基于接觸非線性的箔片結構力學特性分析

黎榮健,肖曙紅,張巖

(廣東工業(yè)大學 機電工程學院,廣州 510006)

與傳統(tǒng)的油潤滑軸承和滾動軸承相比,箔片氣體軸承因結構簡單,使用壽命長,維護成本低以及能在高速、高溫等極端環(huán)境下運行[1-2],成為高速渦輪機械的絕佳選擇[3]。在已開發(fā)的箔片軸承類型中,徑向箔片氣體軸承使用最廣泛,軸套內部放置一個柔性箔結構, 該結構由一個波箔和一個頂箔組成,這種彈性支承結構增強了軸承的承載能力和阻尼[4],克服了氣體黏度低帶來的性能缺陷。

快速、準確預測軸承性能對于箔片氣體軸承的開發(fā)至關重要,然而,由于摩擦使得軸承系統(tǒng)具有高度非線性,仍然很難準確描述軸承的工作特性。文獻[5-6]用一種彈簧模型模擬箔片,將各個波箔片等效為無相互作用的彈簧,但忽略了頂箔的剛度,箔片之間的摩擦和波箔之間的相互作用,導致結構剛度被低估。不過該模型因其結構簡單,易于編程仍被廣泛使用[7-9],文獻[10]就利用此類模型在研究中首次考慮了箔片結構的阻尼效應,并預測了箔片軸承的剛度和阻尼系數。雖然上述模型已被廣泛采用,但由于轉軸與頂箔之間碰撞的相互作用被丟棄,因而具有局限性。為獲得更精確的模擬結果,開始使用有限元法對軸承進行建模:文獻[11]使用二維梁單元對頂箔和波箔建模,并使用黏滑算法[12]考慮摩擦,建立了考慮滯回特性的模型,預測表明一個靜載荷對應多個平衡位置;文獻[13]同樣采用梁單元為基礎的有限元結構模型,但不同之處在于采用非線性接觸的數值程序處理各接觸區(qū)域的接觸力,并將該方法應用于三維模型[14]。另外還可使用殼單元模擬箔片[15-18],如文獻[15]提出了一個考慮大位移的非線性模型,并將箔片建模為殼單元,文獻[18]以懲罰法和正則化摩擦定律為基礎對波箔進行建模。還有使用有限元商業(yè)代碼[19-20]對箔片進行建模的方法,其考慮了箔片之間的相互作用,但求解較為復雜,在建立非線性摩擦模型時數值收斂性不好。

為簡化計算量并保證計算精度,開發(fā)了近似有限元結構的桁架系統(tǒng)。文獻[21]用一種結構簡單的桁架系統(tǒng)模擬波箔片,每個波箔片被建模為3個基本彈簧,彈簧的剛度由卡斯提利亞諾理論獲得,雖然結構簡單,但與有限元仿真結果表現出更好的一致性,還證明了波箔相互作用的重要性。文獻[22-23]采用上述桁架模型,在波箔與軸套的接觸部位增加了垂直自由度,并考慮了頂箔的影響和軸承系統(tǒng)的接觸/分離行為,箔片結構的法向和切向接觸力分別采用增廣拉格朗日乘子法和懲罰法處理,分析結果與文獻[24-25]一致。

為準確描述摩擦對軸承系統(tǒng)特性的影響,本文提出一種考慮非線性接觸的靜態(tài)結構模型,其能捕捉柔性結構的非線性與時變性;主要討論波箔與軸套之間以及箔片之間的點線接觸狀態(tài);利用懲罰法離散每個接觸區(qū)域的力學向量,通過正則化技術改進庫倫摩擦模型,采用牛頓-拉弗森法求解平衡方程;最后通過轉子推拉仿真得到箔片結構的力學行為與能量耗散等特性。

1 理論模型

1.1 波箔建模

以軸心為原點建立全局坐標系OXY,則徑向箔片氣體軸承簡化圖如圖1所示,為簡化計算量,波箔采用文獻[21]提出的簡化桁架結構進行建模。對波箔建立局部坐標系Oxy,2個波箔片組成的箔片數學模型如圖2所示,可以擴展到任意數量波箔片,因為考慮了波箔、頂箔與軸套之間的松緊接觸,在每個凸塊底部都需要增加一個額外的自由度(圖2中藍色箭頭),即垂直位移,并且需要重新求解波箔的剛度。

圖1 徑向箔片氣體軸承簡化圖

圖2 2個波箔片組成的箔片數學模型

(1)

進一步轉化為全局坐標系的局部剛度矩陣kb,即

(2)

(3)

c=cosβ,

s=sinβ,

式中:T為坐標轉換矩陣;β為兩坐標系之間的夾角。

1.2 頂箔建模

(4)

式中:E為材料彈性模量,GPa;A為單元橫截面積,m2;I為橫截面積的慣性矩,m4;Le為單元長度,m。

1.3 摩擦接觸建模

頂箔和軸套視為主體,波箔視為從體。在外力作用下,箔片的變形增加了箔片之間的接觸面積,理論上,每個波箔與頂箔之間應建立多個接觸點對,由于與箔片的長度相比變形的尺寸較小,因此僅選擇每個波箔上的最高節(jié)點作為接觸節(jié)點。箔片結構及接觸點示意圖如圖3所示,波箔上的綠色節(jié)點為接觸節(jié)點,也被視為檢測點,被檢測節(jié)點位于紅色單元中,藍色節(jié)點是與接觸對相關的節(jié)點。

圖3 箔片結構及接觸點示意圖

頂箔與波箔之間的接觸示意圖如圖4所示,Q為波箔的接觸節(jié)點,P為Q在頂箔上的投影,P與Q之間的相對位移為(下角標t表示切向方向,n表示法向方向)

圖4 頂箔與波箔之間的接觸示意圖

uP-uQ=Ncuc,

(5)

Nc=[-N1(ξ) -N2(ξ)I2×2],

上述向量在全局坐標系中定義,為方便計算,將其引入到接觸條件中,在接觸點對的局部坐標系中重新定義(5)式,即

(6)

L=-I2×2,

(7)

式中:uB,uA分別為P,Q在局部坐標系中的位移向量;L為坐標變換矩陣。

將接觸面離散化后,每個接觸區(qū)域的分布接觸力轉化為離散形式,節(jié)點Q的法向接觸力Fn表示為

(8)

式中:α為懲罰數,實際計算中不可能將α設置為無窮大以獲得準確解,需要根據實際問題選擇一個可接受的值,本文α取1.0×108N/mm。

利用庫倫摩擦模型將節(jié)點Q的切向接觸力Ft表示為

(9)

(10)

式中:c1為控制正則化摩擦模型與庫倫摩擦模型之間接近度的平滑參數,本文c1取100 m。

結合(9)—(10)式得到Q點切向力為

(11)

根據反作用力原理可得到相關節(jié)點對和接觸節(jié)點對的等效節(jié)點接觸力向量,即

(12)

FB=[FtFn]T,

式中:FB為B點的接觸力向量;qc等效節(jié)點接觸力向量。

由于考慮了摩擦接觸,非線性行為被引入模型,假設將所有單元組合后形成的系統(tǒng)的全局非線性方程為

K(u)=FL=Ku-Qc,

(13)

式中:K(u)為u的非線性函數;FL為外力向量。

牛頓-拉弗森法是求解非線性方程的基本方法之一,其從一個假設解開始,通過不斷的迭代逼近真實解,直到滿足收斂準則。假設第l步的近似解已知,記作ul,則下一步的近似解ul+1近似為一階泰勒展開式,即

(14)

進一步寫為

(15)

(16)

Qc=[(qc,1)T(qc,2)T… (qc,Ncont)T]T,

(17)

D=[(uc,1)T(uc,2)T… (uc,Ncont)T]T,

(18)

(19)

最后得到線性化的系統(tǒng)方程為

(20)

(21)

通過(20)式得到增量Δul,則新的近似解為ul+1=ul+Δul,通常該解滿足不了原非線性方程,當殘差變得足夠小時,u是正確解。平衡方程的收斂準則為

(22)

2 結果與分析

轉子不對中時,隨著轉軸在垂直方向移動,箔片結構在垂直和水平方向都發(fā)生變形,箔片的垂直變形決定了軸承的承載能力,而水平運動產生阻尼。箔片氣體軸承結構參數見表1,利用Matlab將數學模型轉化為程序語言進行仿真,轉軸的最大徑向位移設為79.5 μm(即2.5C),程序模擬轉軸在正負X,Y方向上逐步壓向箔片結構,當轉軸位移超過C時,轉軸的表面和箔片結構開始相互作用,達到最大徑向位移后,轉軸逐漸被拉回初始位置。

表1 箔片氣體軸承結構參數

2.1 箔片結構力學行為

不同摩擦因數下X,Y方向靜載荷與轉軸位移的關系如圖5所示:除-X方向外仿真結果與文獻[20]完全非線性模型的結果非常吻合,因為仿真程序闡明了加載和卸載,所以預期的滯回曲線清晰可見;靜載荷為轉軸擠壓頂箔時受到頂箔的反作用力,方向為轉軸徑向移動方向,并與接觸點處切線垂直,加載過程的靜載荷比卸載過程的靜載荷大,這是因為卸載開始時一部分力平衡了摩擦力,接觸點不會立即滑動;載荷與偏轉曲線在輕載荷區(qū)域不是線性的,而在重載荷區(qū)域幾乎是直線,這是因為在輕載荷區(qū)域只有少數波箔發(fā)生變形, 當變形波箔的數量不再增加時,載荷與偏轉曲線的斜率幾乎恒定; 隨著摩擦因數的增大,環(huán)路變得越來越明顯,當沒有摩擦時,加載過程曲線與卸載過程曲線完全重合;在-X方向上,仿真預測結果明顯小于完全非線性模型預測結果,文獻[22]指出,雖然固定端附近的幾個波箔的剛度非常大,但自由端附近的波箔剛度非常小,因此完全非線性模型可能會高估-X方向上的結構剛度。

圖5 不同摩擦因數下靜載荷與轉軸位移的關系

摩擦因數分別為0,0.10,轉軸達到最大徑向位移(2.5C)時4個方向波箔上的靜載荷仿真結果如圖6所示:波箔從固定端開始編號,摩擦因數對各波箔之間剛度的相對大小有影響;對于-X方向,靠近固定端的第1和第2個波箔比其他波箔的靜載荷大得多,自由端附近波箔的靜載荷很小。

圖6 轉軸位移為2.5C時各波箔的承載力

2.2 固定端對箔片剛度的影響

選擇+X方向分析固定端對箔片剛度的影響,如圖7所示,隨著轉軸在+X方向上被推拉(最大徑向位移為2.5C),第10到第18個波箔與轉軸表面接觸,波箔14的垂直位移最大,波箔14左右兩側各選一個波箔(波箔12與16)進行對比分析。

圖7 波箔與轉軸表面接觸

轉軸在+X方向上被推拉至徑向位移為2.5C的過程中,波箔12,14,16的滯回曲線如圖8所示:無論加載還是卸載過程,靠近固定端的波箔具有更大的剛度;在整個回路中,波箔垂直位移與靜載荷之間呈線性關系,符合實際情況。轉軸最大徑向位移分別為60,70,80 μm時波箔14的滯回曲線如圖9所示:在卸載過程中曲線不重合,這是固定端施加反作用力的結果。通過上述仿真結果可以看出,固定端對箔片結構力學性能的影響不能忽略。

圖8 波箔12,14,16的滯回曲線

圖9 轉軸最大徑向位移分別為60,70,80 μm時波箔14的滯回曲線

轉軸最大徑向位移分別為60,70,80 μm時波箔12與波箔16的滯回曲線如圖10所示:波箔12更接近于固定端,在大回路中表現出更高的剛度。這是因為仿真時轉軸中心左側的波箔受固定端響應力的影響較大;在卸載過程中,固定端的響應力有助于箔片克服摩擦力,促進接觸節(jié)點的滑動,預載荷較小時該現象更為明顯;隨著預載荷逐漸增大,固定端的響應力對波箔的影響變小,這是因為轉軸位移增加到一定程度時反作用力比摩擦力小很多,從而導致預載荷較小的轉軸在卸載過程中更快進入滑動狀態(tài)。

轉軸徑向位移為2.5C,摩擦因數為0.1,不同方向上波箔的耗散能量如圖11所示,在圖11的基礎上繼續(xù)研究不同摩擦因數下箔片的總耗散能量,結果如圖12所示:影響耗散能量的因素為靜載荷和接觸點的水平位移,能夠看出各波箔耗散能量與圖6中的靜載荷分布略有不同;隨著摩擦因數的增大,能量耗散越來越多;+Y方向的耗散能量最高,-X方向上靠近固定端的2個波箔能量耗散較高,但是靠近自由端的波箔剛度很低,所以總耗散能量偏低。

圖12 不同摩擦因數下箔片的總耗散能量

3 結論

介紹了一種考慮非線性接觸的箔片軸承分析模型,波箔使用桁架結構建模,頂箔使用梁單元建模;頂箔、波箔與軸套之間的接觸被描述為點線接觸,并通過基于懲罰法的接觸算法進行說明;為提高數值計算的穩(wěn)定性,采用正則化摩擦模型代替庫倫摩擦模型;牛頓-拉夫森方法用于求解每個增量步驟中的系統(tǒng)方程,得到主要結論如下:

1)利用該模型研究了箔片結構的力學行為,通過轉軸推拉仿真得到預期的滯回曲線,證明了摩擦是箔片產生滯后現象的主要因素。

2)分析轉軸推拉仿真達到最大徑向位移時+X,-X,+Y,-Y方向上各個波箔的靜載荷分布,發(fā)現摩擦能夠提升箔片的承載能力,摩擦因數對各個波箔之間剛度的相對大小有一定的影響。

3)觀察單個箔片的滯回曲線,發(fā)現靠近固定端的箔片剛度更高,受固定端反作用力的影響,不同最大徑向位移箔片的卸載曲線不重合。不同摩擦因數下各個方向箔片結構的耗散能量表明,相同外加條件下+Y方向的耗散能量最大。