結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng),以期盾構(gòu)機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供一種新思路。

1 能量有限元分析方法及改進(jìn)

1.1 能量有限元計(jì)算概述

在能量有限元框架下,盾構(gòu)機(jī)刀盤的板結(jié)構(gòu)能量平衡示意圖如圖1所示。外部輸入的振動(dòng)能量Π輸入加載于微元上,輸入能量向外傳遞,并在傳遞過程中受阻尼影響逐漸衰減,因此輸入能量可分解為單元內(nèi)部的能量耗散Π耗散與單元間的能量交換Π交換。

圖1 微元內(nèi)的能量平衡示意Fig.1 Diagram of the energy balance in a micro element

依據(jù)能量守恒定律,圖1所示微元內(nèi)能量流達(dá)成平衡,其表達(dá)式為

Π輸入=Π交換+Π耗散=

(1)

式中:e為能量密度;η為阻尼;ω為載荷的角頻率;Ω為微元體積;cg為彈性波的波群速度,波群速度的求解方式為

(2)

其中:E為彈性模量,λ為泊松比,ρ為微元材料密度,h為微元厚度。因此,薄板的能量有限元本構(gòu)方程即為其能量流微分平衡方程,該方程可寫作

(3)

且其本構(gòu)方程的積分弱形式為

(4)

式中:n為單元邊界法向量;Γe為單元邊界;N為形函數(shù)向量;本文采用雙線性插值形函數(shù)構(gòu)建形函數(shù)向量,如上式所示,其中s和t為有限元局部坐標(biāo)下的橫縱坐標(biāo);{ee}為單元節(jié)點(diǎn)的能量密度。上式可寫作矩陣形式

[Ke]{ee}={Fe}+{Qe}

(5)

(6)

式中:Ke為單元能量矩陣;Fe為單元內(nèi)的振動(dòng)能量輸入;πin(x,y)為點(diǎn)(x,y)處的能量輸入;Qe為不連續(xù)能量密度場(chǎng)邊界處的能量流。以上構(gòu)建完成了板結(jié)構(gòu)的單元能量矩陣,總能量矩陣可根據(jù)經(jīng)典有限元組裝方法組裝。值得注意的是,這種組裝方式所建立的設(shè)計(jì)域適用于連續(xù)的能量密度場(chǎng),即設(shè)計(jì)域內(nèi)所有單元材料及厚度連續(xù)或相同。當(dāng)材料分布不連續(xù)時(shí),設(shè)計(jì)域內(nèi)能量傳遞將因材料分布的不連續(xù)變化而發(fā)生反射,進(jìn)而形成不連續(xù)能量密度場(chǎng),而其不連續(xù)性即通過Qe表征,其詳細(xì)解析過程如下。

1.2 單元邊界不連續(xù)性分析

當(dāng)設(shè)計(jì)域內(nèi)相鄰單元間材料不連續(xù)時(shí)(如不同厚度或材料),單元間的能量流傳遞將在單元邊界處發(fā)生反射。這一反射導(dǎo)致相鄰單元間能量密度不連續(xù),從而形成了不連續(xù)的能量密度場(chǎng)。單元間能量流的反射與透射系數(shù)解析過程如下。

取彎曲波作為外部能量輸入,能量透射與反射模型如圖2所示,縱波與剪切波的計(jì)算與優(yōu)化過程與彎曲波基本一致,其中單元1及單元2的垂直變形解析公式[31]可寫作

圖2 不同厚度板單元間的能量反射與透射過程示意Fig.2 Energy reflection and transmission between different plate elements

Cf1exp(jkf1xcosθ1)+

exp(-jkf2ysinθ2)exp(jωt)

(7)

且

(8)

式中:w1、w2分別為單元1、2的垂直變形;θ1為彎曲波的入射角及反射角;θ2為彎曲波射入單元2內(nèi)的透射角;kf2、kf1為彎曲波在單元1、2內(nèi)傳播的波數(shù);Af1、Cf1、Df1、Af2、Bf2分別為入射波、反射波、單元1內(nèi)的近場(chǎng)耗散波、透射波、單元2內(nèi)的近場(chǎng)耗散波這5種波的波幅。

由于單元交界處兩側(cè)的彎曲波延邊界具有相同的位移,因此存在

kf1sinθ1=kf2sinθ2

(9)

當(dāng)kf2/kf1>sinθ1時(shí),邊界上的能量傳遞類型為能量部分反射,則單元2內(nèi)的垂直位移為

(10)

當(dāng)kf2/kf1≤ sinθ1時(shí),邊界上的能量傳遞類型為能量全反射,則單元2內(nèi)的垂直位移為

(11)

此外,兩單元的變形w1、w2還遵循變形平衡、變形梯度連續(xù)、沿y軸力矩平衡以及沿z軸剪切力平衡4項(xiàng)條件,這4項(xiàng)條件可寫為

(12)

式中:Mxx1與Mxx2分別為單元1、2邊界處沿y軸力矩;Nxx1與Nxx2分別為單元1、2邊界處沿z軸的剪切力。入射波、反射波及透射波的波幅Af1、Af2、Cf1可由上式聯(lián)立得到?；谝陨喜ǚ?jì)算,單元1、2間的彎曲波能量透射系數(shù)r11與反射系數(shù)τ12可寫作

(13)

本節(jié)旨在分析單元邊界不連續(xù)性產(chǎn)生的原因,解析材料分布不連續(xù)單元間的能量透射與反射系數(shù),這一解析過程將在下節(jié)用于實(shí)現(xiàn)不連續(xù)場(chǎng)內(nèi)相鄰單元間的耦合,有關(guān)本節(jié)內(nèi)容的詳細(xì)說(shuō)明可見文獻(xiàn)[33]。

1.3 不連續(xù)場(chǎng)的有限元模型改進(jìn)

當(dāng)相鄰單元間材料分布不連續(xù)時(shí),振動(dòng)波在不連續(xù)邊界處將發(fā)生波的反射,從而使得分析域內(nèi)的能量密度場(chǎng)不連續(xù)。如圖3所示,公共節(jié)點(diǎn)無(wú)法表征不連續(xù)密度場(chǎng)邊界兩側(cè)各自不同的能量密度。鑒于這一問題,有必要在邊界處增加新節(jié)點(diǎn)以表征不連續(xù)場(chǎng)。由于添加節(jié)點(diǎn)后的兩個(gè)相鄰單元不共用節(jié)點(diǎn),因此可表征單元邊界處不連續(xù)的物理量。

圖3 能量有限元框架下不連續(xù)物理場(chǎng)邊界處的節(jié)點(diǎn)配置Fig.3 Node configuration at the boundary of discontinuous physical field

在建構(gòu)經(jīng)典不連續(xù)場(chǎng)有限元模型時(shí),需要沿著分析域內(nèi)不連續(xù)邊界增設(shè)節(jié)點(diǎn),以表征不連續(xù)邊界兩側(cè)不同的物理量值。但是在優(yōu)化迭代過程中(如圖4所示),優(yōu)化結(jié)構(gòu)不斷演化,將導(dǎo)致不連續(xù)物理場(chǎng)的形態(tài)持續(xù)變化,使得前次迭代中沿不連續(xù)邊界插入的節(jié)點(diǎn)在之后的迭代中不再處于不連續(xù)邊界上,能量有限元計(jì)算模型的網(wǎng)格不斷失效,必須不斷重建網(wǎng)格。這是不連續(xù)場(chǎng)拓?fù)鋬?yōu)化的特殊需求,但重建網(wǎng)格將明顯增加優(yōu)化程序的結(jié)構(gòu)復(fù)雜度,且實(shí)現(xiàn)過程較為耗時(shí),因此拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)施過程一般強(qiáng)調(diào)避免有限元網(wǎng)格重建。

圖4 經(jīng)典能量有限元節(jié)點(diǎn)配置隨材料分布變化示意Fig.4 Changes in classical energy finite element node configuration varying with material distribution

為解決這一問題,本研究提出了一種定制化的有限元網(wǎng)格,該網(wǎng)格可用于計(jì)算任意材料分布的能量有限元分析問題,且無(wú)需網(wǎng)格重建。這一定制化網(wǎng)格的本質(zhì)是在所有單元邊界處都預(yù)先插入節(jié)點(diǎn)。由于所有可能的節(jié)點(diǎn)都已預(yù)先添置在有限元網(wǎng)格中,因此單元間的任意邊界均可用于表征物理場(chǎng)的不連續(xù)邊界,無(wú)需因不連續(xù)物理場(chǎng)的變化而重建網(wǎng)格。在此網(wǎng)格中,單元間相互獨(dú)立不共用公共節(jié)點(diǎn),因此命名此網(wǎng)格為“單元獨(dú)立網(wǎng)格”。值得注意的是,此處對(duì)網(wǎng)格的改造將使得節(jié)點(diǎn)總數(shù)增加且相鄰單元不再耦合,為有限元求解的計(jì)算量及單元間的能量傳遞造成困難。下文將針對(duì)這兩個(gè)問題提供解決方法。

圖5(a)、(b)分別給出了經(jīng)典有限元及經(jīng)典能量有限元方法中,有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的配置示意圖。其中連續(xù)場(chǎng)內(nèi)相鄰單元間的耦合主要通過公共節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)。然而,單元獨(dú)立網(wǎng)格(圖5(c))中并不存在公共節(jié)點(diǎn),無(wú)法實(shí)現(xiàn)單元間的直接耦合,因此有必要建立新的有限元矩陣組裝規(guī)則,對(duì)相鄰且解耦的單元進(jìn)行再耦合,保證能量在相鄰單元間的連續(xù)有效傳遞。

(a)經(jīng)典有限元網(wǎng)格

現(xiàn)以圖6為例說(shuō)明單元獨(dú)立網(wǎng)格的矩陣組裝規(guī)則。

(a)經(jīng)典能量有限元網(wǎng)格

步驟1單元矩陣組裝。依據(jù)經(jīng)典有限元組裝規(guī)則按照節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)將所有單元能量矩陣沿對(duì)角線組裝,由于不存在公共節(jié)點(diǎn),單元間并未建立耦合,因此此時(shí)獲得非耦合總能量矩陣。

步驟2連續(xù)單元間再耦合。由于相鄰單元間不共享節(jié)點(diǎn),因此材料連續(xù)的相鄰單元間則需通過以下步驟實(shí)現(xiàn)再耦合。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i、l、m、n屬于單元A,節(jié)點(diǎn)j、k、p、q屬于單元B。節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j在非耦合總能量矩陣中的貢獻(xiàn)分別被寫作Ki,i、Ki,l、Ki,m,Ki,n和Kj,i、Kj,l、Kj,m、Kj,n。實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j再耦合的第一步是將節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j在矩陣中的貢獻(xiàn)分別疊加至其耦合點(diǎn)。具體而言,即將Ki,i、Ki,l、Ki,m、Ki,n疊加至Kj,i、Kj,l、Kj,m、Kj,n,并將Kj,j、Kj,k、Kj,p、Kj,q疊加至Ki,j、Ki,k、Ki,p、Ki,q。這一操作實(shí)現(xiàn)材料連續(xù)的單元間的再耦合。

為準(zhǔn)確呈現(xiàn)這一疊加耦合過程,本文以圖7單元獨(dú)立網(wǎng)格為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。這一網(wǎng)格中需要進(jìn)行再耦合的節(jié)點(diǎn)包括:節(jié)點(diǎn)7-節(jié)點(diǎn)16、節(jié)點(diǎn)6-節(jié)點(diǎn)13、節(jié)點(diǎn)6-節(jié)點(diǎn)12、節(jié)點(diǎn)13-節(jié)點(diǎn)12、節(jié)點(diǎn)14-節(jié)點(diǎn)11。此類節(jié)點(diǎn)空間位置相同,材料及能量密度場(chǎng)連續(xù),是由共享節(jié)點(diǎn)差分而成,需做再耦合處理。以節(jié)點(diǎn)6-節(jié)點(diǎn)13為例,其調(diào)整過程在圖8中由紅色線框標(biāo)注:K6,5、K6,6、K6,7、K6,8疊加至K13,5、K13,6、K13,7、K13,8所在位置,同時(shí)將K13,13、K13,14、K13,15、K13,16疊加至K6,13、K6,14、K6,15、K6,16所在位置。其他節(jié)點(diǎn)的再耦合過程也使用各自對(duì)應(yīng)的顏色標(biāo)注于圖8中。

圖7 再耦合節(jié)點(diǎn)分布示意圖Fig.7 Schematic diagram of recoupling node distribution

圖8 節(jié)點(diǎn)再耦合操作的矩陣調(diào)整示意圖Fig.8 Schematic diagram of matrix adjustment for node re coupling operation

步驟3不連續(xù)單元間再耦合。材料不連續(xù)的單元間通過能量流矩陣Qe實(shí)現(xiàn)單元耦合,能量流矩陣Qe的再耦合方式與上述方法相同。

以上即為獨(dú)立單元網(wǎng)格的組裝規(guī)則,實(shí)際應(yīng)用中可以使用單元矩陣及各個(gè)邊界的耦合關(guān)系矩陣直接組合得到不連續(xù)場(chǎng)的總有限元矩陣,無(wú)需在設(shè)計(jì)域材料分布變化時(shí)重新劃分網(wǎng)格。這為后續(xù)針對(duì)盾構(gòu)機(jī)刀盤拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)分析工具。

2 盾構(gòu)機(jī)刀盤結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

本文采用拓?fù)鋬?yōu)化方法實(shí)現(xiàn)盾構(gòu)機(jī)刀盤變異重構(gòu),具體地,先使用可移動(dòng)可變形組件法實(shí)現(xiàn)刀盤板梁結(jié)構(gòu)的顯式幾何描述及拓?fù)渥儞Q,再通過能量有限元方法解析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能,驅(qū)動(dòng)板梁結(jié)構(gòu)中各組件位置及形狀的演化,最終獲得優(yōu)化的拓?fù)湫螒B(tài)。

2.1 可移動(dòng)可變形組件法拓?fù)涿枋?/h3>

可移動(dòng)可變形組件法可實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)形態(tài)演進(jìn)與拓?fù)渥兓痆29,32]的顯式描述,其方法如圖9所示。此類水平集使用幾何特征(如圖9(a)、(b))中組件的長(zhǎng)、寬、傾斜角、直徑、中心點(diǎn)坐標(biāo))建立顯式表達(dá)式,復(fù)雜結(jié)構(gòu)由多個(gè)顯式水平集函數(shù)描述的組件構(gòu)成,結(jié)構(gòu)拓?fù)渥兓山M件間合并與拆分實(shí)現(xiàn)。這是一種拉格朗日觀點(diǎn)下的結(jié)構(gòu)描述方式,每個(gè)組件即為一個(gè)拓?fù)渥佑?每個(gè)子域伴隨著水平集函數(shù)的更新而變形,避免了歐拉觀點(diǎn)下子域形態(tài)固定的問題?？紤]到實(shí)際生產(chǎn)中所使用的CAD系統(tǒng)也采用顯式描述方法,優(yōu)化設(shè)計(jì)中使用顯式水平集描述可為刀盤設(shè)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)更大的便利,因此本文以顯式水平集作為基本形態(tài)描述手段。

(a)整體結(jié)構(gòu)(若干組件組裝而成)

顯式水平集描述的數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法如圖9所示,完整的結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)組件組合而成(圖9(a)),組件使用幾何特征作為描述參數(shù)建立顯式的水平集描述方法,每個(gè)組件的水平集函數(shù)式為

(14)

式中:φ(x,y)為組件在點(diǎn)(x,y)處水平集;L、T、θ、x0、y0分別為組件長(zhǎng)、寬、傾斜角及中心點(diǎn)坐標(biāo)。組件以幾何特征為變量構(gòu)建水平集描述如圖9(b)所示。

為獲得整體結(jié)構(gòu)的水平集總成,需將每個(gè)組件的水平集進(jìn)行疊加組裝。但直接疊加會(huì)造成不同水平集間的相互干擾,因此先行將各組件進(jìn)行歸一化處理,如圖9(c)所示。此處使用Heaviside函數(shù)實(shí)現(xiàn)水平集的歸一化,其歸一化表達(dá)式近似寫作

(15)

式中:φq與H(φq)分別為歸一化前后組件q的水平集;b為一個(gè)較大的常數(shù),一般推薦b取10 000。

將歸一化后的水平集直接疊加即可獲得結(jié)構(gòu)整體的水平集(圖9(d)),其中φ≥1區(qū)域?yàn)榻M件覆蓋區(qū)域,φ=0區(qū)域?yàn)榉墙M件覆蓋區(qū)域。但是,考慮到水平集在組件區(qū)域數(shù)值不一會(huì)對(duì)后續(xù)的數(shù)值處理帶來(lái)麻煩,此時(shí)需將整體水平集進(jìn)行二次歸一化,最終的水平集總成寫作

(16)

式中:ncom為組件總數(shù);φsum為二次歸一化后的水平集總成,此時(shí)組件覆蓋區(qū)域φsum=1,非覆蓋區(qū)域φsum=0。

至此,對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螒B(tài)的表達(dá)已借助顯式水平集方法完成。該表達(dá)方法獨(dú)立運(yùn)行,既不受結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算工具選擇的影響,也不影響結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算設(shè)定。設(shè)計(jì)者可通過密度法投影[32]將拓?fù)湫螒B(tài)描述轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)計(jì)算模型。

2.2 可移動(dòng)可變形組件法優(yōu)化模型

以組件幾何特征為設(shè)計(jì)變量,在目標(biāo)函數(shù)的指引下通過驅(qū)動(dòng)組件連續(xù)變形與變布局,迭代更新設(shè)計(jì)變量,從而逐漸趨近目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)形態(tài),實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)的演進(jìn)式優(yōu)化。優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

Findx={x1,x2,…,xj…,xnnod}

xj={x0,y0,L,T,θ}

MinJ(φsum(x))

s.t.M(φsum(x))≤M0

(17)

式中:x為設(shè)計(jì)變量集合;每個(gè)組件的設(shè)計(jì)變量xj包括組件的長(zhǎng)度L、寬度T、傾斜角θ及中心點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0);目標(biāo)函數(shù)J為刀盤能量柔度;約束函數(shù)M為刀盤開孔率。由式(17)可知,該優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為多變量連續(xù)尋優(yōu),本文采用結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域適用性良好的移動(dòng)漸近線優(yōu)化算法(MMA)進(jìn)行求解。

2.3 可移動(dòng)可變形組件法拓?fù)溲莼?/h3>

結(jié)合以上內(nèi)容,刀盤結(jié)構(gòu)拓?fù)溲葑兊膬?yōu)化設(shè)計(jì)流程見圖10。

圖10 基于顯式水平集描述的刀盤拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.10 Cutterhead design based on explicit topology optimization

第1步初始化,即初始化組件的幾何形態(tài)參數(shù)與優(yōu)化參數(shù),選用合適的初始組件形狀與布局。依據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)一般選用均勻的組件布局,以降低優(yōu)化方法的初始依賴性,同時(shí)選用收斂速度較慢的優(yōu)化參數(shù),防止優(yōu)化快速收斂至局部最優(yōu)解。

第2步計(jì)算每個(gè)組件的水平集,對(duì)所有組件的水平集進(jìn)行歸一化處理后,將水平集組裝為一體。對(duì)組裝后的水平集進(jìn)行二次歸一化處理,從而建立完成設(shè)計(jì)域的水平集描述。

第3步利用投影方法將水平集描述轉(zhuǎn)化為優(yōu)化結(jié)構(gòu)的物理場(chǎng)計(jì)算模型,并使用能量有限元方法求解目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)及兩者的敏度,為基于梯度的優(yōu)化求解提供數(shù)值實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)。

第4步變量更新。將目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)及其敏度代入移動(dòng)漸近線優(yōu)化器內(nèi),實(shí)現(xiàn)優(yōu)化收斂及設(shè)計(jì)變量的迭代更新。

第5步優(yōu)化終止條件。當(dāng)?shù)綌?shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí),或者目標(biāo)函數(shù)的變化低于最大允許誤差ε=0.05%時(shí),優(yōu)化終止并輸出結(jié)果。

基于顯式水平集描述的拓?fù)鋬?yōu)化方案實(shí)施過程清晰簡(jiǎn)單,但需要注意的是,此方法一般不能增加組件數(shù)量,拓?fù)涮澑竦母淖兡芰κ艿较拗?因此仍然存在初始依賴性。作者一般將本方法應(yīng)用于對(duì)既有工程結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化升級(jí)中,此外,上述組件的幾何變形能力較弱,更適合應(yīng)用于對(duì)安全性要求較高,傾向簡(jiǎn)單傳統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)的大型裝備對(duì)象。

3 刀盤主體承載結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

以蘭州地鐵1號(hào)線隧道施工所采用的某型土壓平衡式盾構(gòu)機(jī)為例(如圖11所示),展示能量視角下的盾構(gòu)機(jī)刀盤結(jié)構(gòu)變異重構(gòu)設(shè)計(jì)試試流程,并采用經(jīng)典有限元分析軟件完成對(duì)刀盤設(shè)計(jì)性能檢驗(yàn)。

圖11 某型土壓平衡盾構(gòu)機(jī)刀盤面板結(jié)構(gòu)[5] Fig.11 The cutterhead panel of a certain earth pressure balance shield machine[5]

該型盾構(gòu)機(jī)工作地層有雜填土、黃土狀土與砂卵石,采用復(fù)合輻板式刀盤設(shè)計(jì)。刀盤外徑6 310 mm,使用4輻條設(shè)計(jì)構(gòu)型,輻條與面板間采用5條環(huán)形加強(qiáng)筋連接強(qiáng)化,刀盤背面采用法蘭盤結(jié)構(gòu)與主驅(qū)動(dòng)裝備相連,傳動(dòng)力通過與法蘭盤相連接的4根梯形截面中空牛腿傳遞。刀盤開口率47%。

由于刀盤直徑遠(yuǎn)大于厚度,因此將刀盤設(shè)計(jì)域模型簡(jiǎn)化為圓形板結(jié)構(gòu)。刀盤設(shè)計(jì)邊界條件如圖12所示,橙色矩形區(qū)域?yàn)榈毒卟贾梦?藍(lán)色十字區(qū)域?yàn)轭A(yù)設(shè)4輻條結(jié)構(gòu),刀具與輻條構(gòu)型由設(shè)計(jì)者依據(jù)刀盤設(shè)計(jì)方法確定[1],不參與優(yōu)化設(shè)計(jì)。其他部分為刀盤設(shè)計(jì)域,用于布置刀盤加強(qiáng)筋結(jié)構(gòu),加強(qiáng)筋由大量矩形組件拼接而成,通過組件變形與組件間合并分離逐漸趨于最優(yōu)構(gòu)型。

(a)盾構(gòu)機(jī)刀盤結(jié)構(gòu)

假設(shè)刀盤與地層接觸面各處的土質(zhì)均勻一致,則各位置刀具振幅及所受支反力大小相同。然而,不同刀具所處位置到圓心距離存在差別,在刀盤每圈運(yùn)動(dòng)過程中,不同位置刀具刮研路程與刀具圓心距成正比。因此在相同時(shí)間內(nèi),考慮土質(zhì)均勻一致條件,則刀具起伏振動(dòng)周期數(shù)與刀具刮研路程正相關(guān),即與刀具圓心距成正比。由于刀具對(duì)刀盤的振動(dòng)能量輸入為刀具受力與單位時(shí)間內(nèi)起伏振動(dòng)距離之積,因此刀具能量輸入與刀具圓心距同樣成正比。本案例能量輸入即遵照上述分析,按比例加載在刀具區(qū)域。振動(dòng)能量頻率一般為20～90 Hz,本案例選擇20、55、90 Hz 3種載荷頻率。

在以上邊界條件及初始構(gòu)型基礎(chǔ)上,采用基于能量有限元的可移動(dòng)可變形組件法進(jìn)行刀盤結(jié)構(gòu)的變異重構(gòu),其優(yōu)化過程如圖13、14所示。在20、55、90 Hz 3種載荷頻率下,刀盤結(jié)構(gòu)均由初始均勻交叉構(gòu)型逐漸收斂至星形放射狀,形成載荷區(qū)域與約束區(qū)域的直接連接。在圖14所示的結(jié)構(gòu)重組過程中,其開孔率逐漸收斂至47%,在20、55、90 Hz能量輸入時(shí),誤差分別為-0.01%、0.07%、0.01%。能量柔度較初始構(gòu)型分別下降12.1%、12.5%、12.4%。

圖13 刀盤結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程Fig.13 design process of the cutterhead optimization

對(duì)比蘭州地鐵1號(hào)線所使用的原始盾構(gòu)機(jī)刀盤,其能量密度分析結(jié)果如圖15所示。

圖15 刀盤能量密度對(duì)比Fig.15 Comparison of cutterhead energy density

采用能量柔度計(jì)算公式

J=∑ee[Fe+Qe]

(18)

其原始盾構(gòu)機(jī)刀盤能量柔度為1 729.7 J2/(m2·s),優(yōu)化后盾構(gòu)機(jī)刀盤能量柔度為1 348.4 J2/(m2·s),其能量柔度降低22.0%。原始盾構(gòu)機(jī)刀盤十字輻條區(qū)域能量耗散慢,累積量較大,優(yōu)化后的刀盤振動(dòng)能量耗散迅速,動(dòng)力學(xué)性能有效提升。

為進(jìn)一步驗(yàn)證優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果有效性,借助ANSYS Workbench 19.2平臺(tái)分別對(duì)刀盤原始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)數(shù)值分析和動(dòng)力學(xué)數(shù)值分析。

首先,在Static Structural模塊進(jìn)行靜力學(xué)分析,仿真邊界條件如圖16所示。采用相同網(wǎng)格劃分方式對(duì)原始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)構(gòu)建網(wǎng)格,在相同載荷條件下,對(duì)比原始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能,仿真結(jié)果如圖17所示。

(a)原始結(jié)構(gòu)固定約束

(a)原始結(jié)構(gòu)變形

仿真結(jié)果顯示,在1 MPa壓力載荷條件下,原始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的最大變形相差較小,而原始結(jié)構(gòu)的平均變形為0.49 mm,最大應(yīng)力為275.95 MPa;優(yōu)化結(jié)構(gòu)的平均變形為0.37 mm,最大應(yīng)力為161.86 MPa。優(yōu)化結(jié)構(gòu)的平均變形量比原始結(jié)構(gòu)減小了24.49%,最大應(yīng)力降低了41.34%,對(duì)比結(jié)果表明在相同載荷條件下,優(yōu)化結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)性能優(yōu)于原始結(jié)構(gòu)。

然后,在Transient Structural模塊進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。需要注意的是,前述設(shè)計(jì)過程中的能量載荷在Transient Structural模塊中應(yīng)做力載荷轉(zhuǎn)化,前述能量輸入與刀具圓心距位置成正比,這是由刀具振動(dòng)頻率不同所引發(fā)的,因此在Transient Structural模塊中設(shè)定刀具振動(dòng)頻率和刀具圓心距成正比,分析邊界條件如圖18所示。

圖18 ANSYS驗(yàn)證中所采用的邊界條件Fig.18 Boundary conditions used in ANSYS verification

為保證對(duì)比結(jié)構(gòu)的一致性,盾構(gòu)機(jī)刀盤優(yōu)化結(jié)構(gòu)同樣采用與原始結(jié)構(gòu)相同的環(huán)形加強(qiáng)筋。其動(dòng)響應(yīng)對(duì)比結(jié)果如圖19所示,刀盤優(yōu)化結(jié)構(gòu)質(zhì)量較刀盤原始結(jié)構(gòu)減少1.1%,最大振動(dòng)變形降低7.8%,最小振動(dòng)變形降低27.7%。由于優(yōu)化結(jié)構(gòu)的載荷區(qū)域與約束區(qū)域連接路徑較原始結(jié)構(gòu)更寬大平直,更有利于刀盤振動(dòng)能量的傳遞與耗散,因而優(yōu)化結(jié)構(gòu)的振動(dòng)變形比原始結(jié)構(gòu)的振動(dòng)變形更小,圖19所示振動(dòng)變形分析結(jié)果更進(jìn)一步說(shuō)明優(yōu)化結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能更佳。

圖19 動(dòng)響應(yīng)對(duì)比分析Fig.19 Comparison of dynamic response

(a)1階模態(tài)振型云圖

最后,在Modal模塊對(duì)兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析。模態(tài)分析中僅需給模型施加固定約束邊界條件即可,原始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的固定約束邊界條件施加方式依舊采取圖16(a)和圖16(b)所示方式,然后分別對(duì)兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析。原始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的1～6階固有頻率如表1所示,前六階振型云圖兩種結(jié)構(gòu)的平均變形量如表2所示。

表1 原始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)各階固有頻率

表2 原始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的平均變形

由模態(tài)分析結(jié)果可知,優(yōu)化結(jié)構(gòu)的各階固有頻率均高于原始結(jié)構(gòu),此外每一階模態(tài)下的平均變形量均小于原始結(jié)構(gòu),說(shuō)明優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)具有較高的剛度性能。

綜上,基于能量有限元的結(jié)構(gòu)變異重構(gòu)設(shè)計(jì)能夠切實(shí)改善盾構(gòu)機(jī)刀盤的力學(xué)性能,其方法有效性在能量視角下及經(jīng)典力學(xué)視角下均得以驗(yàn)證。在盾構(gòu)機(jī)刀盤設(shè)計(jì)過程中,往往還應(yīng)該綜合考慮諸如刀盤結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與剛度、刀具保護(hù)以及渣土排放等多種因素,故而在實(shí)際設(shè)計(jì)中還需要根據(jù)設(shè)計(jì)手冊(cè)和經(jīng)驗(yàn)方法等進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)與校核。本文所研究的以降低結(jié)構(gòu)能量柔度為目標(biāo)和以刀盤開口率為約束條件的刀盤優(yōu)化結(jié)構(gòu)相比于原始結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出良好的力學(xué)性能。這一研究工作可為以盾構(gòu)機(jī)為代表的各類大尺寸振動(dòng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一種新思路。

4 結(jié) 論

(1)本文以顯式拓?fù)鋬?yōu)化為基礎(chǔ)工具,驅(qū)動(dòng)盾構(gòu)機(jī)刀盤承載架構(gòu)的變異與重構(gòu),從而充分挖刀盤優(yōu)化承載形態(tài),拓寬了盾構(gòu)機(jī)選型設(shè)計(jì)范圍。

(2)本文從能量角度出發(fā)探索結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量的引導(dǎo)與耗散實(shí)現(xiàn)途徑,完善了相關(guān)分析計(jì)算設(shè)計(jì)框架,為盾構(gòu)機(jī)結(jié)構(gòu)力學(xué)設(shè)計(jì)提供了一種新思路。

(3)將該研究成果應(yīng)用于土壓平衡盾構(gòu)機(jī)刀盤面板設(shè)計(jì),優(yōu)化結(jié)構(gòu)的平均變形量比原始結(jié)構(gòu)減小了24.49%,最大應(yīng)力降低了41.34%,1～6階固有頻率均得到提升,優(yōu)化結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能得到較好提升。