非線性色散耗散波動方程混合元方法的超逼近分析

史艷華

(許昌學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 許昌 461000)

考慮如下非線性色散耗散波動方程:

(1)

其中,X=(x,y),?Ω是矩形區(qū)域Ω的邊界,u0(X),u1(X)是已知光滑的函數(shù),f(u)關(guān)于u滿足Lipschitz連續(xù)性,即

|f(u1)-f(u2)|≤L|u1-u2|,?u1,u2∈R.

1 單元構(gòu)造和混合元半離散逼近格式

(2)

(3)

Vh={vh;vh|K∈P1,vh|?Ω=0,?K∈Γh},

根據(jù)文[12-13],有下面結(jié)論.

(4)

(5)

(6)

(7)

根據(jù)[14]知,投影算子Rh有如下逼近結(jié)果:

‖u-Rhu‖0+h‖u-Rhu‖1≤Ch3‖u‖3.

(8)

‖I1u-Rhu‖1≤Ch3‖u‖4.

(9)

2 半離散格式的超逼近分析

類似于文[6]中的分析,不難得到半離散格式(6)的解的穩(wěn)定性結(jié)果.下面進(jìn)行超逼近分析.

由方程(3)和(6),得誤差方程

(10)

(11)

根據(jù)投影算子的性質(zhì)(8),則

(12)

借助函數(shù)f(u)的Lipschitz連續(xù)性,得到

|(f(u)-f(uh),ξt)|≤L‖u-uh‖0‖ξt‖0≤L(‖η‖0+‖ξ‖0)‖ξt‖0

(13)

因此,

上式兩邊從0到t積分,并注意到ξ(0)=ξt(0)=0,再利用Gronwall不等式,有

再利用(9)得到

定理1的第一式得證.

(14)

根據(jù)(4)和(9)有

(15)

再借助(5)和定理1第一式的結(jié)果,(14)式可以估計為

(16)

類似于(12)(13)的估計可以得到

從而

(17)

將估計式(17)代入(16)中,得到

定理1的第二式得證.

3 全離散格式的超逼近分析

(18)

下面給出全離散格式下的超逼近結(jié)果.

(19)

(20)

下面我們依次估計(20)式的右端項Ai,i=1,…,5.

將以上估計式代入式(20),然后兩邊同時乘以4τ并且從1到n求和得

借助離散的Gronwall引理得

(21)

再利用插值算子I1與投影算子Rh之間的關(guān)系式(9)得到

利用Schwartz不等式和結(jié)論(21),得

根據(jù)引理的式(5)得

類似于(15)式的估計可以得到

再由時間方向逼近格式的誤差估計得

因此,

(22)

首先利用Cauchy不等式及定理2的第一個結(jié)論可以得到

類似于A1至A5的估計,得到

從而

將其代入式(22)得

結(jié)論得證.