基于PSO 算法的擺線鋼球減速器優(yōu)化研究?

倪天宇 平雪良

（江南大學機械工程學院 無錫 214122）

1 引言

作為隨著技術發(fā)展且為滿足高精度等相關應用需求而研發(fā)的一種精密鋼球行星傳動，擺線鋼球行星減速器打破了常規(guī)減速器的設計思路，摒棄了將齒輪用作傳動元素的常規(guī)設計模式，開創(chuàng)性地選用了鋼球，通過它實現(xiàn)動力的實時化、快速化傳輸，減少摩擦力，減弱噪音，另外，因機構中不含有齒輪，所以不會形成背隙。在輸出端，根據(jù)實際情況靈活合理地規(guī)劃和安裝間隙調(diào)節(jié)裝置，此舉能夠令行星傳動過程中理論上不會產(chǎn)生回差，有助于運動精度進一步提升。正是憑借著此優(yōu)勢，該機構在備受業(yè)內(nèi)人士青睞，在精密機械的傳動裝置中得到大力推廣和積極應用。

文獻［1~2］在對現(xiàn)有相關研究成果進行梳理分析后，從構成、運動原理等多角度入手，對擺線鋼球行星傳動展開了廣泛深入地分析，獲得了較為一系列豐碩的研究成果。文獻［3］將目光聚焦于雙擺線鋼球行星傳動，通過各種相關技術和方法對其設計方法展開了細致研究，最終創(chuàng)建了性能可靠、操作便捷的輔助設計軟件。文獻［4~5］為全面準確地把握擺線鋼球行星傳動性，在借鑒前人研究成果的前提下，對其在全載荷下對應的性能展開了深入細致地分析，最后表示可采用基于陶瓷球的設計計劃。文獻［6］著重對擺線槽的設計、數(shù)控加工方法等內(nèi)容展開了全面深入地分析。文獻［7］分別從結構、運動方式等多個層面出發(fā)，對擺線鋼球行星傳動展開了全方位、深層次地探討和分析。

多級擺線鋼球行星傳動在實際應用中表現(xiàn)出突出優(yōu)勢，比如傳動比區(qū)間大，只使用少量的齒數(shù)既能夠非常簡便容易地提高傳動比［8］。處于內(nèi)外擺線槽時，鋼球基本上保持著完全滾動的狀態(tài)，不會產(chǎn)生較大的滑動摩擦力，結構布設緊密合理，小型化，一般來講，其大小主要由鋼球規(guī)格、擺線盤厚度等相關因素決定。不過需要注意到，如果前后級結構設計不合理、不科學，容易令機構內(nèi)形成封閉功率，不利于構件均勻受力，甚至會導致構件磨損，導致傳動效率變?。?］。因此，對擺線鋼球行星傳動機構優(yōu)化設計顯得尤為的重要。

本文為了提高擺線鋼球行星減速器的運行效率及體積優(yōu)化，運用粒子群智能算法以體積和轉(zhuǎn)化機構效率高為目標函數(shù)，展開科學合理地結構優(yōu)化設計。在進行反復計算后，不僅確定了優(yōu)化參數(shù)，也明確了體積以及效率值這兩個重要函數(shù)，為擺線鋼球行星減速器結構設計和性能研究提供參考。

2 擺線鋼球行星傳動的原理

關于擺線鋼球行星減速器結構可參考下圖，能夠此圖能夠清晰直觀地了解到，它包含了兩級嚙合副組，一級嚙合副由中心盤2、行星盤4 及鋼球3 組成；第二級嚙合減速嚙合副由中心盤6、行星盤4組成。

圖1 擺線鋼球減速器結構圖

由上圖可知，擺線鋼球行星減速器的運行機制其實并不復雜，簡單來講，當主動偏心軸1 以恒定速度旋轉(zhuǎn)時，行星盤4 圍繞運動，在右端閉合圓形凹槽，中心盤2作用于鋼球3，從而控制閉合圓形凹槽的阻力。受此影響，行星盤4 的轉(zhuǎn)動速度有效降低，此時，第一次減速運動結束。隨著主動偏心軸1的繼續(xù)運動，行星盤4以此軸為中心公轉(zhuǎn)，在自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)的協(xié)同影響下，行星盤4 實現(xiàn)了精準高效地合成運動，帶動鋼球5進行運動，繼而帶動輸出盤6以非常小的角速度運行，此時，第二次減速運動結束［10］。

3 擺線鋼球行星結構優(yōu)化模型

3.1 目標函數(shù)

在整個傳動結構體系中，無論是行星盤，還是中心盤，它們均是不可或缺的重要組成，其結構參數(shù)設置的是否準確合理將直接關系到整個傳動裝置的體積及運行效率。所以，本文在滿足約束條件下，以體積、效率為目標函數(shù)，采取各種合適的方法進行了科學合理地結構參數(shù)優(yōu)化設計，由此保證選取的參數(shù)最優(yōu)。

1）體積目標函數(shù)

減速器的徑向尺寸主要取決于兩大因素：一是中心盤的規(guī)格，二是行星盤運動的最大回轉(zhuǎn)半徑，另外，其軸向尺寸也主要取決于兩大因素，分別是行星盤、中心盤的寬度。關于擺線鋼球減速器的尺寸詳情可參考圖2。

圖2 擺線鋼球減速器幾何尺寸參數(shù)圖

傳動機構的體積可近似由式（1）計算：

在上面的傳動機構體積的計算公式中，V1表示上一級嚙合運動中嚙合副的總體積（mm3），V2表示輸出恒星盤左端面至行星盤左端面的體積（mm3），Ra表示行星盤的最大慣性半徑（mm），Rb表示下一級嚙合副恒星盤的外圓直徑（mm），B1表示上一級嚙合副的總體的寬度（mm），B2表示輸出盤左端面至行星盤左端面的距離（mm）。

根據(jù)圖2將式（1）轉(zhuǎn)化為

2）效率目標函數(shù)

由文獻［11］減速器的傳動效率為

式中，ηa表示齒輪傳動效率，ηb表示軸承的傳動效率，表示一對滾動軸承的傳動效率。

由于，滾動軸承的摩擦損失很小，所以其摩擦功率損失可不予以考慮。一般來講，轉(zhuǎn)臂軸承的受力比較均勻合理，有助于延長使用周期，其傳動效率可取0.98左右。由此能夠了解到，該減速器的傳動效率的高低主要取決于嚙合效率的大小。以輸入輸出轉(zhuǎn)向相同作為減速器效率分析對象，可得：

在進行優(yōu)化設計時，無論是哪一個分目標函數(shù)值，均應采用合適的方法實施無量綱及等量級處。其中，fa（x）函數(shù)中權重系數(shù)取1/10100，fb（x）權系數(shù)取1/0.60，綜合以上所述，經(jīng)過整合完善后的設計變量的函數(shù)為

3.2 約束條件

1）齒數(shù)條件約束

在已知傳動比i 的情況下，從理論上來講，ZQ、Z'Q存在無窮多組合，不過在實踐中，鋼球數(shù)并非任意值均可，只可取整數(shù)。另外，需要注意ZQ、Z'Q的取值，切勿選取較小的值［12］，其主要原因在于若鋼球數(shù)過少，機構受力會在原來基礎上明顯增加，在實際應用中，鋼球數(shù)量往往至少要采用五個，即：

2）鋼球間不干涉條件

各鋼球在擺線槽內(nèi)各自循環(huán)滾動，只有各鋼球之間留有間隙，才能保證各鋼球之間不發(fā)生干涉碰撞。前后級嚙合副鋼球半徑應滿足的條件為

3）嚙合效率約束

擺線槽槽型角β的大小直接關系到其軸截面的齒廓。如果其角度值過小，那么鋼球或許會被夾緊，抑或是由于楔死而無法靈活自如地運動。但若其值過大，會使得嚙合時嚙合副在徑向上的分力銳減，降低嚙合的總體效率。關于β角，最好按照下式進行取值：

短幅系數(shù)K 是一個非常關鍵的參數(shù)，其取值是否合理不僅關系到擺線齒廓嚙合特性，也會對其幾何特性產(chǎn)生較為深刻的影響，一般來講，若K 取值過低，即令擺線齒廓的曲率半徑變大，造成嚙合副中作用力變大，繼而導致低減速器的承載性能有所減弱。反之，若其取值過高，會使得擺線齒廓的曲率半徑降低，此時，齒廓出現(xiàn)頂切的可能性比較大，同時會導致齒面接觸應力變大，不利于提高承載能力。根據(jù)實踐和經(jīng)驗，短幅系數(shù)K的取值范圍為

4 模型優(yōu)化求解

4.1 PSO算法

粒子群優(yōu)化算法是當前應用比較廣泛的一種進化計算策略，它是典型的基于群體的算法，結合對環(huán)境適應狀況，即我們通常所講的適應度，群體內(nèi)個體均逐步遷移至更優(yōu)的位置［13］。D 維空間中，有N 個粒子科學合理地布設空間粒子位置。若粒子i 位置為xi=(xi1,xi2,…,xiD)，將其套入適應度函數(shù)f（xi）之中，快速準確地求解出適應值，第i 粒子速度表示為vi=(vi1,vi2,…,viD)，粒子i 經(jīng)過的最優(yōu)空間區(qū)域pbesti=(pi1,pi2,…,piD) ，種群經(jīng)過的最優(yōu)空間區(qū)域…gbesti=(g1,g2,...,gD)。第d（1 ≤d≤D）維的位置區(qū)間一般為[Xmin,d,Xmax,d]，速度區(qū)間為[-Vmin,d,Vmax,d]，換言之，在進行迭代處理的過程中，如果Vid，Xid大于邊界值，那么此維的速度或空間區(qū)域即會約束為其速度或位置的極大值［14］。粒子i的第d維速度更新公式：

式中：c1，c2為加速度常數(shù)，調(diào)節(jié)學習最大步長；r1，r2為兩個隨機函數(shù)，取值范圍［0，1］，以增加搜索隨機性；w：慣性權重，非負數(shù)，調(diào)節(jié)對解空間的搜索范圍。粒子i的第d維位置更新公式見式（11），其中表示第k次迭代粒子i飛行速度矢量的第d維分量；表示第k次迭代粒子i位置矢量第d維分量［15］；

PSO 算法在實際應用過程中，通常會借助線性遞減策略，科學合理地調(diào)整慣性權重，由于無法準確客觀地反映粒子群非線性，所以，算法搜索方向的啟發(fā)性較弱?？陀^來講，早期慣性權重值往往可以選取便于實現(xiàn)全局搜索的偏大值，不過這會導致算法工作量增大，投入增多，也會造成收斂速度降低；后期時期可以獲取能夠促進算法收斂的較小值，不過得到局部最優(yōu)解的可能性比較大［16］。依托隨機數(shù)的特性科學合理地改變慣性權值，便于后期獲得更符合要求的值。

本文提出一種基于Levy 隨機步長的PSO 隨機慣性權值w 進行優(yōu)化。Levy隨機飛行步長的生成，其可以分為三部分來描述：

式（12）中參數(shù)μ和?滿足正態(tài)分布要求，β∈［0.3，1.99］。

在式（14）中Γ（z）是gamma 函數(shù)，根據(jù)Levy 隨機飛行步長基本原理，對PSO算法的權值修改為

粒子i的第d維速度更新公式可調(diào)整為

4.2 基于改進PSO算法的優(yōu)化設計分析

多目標優(yōu)化問題相對較為復雜，現(xiàn)有算法難以實現(xiàn)對各子目標函數(shù)的快速化、精準化、全面化比較分析，它們無法實現(xiàn)同步最優(yōu)，對于當前應用比較廣泛的多目標粒子群優(yōu)化算法來講，其根本在于通過對各函數(shù)間關系的針對化、合理化調(diào)節(jié)，令其盡量均滿足設計要求。

在改進的PSO算法中，相較于適應度較大的個體，較低的個體明顯更勝一籌。在選取適應度函數(shù)時，要著重考慮持續(xù)性、單值等特征。本文在充分考慮被研究對象特性的基礎上，將體積、效率高定義為目標函數(shù)，實現(xiàn)對機構嚙合效率最小化問題的正確求解。所以，關于被研究對象的優(yōu)化模型可參考下式，其中i=1,…,m;j=1,2,…,n。

基于外點懲罰函數(shù)法確定兩個目標函數(shù)的適應度評價函數(shù)：

r表示懲罰因子，c表示遞增系數(shù)。

在Matlab 中應用PSO 算法對上述適應度評價函數(shù)進行優(yōu)化求解，將會得到最優(yōu)化的擺線鋼球行星減速器機械結構和效率配置參數(shù)。

5 仿真分析與實際試驗驗證

5.1 實驗環(huán)境

本文仿真實驗環(huán)境配置如表1所示。

表1 實驗配置表

5.2 仿真參數(shù)

假設樣機的輸入功率為P=0.6KW，輸入轉(zhuǎn)速n=1000r/min，傳動比i=70。取?1=2mm，?2=4mm，?3=5mm，△=3mm，t2=0.65r′Q。減速器其他原始數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 PSO模型優(yōu)化結果

在采用PSO算法進行分析處理時，仿真參數(shù)如下設定：學習因子c1=c2=0.3，種群中的個體總數(shù)為40。本文在綜合考慮各方面因素之后決定，最大迭代次數(shù)取300 次，關于慣性權重w，可通過式（15）進行準確合理地確定。應用Matlab 對模型進行仿真分析。經(jīng)過300 次迭代后，基于PSO 算法的擺線鋼球行星減速器機械結構評價函數(shù)適應度曲線為如圖3所示。

從圖中可以看出當模型迭代超過60 次時適應度值達到最優(yōu)狀態(tài)?？梢钥闯瞿Ｐ偷氖諗克俣仁窍喈斂斓?，也較為穩(wěn)定。最終得出的擺線鋼球行星減速器機械結構和效率優(yōu)化曲線如圖4所示。

圖4 結構和效率優(yōu)化曲線

從上圖曲線中可以看出，擺線鋼球行星減速器機械結構運行效率與體積成非線性增長。當體積達到120cm3時，減速器體積變大，效率并未大幅提高。在非劣解集中，按照特定標準和要求選擇一組優(yōu)化參數(shù)，求解減速器的體積及轉(zhuǎn)化機構嚙合效率，將其結果和初始信息相對比，具體可參考表2。

5.3 試驗驗證

本文采用某公司在研的型號為BR160SSBR160SH 減速器為研究對象，對上述擺線鋼球結構優(yōu)化模型進行驗證分析。并在仿真實驗分析的基礎上加工了三組減速器試驗樣機，測試樣機零件圖如圖5所示。

圖5 測試樣機零件圖

在輸入功率和傳動比不變的情況下，取測試結果最優(yōu)的一組，測試結果如表3所示。

表3 測試結果分析

根據(jù)實際情況，試驗樣機體積相較于初始減速器體積，優(yōu)化后降低了13%，效率則明顯提升，由最初的86.73%轉(zhuǎn)變?yōu)?3.84%。仿真結果與實際試驗驗證結果基本一致。

6 結語

本文根據(jù)以擺線鋼球行星減速器結構和運行效率為優(yōu)化目標。對鋼球行星減速器原理分析的基礎上，提出結構和效率優(yōu)化的目標函數(shù)，并根據(jù)實際鋼球行星減速器運行情況提出約束條件。根據(jù)想要達到的優(yōu)化目標和約束條件，應用PSO算法進行優(yōu)化求解。根據(jù)仿真模擬的優(yōu)化結果和試驗驗證表明，應盡量使偏心距的值減小，以減小體積。同時，在允許的范圍內(nèi)減小K 值，建議K 值取0.45~0.5之間。