基于小增益和Lipschitz條件的閉環(huán)EIV系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

王建宏,張金龍,羅熙

(江西理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,江西 贛州 341000)

系統(tǒng)是普遍存在、隨處可見(jiàn)的,目前許多實(shí)際的系統(tǒng)都是在反饋控制的情況下運(yùn)行。實(shí)際系統(tǒng)中,由于傳感器故障、測(cè)量方法及周?chē)h(huán)境的干擾等很多因素,測(cè)量誤差十分普遍地存在于很多領(lǐng)域,例如經(jīng)濟(jì)、醫(yī)療、工業(yè)過(guò)程等[1]。對(duì)于輸入和輸出都受到外界噪聲干擾的系統(tǒng)稱(chēng)為變量誤差(EIV)系統(tǒng),目前對(duì)EIV線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)辨識(shí)的研究比較廣泛。S?derstr?m[2]對(duì)EIV系統(tǒng)做了調(diào)查,給出了EIV系統(tǒng)識(shí)別的背景、動(dòng)機(jī)和識(shí)別的幾種方法。S?derstr?m等[3]提出了當(dāng)測(cè)量噪聲相互關(guān)聯(lián)時(shí),EIV的識(shí)別方法,并將廣義工具變量估計(jì)器(GIVE)推廣到輸入噪聲和輸出噪聲相互關(guān)聯(lián)的白噪聲變量誤差模型中。 Kreiberg等[4]將結(jié)構(gòu)方程模型(SEM)應(yīng)用到EIV系統(tǒng)中,提出了如何將EIV單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)表示為SEM的2種方案。S?derstr?等[5]討論研究了當(dāng)無(wú)噪聲輸入沒(méi)有周期性為任意信號(hào)時(shí)EIV模型的識(shí)別問(wèn)題,提出了最大似然方法。Kang等[6]使用圖形子空間方法處理EIV系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì),提出了一種比常用的最小二乘法更為通用的估計(jì)算法。Zhang等[7]在變量誤差框架內(nèi)對(duì)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的非參數(shù)識(shí)別。Khorasani等[8]研究了EIV系統(tǒng)參數(shù)的非漸近置信區(qū)域的構(gòu)造問(wèn)題,后面又研究了變量誤差系統(tǒng)傳遞函數(shù)的非漸近置信區(qū)域[9]。Zhang等[10]研究了干擾為有色噪聲、輸入為準(zhǔn)平穩(wěn)的線性動(dòng)態(tài)EIV的問(wèn)題,提出了擴(kuò)展的頻域極大似然估計(jì)的新公式,它減少了非線性正態(tài)方程的解的數(shù)量要求。

目前許多研究大部分都是對(duì)EIV線性系統(tǒng)進(jìn)行識(shí)別,而沒(méi)有對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行分析。本文在EIV系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加點(diǎn)改進(jìn),在其輸出端加上負(fù)反饋,那么系統(tǒng)的輸入和輸出噪聲干擾會(huì)影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)而言,穩(wěn)定性是第一位,而李雅普諾夫函數(shù)是驗(yàn)證系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種常用方法。但是,該方法是一個(gè)充分條件,很難構(gòu)造一個(gè)滿足充分條件的李雅普諾夫函數(shù)。因此,針對(duì)閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)使用以下2種方法。第1種是直接使用輸入輸出穩(wěn)定的小增益定理,避免了構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的困難。第2種是使用Lipschitz條件推出系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的,這2種方法本質(zhì)上相同。第2種是受到了關(guān)于非線性閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析的啟發(fā),特別是使用Lipschitz對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的推理[11]。

小增益定理超越了李雅普諾夫理論,在過(guò)去50年里對(duì)不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和綜合控制發(fā)揮了重要作用,是現(xiàn)代控制理論歷史上的一個(gè)里程碑[12]。Liu等[13]將小增益定理改進(jìn)并應(yīng)用到以外部干擾為輸入的閉環(huán)事件觸發(fā)系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性(ISS)分析。Bao等[14]將輸入輸出穩(wěn)定的小增益定理應(yīng)用到混合子系統(tǒng)所組成的大型互聯(lián)系統(tǒng)中。Liu等[15]在事件觸發(fā)控制的研究中利用了輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的小增益定理,將事件觸發(fā)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為輸入狀態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題,并利用ISS的小增益參數(shù)來(lái)嚴(yán)格檢驗(yàn)事件觸發(fā)控制的前向完備性,提出了一種控制非線性不確定系統(tǒng)事件觸發(fā)控制設(shè)計(jì)的新方法,解決了非線性基準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問(wèn)題。Wu等[16]將輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的小增益定理應(yīng)用到自適應(yīng)反饋控制器的設(shè)計(jì)。將自適應(yīng)神經(jīng)設(shè)計(jì)、輸入狀態(tài)穩(wěn)定分析和小增益定理相結(jié)合,解決了非仿射純反饋系統(tǒng)控制的難題,避免了閉環(huán)系統(tǒng)整體李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造,從而克服了純反饋系統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制中的循環(huán)設(shè)計(jì)問(wèn)題[17]。

1 小增益定理的基本知識(shí)

在研究閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析之前,先了解有關(guān)小增益的一些基本知識(shí)[18],首先給出以下定義。

(1)

考慮從輸入信號(hào)u∈Lm到輸出信號(hào)y∈Lq的映射。由于按信號(hào)范數(shù)的定義,只有有界的或穩(wěn)定的信號(hào)u∈Lm和信號(hào)y∈Lq才有定義?？紤]處理不穩(wěn)定的系統(tǒng),因此對(duì)信號(hào)空間Lm和Lq進(jìn)行擴(kuò)充,把不穩(wěn)定的信號(hào)擴(kuò)充進(jìn)去。

定義2u的截?cái)嗪瘮?shù)定義為

(2)

1.1 系統(tǒng)有限增益L穩(wěn)定

‖(Hu)τ‖L≤γ‖uτ‖L+β

(3)

滿足式(3)的最小增益γ被稱(chēng)為系統(tǒng)增益,系統(tǒng)有一小于或等于γ的L增益,有限增益L穩(wěn)定性是一個(gè)輸入輸出意義上的穩(wěn)定性。

因信號(hào)空間的不同,有限增益L穩(wěn)定可分為L(zhǎng)1、L2、Lp、L∞穩(wěn)定,其中L∞穩(wěn)定對(duì)每個(gè)有界輸入u(t),其對(duì)應(yīng)的輸出Hu(t)是有界的,因此L∞穩(wěn)定也被稱(chēng)為輸入有界輸出有界穩(wěn)定,或稱(chēng)系統(tǒng)具有有界輸入有界輸出穩(wěn)定性。

對(duì)定義4說(shuō)明:

1)定義中β項(xiàng)為偏移項(xiàng)。包含β項(xiàng)是為了便于在u=0時(shí)Hu≠0的系統(tǒng)使用。

2)系統(tǒng)增益γ取值應(yīng)盡可能小。

3)范數(shù)是在信號(hào)函數(shù)空間定義的,下標(biāo)L不能省略,在全時(shí)間過(guò)程進(jìn)行度量。

4)對(duì)于因果的且有限增益L穩(wěn)定的系統(tǒng),作如下推導(dǎo):

則有

u∈Lm?Hu∈Lq

5)定義是以映射y=Hu是因果的為前提的。

1.2 反饋互聯(lián)系統(tǒng)的小增益定理

圖1 反饋互聯(lián)系統(tǒng)Fig.1 Feedback interconnection system

(4)

(5)

互聯(lián)后,各信號(hào)可以向量表示為

反饋互聯(lián)系統(tǒng)有限增益L穩(wěn)定被定義為u→y有限增益L穩(wěn)定,其向量表示為

(6)

式中:γ為一正值常數(shù)矩陣。

‖y1τ‖L≤γ11‖u1τ‖L+γ12‖u2τ‖L+β12

(7)

‖y2τ‖L≤γ21‖u1τ‖L+γ22‖u2τ‖L+β21

(8)

易證明,u→e有限增益L穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)u→y有限增益L穩(wěn)定。因此當(dāng)u→e、u→y中任何一個(gè)是有限增益L穩(wěn)定時(shí),反饋互聯(lián)系統(tǒng)都是有限增益L穩(wěn)定的。

參與互聯(lián)的子系統(tǒng)H1和H2分別滿足有限增益L穩(wěn)定條件式(7)和式(8)并不一定能保證整個(gè)反饋互聯(lián)系統(tǒng)有限增益L穩(wěn)定。為了研究什么條件能夠?qū)崿F(xiàn)有限增益L穩(wěn)定,引出了小增益定理。小增益定理如下:在前述系統(tǒng)假設(shè)下,如果反饋互聯(lián)系統(tǒng)回路總增益γ1γ2<1,則反饋互聯(lián)系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的。證明如下。

證明在圖1的反饋互聯(lián)系統(tǒng)中,假設(shè)e1、e2存在,由互聯(lián)關(guān)系得

e1τ=u1τ-(H2e2)τ

(9)

e2τ=u2τ+(H1e1)τ

(10)

由于其子系統(tǒng)是有限增益L穩(wěn)定的,滿足式(4)、式(5),聯(lián)合式(9)和式(5)可得:

‖e1τ‖L≤‖u1τ‖L+‖(H2e2)τ‖L≤‖u1τ‖L+

γ2‖e2τ‖L+β2≤‖u1τ‖L+γ2(‖u2τ‖L+

γ1‖e1τ‖L+β1)+β2=γ1γ2‖e1τ‖L+

(‖u1τ‖L+γ2‖u2τ‖L+β2+γ2β1)

(11)

因?yàn)棣?γ2<1,所以對(duì)所有的τ∈[0,∞)有

β2+γ2β1)

(12)

同理,聯(lián)合式(10)和式(4)可以得到

β1+γ1β2)

(13)

證明完畢。

注:該方法是充分條件,具體見(jiàn)仿真分析。

2 閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)而言,穩(wěn)定性處在第一位,而系統(tǒng)含有擾動(dòng)是不可避免的,所以對(duì)含有擾動(dòng)的系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析至關(guān)重要。

2.1 閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖2 閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Closed-loop variable with error system structure

根據(jù)圖1反饋互聯(lián)系統(tǒng)和圖2閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)結(jié)構(gòu),兩圖相比較,假設(shè)u(t)+d1(t)看作u1,d2(t)看作u2,那么閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性等同于反饋互聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.2 線性時(shí)不變閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性

從能量觀點(diǎn)出發(fā),使用L2穩(wěn)定性對(duì)系統(tǒng)做穩(wěn)定性分析,假設(shè)子系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng),對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)

(14)

證明由于是線性系統(tǒng),不失一般性,令x(0)=0,則y的Fourier變換是

(15)

輸出y的L2范數(shù)

(16)

由Parseval定理得

(17)

根據(jù)式(15)～式(17)可得輸出y的L2范數(shù)平方為

(18)

2.3 非線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

上面是對(duì)線性時(shí)不變的變量帶誤差系統(tǒng)求系統(tǒng)增益。接下來(lái)對(duì)于非線性的閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng),同樣可以求系統(tǒng)增益并利用小增益定理判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。但是除了直接用小增益定理之外,還有另外一種方法,即假如子系統(tǒng)是Lipschitz的,可以使用Lipschitz條件直接對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo),從而確定系統(tǒng)的有限增益穩(wěn)定性。本節(jié)主要使用Lipschitz條件確定系統(tǒng)的有界輸入有界輸出穩(wěn)定性,其等同于系統(tǒng)的有限增益L∞穩(wěn)定性。

以圖1反饋互聯(lián)系統(tǒng)為例,作如下假設(shè)條件:

1)子系統(tǒng)H1、H2滿足Lipschitz條件,即系統(tǒng)是Lipschitz的。以子系統(tǒng)H1為例,必然?γ∈[0,∞)和?u1、u2滿足

‖H1(u1)-H1(u2)‖∞≤γ‖u1-u2‖∞

式中:u1、u2為子系統(tǒng)H1的輸入;γ為非負(fù)實(shí)數(shù),也稱(chēng)Lipschitz常數(shù),Lipschitz常數(shù)與使用的范數(shù)有關(guān),如式(19)使用的是無(wú)窮范數(shù)。本節(jié)主要以無(wú)窮范數(shù)為例進(jìn)行推導(dǎo)運(yùn)算。

2)u1、u2有界,即‖u1‖∞≤εu,‖u2‖∞≤εy。

根據(jù)圖1所示反饋互聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),得到

y1(t+1)=H1(e1(t))=H1(u1(t),y2(t))=

H1(u1(t),H2(e2(t)))=H1(y1(t),u1(t),u2(t))

(19)

為了方便,對(duì)式(19)符號(hào)變換,即

y(t+1)=f(y(t),u1(t),u2(t))

(20)

假設(shè)此時(shí)f(y(t),u1(t),u2(t))是滿足上述假設(shè)條件1)和條件2),則有

‖f(y1(t),u1(t),u2(t))-f(y2(t),u1(t),u2(t))‖∞≤

γ‖y1(t)-y2(t)‖∞

(21)

(22)

(23)

‖u1(t)‖∞≤ε1,‖u2(t)‖∞≤ε2

(24)

此時(shí)

‖y(1)‖∞=‖f(y(0),u1(0),u2(0))‖∞=

‖f(y(0),u1(0),u2(0))-f(0,u1(0),u2(0))+

f(0,u1(0),u2(0))-f(0,0,u2(0))+

f(0,0,u2(0))-f(0,0,0)+f(0,0,0)‖∞≤

‖f(y(0),u1(0),u2(0))-f(0,u1(0),u2(0))‖∞+

‖f(0,u1(0),u2(0))-f(0,0,u2(0))‖∞+

‖f(0,0,u2(0))-f(0,0,0)‖∞+‖f(0,0,0)‖∞

(25)

聯(lián)合式(21)～式(25)可得

‖y(1)‖∞≤γ‖y(0)‖∞+γu1‖u1(0)‖∞+

γu2‖u2(0)‖∞+‖f0‖∞≤

γ‖y(0)‖∞+γu1ε1+γu2ε2+‖f0‖∞

(26)

其中f0=f(0,0,0),同樣地,經(jīng)過(guò)一些計(jì)算,可以得到以下結(jié)果

‖y(2)‖∞≤γ‖y(1)‖∞+γu1‖u1(1)‖∞+

γu2‖u2(1)‖∞+‖f0‖∞≤

γ(γ‖y(0)‖∞+γu1ε1+γu2ε2+‖f0‖∞)+

γu1ε1+γu2ε2+‖f0‖∞≤

γ2‖y(0)‖∞+(γ+1)γu1ε1+

(γ+1)γu2ε2+(γ+1)‖f0‖∞

(27)

繼續(xù)計(jì)算,最終得到

(28)

如果γ<1,則γt→0,式(28)可化簡(jiǎn)為

(29)

故該反饋互聯(lián)系統(tǒng)是輸入輸出穩(wěn)定的。該方法與反饋互聯(lián)系統(tǒng)的小增益定理進(jìn)行比較,相當(dāng)于有限增益L∞穩(wěn)定,下面將2種方法進(jìn)行比較。

對(duì)于小增益定理,將反饋互聯(lián)系統(tǒng)按輸出形式展開(kāi),根據(jù)式(7)～式(10)得到

‖y1τ‖L∞≤γ1‖e1τ‖L∞+β1=

γ1(‖u1τ-y2τ‖L∞)+β1≤

γ1(‖u1τ‖L+‖y2τ‖L∞)+β1≤

γ1(‖u1τ‖L+γ2‖e2τ‖L∞+β2)+β1≤

γ1(‖u1τ‖L∞+γ2‖u2τ+y1τ‖L∞+β2)+β1≤

γ1‖u1τ‖L∞+γ1γ2‖u2τ‖L∞+γ1γ2‖y1τ‖L∞+

γ1β2+β1

(30)

將式(30)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到

(31)

故系統(tǒng)的輸出y1對(duì)有界輸入u1和u2是輸出有界的。這意味著可以從能量角度(2范數(shù))和輸入有界輸出有界(無(wú)窮范數(shù))的角度判斷閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性,當(dāng)然也可以其他范數(shù)形式判斷穩(wěn)定性。除了可以直接使用小增益定理證明穩(wěn)定性外,還可以使用Lipschitz條件直接進(jìn)行推導(dǎo)來(lái)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性判斷。

接下來(lái)本文給出兩者的聯(lián)系。通過(guò)將式(29)和式(31)相比較可以發(fā)現(xiàn)

(32)

(33)

(34)

聯(lián)合式(32)～式(34)可以輕易得到

γ=γ1γ2

(35)

γu1=γ1

(36)

γu2=γ1γ2

(37)

‖f0‖∞=γ1β2+β1

(38)

因此這2種分析方法本質(zhì)相同,相互聯(lián)系,當(dāng)一種方法不好分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí),可以用另外一種。

3 仿真算例

在本節(jié)中,為了驗(yàn)證所提出的閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的可行性和有效性,本文分別對(duì)線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)和非線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)展開(kāi)數(shù)值仿真并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析討論。

3.1 線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)仿真

下面進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證,對(duì)于圖2結(jié)構(gòu)形式的線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng),將其看作反饋互聯(lián)系統(tǒng),則u(t)+d1(t)看作u1,d2(t)看作u2,閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)的輸出看作y1。假設(shè)輸入u(t)=10,干擾是白噪聲并將其放大10倍,并且d1(t)=d2(t),其中

G(s)=

(39)

(40)

將式(39)和式(40)轉(zhuǎn)化為如式(14)形式的狀態(tài)方程,可以得到子系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣AG和AC都是Hurwitz的。將擾動(dòng)看作反饋互聯(lián)系統(tǒng)的輸入,可直接使用小增益定理判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

以子系統(tǒng)C(s)為例,令s=jw

則

(41)

根據(jù)式(41)可求得

(42)

其中:H表示共軛轉(zhuǎn)置。同樣地,‖G(jw)‖2也是如此?！珿(jw)‖2和‖C(jw)‖2的圖形如圖3所示,則其增益為

w圖3 系統(tǒng)傳遞函數(shù)頻域二范數(shù)Fig.3 System transfer function frequency domain two norm

故γ1γ2<1,整個(gè)閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)是有限增益L2穩(wěn)定的。系統(tǒng)擾動(dòng)誤差與系統(tǒng)輸出仿真結(jié)果如圖4所示,可以看出輸出有界。如圖5所示,將系統(tǒng)擾動(dòng)誤差與系統(tǒng)輸出放在一起比較,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可以在很大擾動(dòng)下保持輸出有界穩(wěn)定。

t/s

t/s圖5 系統(tǒng)擾動(dòng)和輸出曲線對(duì)比圖Fig.5 System disturbance and output curve comparison diagram

為了驗(yàn)證小增益定理對(duì)閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是充分條件,可以保持其子系統(tǒng)G(s)不變,將子系統(tǒng)C(s)變?yōu)?/p>

則可取

由于G(s)不變,可以得到

故γ1γ2>3,不滿足小增益定理。此時(shí)系統(tǒng)擾動(dòng)和輸出曲線如圖6所示,系統(tǒng)擾動(dòng)和輸出曲線對(duì)比如圖7所示,整個(gè)系統(tǒng)仍然是有界輸入有輸出穩(wěn)定的,故小增益定理是充分條件。

t/s

t/s圖7 γ1γ2>1時(shí)系統(tǒng)擾動(dòng)和輸出曲線對(duì)比圖Fig.7 When γ1γ2>1 system disturbance and output curve comparison diagram

3.2 非線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)仿真

對(duì)于非線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng),其子系統(tǒng)是非線性的,不能寫(xiě)成傳遞函數(shù)的形式,接下來(lái)本文使用L∞增益的小增益定理來(lái)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論驗(yàn)證。

將非線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)看作反饋互聯(lián)系統(tǒng),同理3.1小節(jié)。此時(shí)u(t)+d1(t)看作u1,d2(t)看作u2,非線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)的輸出看作y1。假設(shè)輸入u(t)=1,干擾d1(t)=d2(t)且是白噪聲的0.1倍,則有

(43)

‖u1‖L∞=‖u(t)+d1(t)‖L∞=1.4

(44)

‖u2‖L∞=‖d2(t)‖L∞=0.4

(45)

假設(shè)子系統(tǒng)H1的輸入輸出關(guān)系為

(46)

子系統(tǒng)H2的輸入輸出關(guān)系為

y2=h2(u)=ud

(47)

其中a、b、c、d是非負(fù)常數(shù)。

下面推導(dǎo)輸出和輸入之間的不等式關(guān)系,對(duì)于子系統(tǒng)H1,對(duì)雙曲正切函數(shù)求導(dǎo),得

(48)

當(dāng)u=0時(shí),函數(shù)斜率有最大值,故有

|tanh(cu)|≤|tanh'(cu)|max×|u|≤

(49)

根據(jù)式(46)和式(49)得

‖y1‖L∞=‖au+btanh(cu)‖L∞≤

(a+bc)‖u‖L∞

(50)

根據(jù)式(3)或式(4)可知H1的系統(tǒng)增益為

γ1=a+bc

(51)

同理,對(duì)于式(47),對(duì)于子系統(tǒng)H2可以得到

‖y2‖L∞≤d‖u‖L∞

(52)

其系統(tǒng)增益為

γ2=d

(53)

如果使用Lipschitz的分析方法,會(huì)發(fā)現(xiàn)2個(gè)子系統(tǒng)的Lipschitz常數(shù)就是γ1=a+bc和γ2=d。

在對(duì)參數(shù)a、b、c、d賦值之前,先作如下分析,根據(jù)式(31),將不等式的右端設(shè)為f(γ1,γ2),則

(54)

根據(jù)式(50)和式(52)得

β1=0,β2=0

(55)

令‖u1τ‖L∞=M1>0,‖u2τ‖L∞=M2>0可得

(56)

其中M1和M2是常數(shù),γ1>0,γ2>0,γ1γ2<1。

將式(56)中f(γ1,γ2)對(duì)γ1求偏導(dǎo)數(shù)得

(57)

對(duì)γ2求偏導(dǎo)數(shù)得

(58)

根據(jù)式(31)、式(57)、式(58),f(γ1,γ2)隨γ1和γ2的增大而增大。當(dāng)γ1和γ2的值變小,f(γ1,γ2)會(huì)變小,從而整個(gè)反饋互聯(lián)系統(tǒng)的輸出上界會(huì)變小。因此γ1和γ2的值越小越好,但是對(duì)于系統(tǒng)實(shí)際的輸出上界并不是這么簡(jiǎn)單的規(guī)律,具體分析如下。

在非線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)中,子系統(tǒng)如式(46)和式(47),對(duì)參數(shù)a、b、c、d取不同的值,可以得到不同的系統(tǒng)增益γ1和γ2。則在子系統(tǒng)構(gòu)成的非線性閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)中,令γ1和γ2取0.5或0.2,對(duì)于不同的γ1和γ2值輸出y1的曲線如圖8～圖11。

t/s圖8 γ1=0.5,γ2=0.5系統(tǒng)輸出曲線圖Fig.8 γ1=0.5,γ2=0.5 system output curve diagram

其中γ1取0.5,有

a=0.2,b=0.3,c=1

γ1取0.2,有

a=0.1,b=0.1,c=1

對(duì)于γ2取0.2或0.5,有γ2=d=0.2或γ2=d=0.5。圖8中:

γ1=0.5,γ2=0.5,γ1γ2=0.25

(59)

根據(jù)式(44)、式(45)、式(54)、式(55)、式(59)得

0.4≈1.066 7

(60)

同理,圖9中:

t/s圖9 γ1=0.5,γ2=0.2系統(tǒng)輸出曲線圖Fig.9 γ1=0.5,γ2=0.2 system output curve diagram

γ1=0.5,γ2=0.2,γ1γ2=0.1

(61)

0.4≈0.822

(62)

同理,圖10中:

t/s圖10 γ1=0.2,γ2=0.5系統(tǒng)輸出曲線圖Fig.10 γ1=0.2,γ2=0.5 system output curve diagram

γ1=0.2,γ2=0.5,γ1γ2=0.1

(63)

0.4≈0.355 6

(64)

同理,圖11中:

t/s圖11 γ1=0.2,γ2=0.2系統(tǒng)輸出曲線圖Fig.11 γ1=0.2,γ2=0.2 system output curve diagram

γ1=0.2,γ2=0.2,γ1γ2=0.04

(65)

0.4≈0.308 3

(66)

根據(jù)式(60)、式(62)、式(64)、式(66)得

f(0.2,0.2)

f(0.2,0.2)

由此可以得出有限增益γ值越小,根據(jù)式(31)中小增益定理得出的輸出的上界f(γ1,γ2)越小。

如圖8～圖11所示,圖中曲線是系統(tǒng)的實(shí)際輸出,可以得到不同的‖y1‖L∞值,該值是實(shí)際輸出的最小上界且滿足式(31),證明了小增益定理的有效性和可行性。

將圖8和圖9對(duì)比,圖10和圖11對(duì)比可以得到當(dāng)γ1不變,γ2越小時(shí)實(shí)際輸出的最小上界變大,但這并沒(méi)有違反小增益定理中γ越小越好的結(jié)論,因?yàn)樾≡鲆娑ɡ碇惺巧辖缍亲钚∩辖?。?duì)比圖8和圖11可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ1和γ2一起變小,此時(shí)實(shí)際輸出的最小上界同樣變小。

對(duì)于γ1不變,γ2變小而最小上界變大的情況進(jìn)行如下討論,根據(jù)式(30)得

‖y1τ‖L∞≤γ1‖e1τ‖L∞+β1=

γ1(‖u1τ-y2τ‖L∞)+β1

(67)

將數(shù)據(jù)代入,則u1>0。當(dāng)γ2變小時(shí)y2會(huì)縮小,造成上述情況的原因是γ2變小時(shí)‖u1τ-y2τ‖L∞變大,設(shè)γ1=0.5,γ2從0.5變到0.2時(shí)e1=u1-y2的曲線如圖12所示,增益變小后上界變大。

t/s

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)的輸入輸出意義上的穩(wěn)定性分析。在分析之前,將系統(tǒng)視為黑盒子,只過(guò)問(wèn)輸入、輸出,不過(guò)問(wèn)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài),并給出了輸入輸出意義上的穩(wěn)定性概念L穩(wěn)定性和反饋互聯(lián)系統(tǒng)的小增益定理。對(duì)于含有輸入輸出擾動(dòng)誤差的閉環(huán)系統(tǒng),將其看作是一個(gè)反饋互聯(lián)系統(tǒng),可以直接應(yīng)用小增益定理對(duì)閉環(huán)變量帶誤差系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。除此之外,還可以使用Lipschitiz常數(shù)并利用幾何級(jí)數(shù)的收斂性進(jìn)行穩(wěn)定性分析。另外,針對(duì)這2種穩(wěn)定性分析方法給出了其中的聯(lián)系。最后,使用數(shù)值分析證明了該方法的有效性和可行性,并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行討論。同樣地,該穩(wěn)定性分析方法可以擴(kuò)展到其他閉環(huán)控制系統(tǒng)中,比如模型預(yù)測(cè)控制和自適應(yīng)控制等。