基于三參數(shù)威布爾分布的骨水泥疲勞性能的試驗(yàn)研究

徐永芝, 王福霞

(許昌學(xué)院 土木工程學(xué)院,河南 許昌 461000)

PMMA骨水泥與傳統(tǒng)的鋼釘固定方式的骨水泥相比,有諸多優(yōu)點(diǎn):固定強(qiáng)度高,可以在原位終凝,具有彈性緩沖的作用,并能將荷載均勻地傳遞給宿主骨.但是,PMMA骨水泥的抗拉強(qiáng)度較低,僅僅能達(dá)到24～50 MPa[1],當(dāng)承受較大荷載時(shí),骨水泥容易出現(xiàn)脆性斷裂[2].在循環(huán)荷載作用下,PMMA骨水泥的界面,易產(chǎn)生疲勞裂紋,造成斷裂[3].

對(duì)PMMA骨水泥的標(biāo)準(zhǔn)試件進(jìn)行對(duì)稱循環(huán)荷載下的軸向拉壓疲勞試驗(yàn),以得到拉壓應(yīng)力作用下的疲勞壽命,建立疲勞壽命曲線(S-N曲線).在此基礎(chǔ)上,以相關(guān)的α和β系數(shù)作為精確評(píng)價(jià)指標(biāo),用三參數(shù)的威布爾分布法進(jìn)行試驗(yàn)研究,對(duì)其疲勞壽命的威布爾分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì),得到不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命分布函數(shù)[4,5].最后基于Origin軟件的數(shù)據(jù)擬合功能,建立全應(yīng)力水平范圍內(nèi)可靠指標(biāo)的S-N曲線[6,7].研究成果可為PMMA骨水泥疲勞特性的研究和疲勞壽命預(yù)測(cè)模型的建立提供試驗(yàn)依據(jù).

1 實(shí)驗(yàn)部分

PMMA骨水泥的主要成分為聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)粉末和甲基丙烯酸甲酯(MMA)單體[8],引發(fā)劑(DMPT)和促進(jìn)劑(BPO),以及顯影劑(BaSO4)和緩凝劑(HQ).依據(jù)醫(yī)用丙烯酸骨水泥的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),即:外科植入物—丙烯酸樹脂粘接劑(ISO-5833-2002),采用超聲波震蕩法制備PMMA骨水泥.

圖1 疲勞試樣及尺寸

并根據(jù)ASTM F2118-01a的規(guī)范要求,制備標(biāo)準(zhǔn)的啞鈴形疲勞試樣,如圖1所示,采用WDW-5型電子萬能試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行拉-壓疲勞測(cè)試,測(cè)試頻率5 Hz,拉壓應(yīng)力幅值設(shè)為25 MPa,記錄每個(gè)試樣斷裂時(shí)的拉壓循環(huán)次數(shù),剔除循環(huán)次數(shù)低于1 000的樣品.

2 結(jié)果與討論

2.1 試驗(yàn)結(jié)果

疲勞試驗(yàn)中,所有的PMMA標(biāo)準(zhǔn)試件均在平行部分的中部位置斷裂,試驗(yàn)數(shù)據(jù)符合要求.在對(duì)稱循環(huán)荷載作用下,按遞增順序?qū)潭☉?yīng)力水平下PMMA骨水泥標(biāo)準(zhǔn)試件的疲勞壽命進(jìn)行排序,并根據(jù)GB/T 24176-2009《金屬材料疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方案與分析方法》,由中位數(shù)排序位階法求得固定應(yīng)力水平下疲勞壽命的累積失效概率(Median Ranks)為式(1)所示.

p(Nf)=(M-0.3)/(G+0.4),

(1)

式中,M為0,1,2,3,…G;G為每一試樣的總數(shù).

PMMA標(biāo)準(zhǔn)試件對(duì)稱循環(huán)荷載下軸向拉壓疲勞壽命及其累積失效概率見表1.

表1 PMMA標(biāo)準(zhǔn)試件疲勞壽命及累積失效概率表

2.2 PMMA骨水泥S-N曲線研究

2.2.1 疲勞壽命的三參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)

在所有可用的可靠性計(jì)算的分布當(dāng)中,威布爾分布是唯一可用于工程領(lǐng)域的.在1937年,Waloddi Weibull教授(1887-1979)創(chuàng)造性地提出了該種分布,它是用于失效數(shù)據(jù)分析分布中應(yīng)用最廣泛的分布之一,也用于壽命數(shù)據(jù)分析,因?yàn)橄到y(tǒng)或部件的壽命周期的測(cè)量也需要分析.

威布爾分布的疲勞壽命分布函數(shù)的失效概率由式(2)給出.

(2)

式中,Nf為實(shí)測(cè)疲勞次數(shù);N0為尺度參數(shù),代表最小疲勞次數(shù);α為形狀參數(shù),代表斜率;β為尺度參數(shù),代表特征壽命,即失效概率為63.2%的循環(huán)次數(shù),由式(3)求得

β=Nο+exp(-C/α),

(3)

式中,C為Y軸截距.為了將式(2)變?yōu)楦庇^的Y=mX+B的形式,現(xiàn)對(duì)式(2)的等式兩邊進(jìn)行自然對(duì)數(shù),變成公式(4)所示.

(4)

威布爾三參數(shù)計(jì)算的疲勞壽命值由式(5)計(jì)算得到.

NWM=Nο+(β-Nο)Γ(1+1/α).

(5)

2.2.2 三參數(shù)威布爾分布在Origin中的實(shí)現(xiàn)

以骨水泥標(biāo)準(zhǔn)試件的疲勞壽命數(shù)據(jù)(如表1所示)為基礎(chǔ),利用Origin軟件作圖法計(jì)算出威布爾分布的三參數(shù). 以表1中的累積失效概率列l(wèi)n(Nf)的數(shù)據(jù)為X軸,以二階累計(jì)失效概率列l(wèi)n(ln(1/(1-Median Rank)))的數(shù)據(jù)為Y軸,在Origin中繪制函數(shù)曲線如圖2所示.

根據(jù)函數(shù)圖像估畫出漸近線,得到ln(N0)=8.3,求得N0≈4 024. 重新以ln(Nf-N0)為X軸,以二階累計(jì)失效概率列的數(shù)據(jù)為Y軸,在Origin中再次繪制函數(shù)曲線如圖3所示.

圖2 三參數(shù)法威布爾分析法的漸近線

圖3 三參數(shù)威布爾分析法的方程擬合

根據(jù)Origin的擬合結(jié)果,得到函數(shù)的直線方程為Y=1.043X-10.412.即α=1.043,C=-10.412,將α、N0和C的值代入式(3)中,得到β=21 650;代入式(5)求得威布爾均值NWM=21 355.

2.2.3S-N曲線擬合

基于上述試驗(yàn)數(shù)據(jù)及Origin的擬合結(jié)果,以Nf,α=1.043,β=21 650作為威布爾分布的三參數(shù),利用威布爾三參數(shù)公式Weibull(Nf,α,β,TRUE).

以表2數(shù)據(jù),利用Origin軟件繪制可靠指標(biāo)為4.2時(shí),PMMA骨水泥的S-N曲線如圖4所示. 由圖4可以看出,骨水泥的斷裂可以分為三個(gè)階段:(1)裂紋的萌生階段;(2)裂紋的擴(kuò)展階段;(3)裂縫的快速斷裂階段. 隨著骨水泥受到的荷載的增加,裂紋進(jìn)入快速發(fā)展階段,骨水泥的橋接裂縫的作用減弱,最后骨水泥斷裂. 實(shí)驗(yàn)的結(jié)果證明,三參數(shù)威布爾分布可以有效地反應(yīng)骨水泥疲勞性能.

表2 威布爾分布的三參數(shù)(Nf,α=1.043,β=21 650)

圖4 PMMA骨水泥的壽命曲線

3 結(jié)語(yǔ)

(1)根據(jù)GB/T 24176-2009《金屬材料疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方案與分析方法》,由中位數(shù)排序位階法求得固定應(yīng)力水平下疲勞壽命的累積失效概率(Median Ranks),獲得較高的計(jì)算精度.

(2)分別以累積失效概率列的數(shù)據(jù)和二階累計(jì)失效概率列的數(shù)據(jù)為X軸和Y軸,利用Origin軟件繪制函數(shù)曲線和漸近線,并采用三參數(shù)威布爾分布法對(duì)PMMA骨水泥標(biāo)準(zhǔn)試件進(jìn)行疲勞壽命的三參數(shù)估計(jì),建立全應(yīng)力水平范圍概率的S-N曲線,并準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出PMMA骨水泥的疲勞壽命為NWM=21 355.

(3)研究成果可為研究PMMA骨水泥力學(xué)性能,并為建立預(yù)測(cè)疲勞壽命的模型提供試驗(yàn)依據(jù).