“高等代數(shù)”“實踐—理論—實踐”教學模式研究

周慧倩

洛陽師范學院數(shù)學科學學院 河南洛陽 471022

1 概述

“高等代數(shù)”是高校數(shù)學及相關專業(yè)的核心基礎課程,不僅是學習后繼課程的基礎,還是解決許多實際問題的工具。但由于“高等代數(shù)”概念性強、內容高度抽象以及邏輯推理繁多的特點,一直以來,沿用傳統(tǒng)的教材和教法,缺少人文主義精神和趣味性,也缺少理論與實際的聯(lián)系。學生對所學知識沒有興趣,不是主動學習的探索者,學生普遍只會套用解題、不能真正理解、不知用在何處。而到后繼課程或者實際中用到的時候,又不能靈活運用,學生的學習效果并不理想,更談不上創(chuàng)新能力和實踐能力的培養(yǎng)。近50年來,很多教學工作者也做了大量的改革嘗試,但指導思想和基本內容無大的變化?？傮w看來,仍然沒有擺脫重理論、輕應用、重公式推導、輕數(shù)值計算的弊端,因此“高等代數(shù)”教學的改革還任重道遠。

教育學研究表明,當學生對所學的內容感興趣時,才會主動地學習并在學習活動中找到樂趣,從而實現(xiàn)有效的學習。相反,沒有興趣的學習將是枯燥、被動而低效的。通過實踐引入知識,再把知識用于實踐,能夠很好地激發(fā)學生的興趣和動力,從而改變理論知識枯燥無味、學生被動學習的局面,提高學生的學習效果以及實踐能力。因此,為了使學生能夠主動、有效地學習“高等代數(shù)”這門課程,并能夠熟練掌握并靈活運用,我們嘗試探索“實踐—理論—實踐”的教學模式:先舉實例歸納特點,然后抽象為嚴謹?shù)拇鷶?shù)概念并探索性質,最后介紹推廣領域及實踐應用實例。

2 研究過程

本課題的研究通過以下四個方面來進行。

2.1 與解析幾何相結合,通過幾何直觀背景引入抽象的代數(shù)概念

“高等代數(shù)”和“解析幾何”是高校數(shù)學專業(yè)的兩大基礎課,前者抽象嚴謹,后者形象直觀。在內容上,兩門課有著密切的聯(lián)系,代數(shù)為幾何提供解決方法,幾何為代數(shù)提供背景。解析幾何的很多問題用代數(shù)的知識來解決,而代數(shù)的很多概念用可以從幾何中抽象而來。在講解抽象的代數(shù)概念時,如果能用幾何解釋或者給出幾何模型,將對理解抽象的概念非常有幫助,然后再反過來把代數(shù)概念運用到解決幾何問題上,并通過數(shù)學軟件作圖進行直觀展示,這樣可以在很大程度上消除“高等代數(shù)”課程的抽象感,同時提高學生用代數(shù)知識解決幾何問題的能力。

行列式、線性方程組、向量的線性相關性、線性空間、線性變換以及二次型等很多概念都可以從幾何引入并應用于幾何。針對這些問題,我們制作了PPT課件《“高等代數(shù)”概念的幾何引入及直觀展示》《二次型與二次曲線和二次曲面》、設計討論課《三個平面的相對位置》、撰寫論文《幾何直觀融入高等代數(shù)教學的探索與實踐》《基于“解析幾何”精品課程建設的教學改革與評價方式改革》,并提出了將代數(shù)與幾何并教學的構想,制作PPT課件《高等代數(shù)與解析幾何合并教學的探討》。我們及時將這些設計應用于課堂教學,取得了良好的效果。

典型案例一:二、三元線性方程組的幾何意義。

在幾何上,一個二元一次方程表示的是一條直線,兩個方程的二元線性方程組的解的情況可以反映兩條直線的位置關系:

(1)兩直線相交?該方程組有唯一解;

(2)兩直線平行?該方程組無解;

(3)兩直線重合?該方程組有無窮多解。

多個方程的二元線性方程組在幾何上則反映多條直線的位置關系。

下面通過具體例子用Matlab作圖展示。

例1:

(2)

(4)

以方程組(1)為例:在Matlab的M文件編輯器中,輸入:

syms x1 x2 %定義x1、x2為符號變量

U1=rref([1,2,5;2,-3,-4]) %把增廣矩陣通過初等行變換變?yōu)樽詈嗠A梯矩陣

subplot(2,2,1) %準備畫2×2個圖形中的第一個

ezplot('x1+2*x2=5') %繪制直線x1+2*x2=5

hold on %保留原來圖形

ezplot('2*x1-3*x2=-4') %再繪制直線2*x1-3*x2=-4

title('x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4') %在圖上標注x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4

grid on %顯示網(wǎng)格

繪制圖形如下:

類似可討論三元線性方程組,它的解的情況在幾何上反映空間中平面之間的位置關系。

典型案例二:線性空間中,線性變換y=Αx(其中A為方陣)的幾何意義。

例2:平面上,線性變換y=Αx表示將向量x逆時針旋轉一定角度。討論經(jīng)過線性變換yi=Aix(i=1,2,3,4),向量在幾何上所發(fā)生的變化。

用Matlab作圖如下:

2.2 滲透建模思想,結合其他學科,合理運用教學軟件

“高等代數(shù)”的內容雖然比較抽象,但都是來源于實際問題、為解決實際問題而引入,其中涉及的多數(shù)概念和方法都有很強的實際背景。隨著計算機技術的發(fā)展,社會的信息化、定量化不斷加深,使得代數(shù)學的應用越來越廣泛。原來大家認為抽象的代數(shù)方法如今在管理學、物理學、化學、生命科學、地理科學以及語言學等方面都發(fā)揮了重要的作用,并發(fā)展出了計算機代數(shù)、代數(shù)編碼理論、代數(shù)圖論等諸多應用學科,因此“高等代數(shù)”課程具備極其豐富的數(shù)學模型題材。在實際教學過程中,無論是在數(shù)學概念的講解中,還是在對問題的分析以及思維的拓展上,不斷反復地強調數(shù)學建模的思想,并適當?shù)剡\用Matlab和mathematics等數(shù)學軟件,將數(shù)學建模思想融合到每一個教學細節(jié)上,對我們學生掌握好數(shù)學知識,在實踐中熟練運用數(shù)學知識,培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力,都具有很大的幫助。

針對這一思想,我們在課堂上講授矩陣概念的時候,通過城市之間的航班情況、石頭剪刀布的零和問題等來引入;講授行列式時,通過貨物交換的經(jīng)濟模型和費用分攤問題來引入;講授特征值和特征向量的時候,通過昆蟲繁殖產(chǎn)卵的問題來引入;講授線性方程組時,結合我們熟悉的交通問題,設計了一節(jié)討論課“線性方程組和交通流量問題”;設計行星軌道計算問題,這個可以用線性方程組理論和最小二乘法來解決。

典型案例一:矩陣概念的引入。

例3:航空公司在甲、乙、丙、丁四個城市之間開辟航線,下圖表示了四個城市間的航班圖,如果從甲到乙有航班,則用帶箭頭的線連接甲與乙,若兩城市之間沒有航班則不連線:

則上圖可以用矩陣表示為:

典型案例二:行星軌道問題。

例4 一天文學家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道,他在軌道平面內建立以太陽為原點的直角坐標系,在兩坐標軸上取天文測量單位(一天文單位為地球到太陽的平均距離:1.4959787×1011m)。在5個不同的時間對小行星做了5次觀察,測得軌道上5個點的坐標數(shù)據(jù)如下表:

x1x2x3x4x5x坐標5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5y坐標0.6481.2021.8232.5263.360

由開普勒第一定律知,小行星軌道為一橢圓。請建立小行星軌道的方程:ax+bxy+cy2+dx+ey=1,并確定橢圓的焦點坐標、長軸、短軸的長度。

對如上實例的求解實際上是解一個線性方程組,但就實際意義而言,觀測數(shù)據(jù)總是有誤差的,因此,觀測的數(shù)據(jù)越多對我們計算越有利,但是若有更多的數(shù)據(jù),則得到的方程組可能無解,但可以由此引入線性回歸最小二乘數(shù)學模型得到需要的解。

2.3 結合歷史背景和人物介紹以及前景介紹

大多數(shù)《高等代數(shù)》教材都側重于系統(tǒng)、抽象的理論介紹,而對這門學科的發(fā)展歷程和相關概念、方法的產(chǎn)生背景很少提及,這就導致學生很難體會到代數(shù)學的重要性,不理解它作為現(xiàn)代數(shù)學基石的意義何在。針對這一弊端,我們根據(jù)課程內容,在教學中適當增加了代數(shù)學發(fā)展相關背景以及關鍵數(shù)學家人物的介紹,專門制作了課件《高等代數(shù)發(fā)展簡介》,以備使用。學習集合相關理論時,穿插介紹集合論奠基人康托爾的生平事跡、集合論的發(fā)展歷程,使學生了解集合論是現(xiàn)代數(shù)學的基礎;數(shù)學歸納法是“高等代數(shù)”中非常重要的一種理論證明方法,為了讓學生熟練掌握,我們設計了一次討論課“數(shù)學歸納法”,介紹第一第二歸納法的背景、原理、證明和使用;學習行列式時,介紹行列式的發(fā)展過程,包括行列式的最早提出者日本數(shù)學家關孝和及德國數(shù)學家萊布尼茲的生平,范德蒙德、拉普拉斯等數(shù)學家的貢獻,以及行列式與中國數(shù)學的關系;在講授代數(shù)基本定理時,介紹古今中外的數(shù)學家對代數(shù)方程求根的探索、費馬大定理的提出與證明、數(shù)學天才阿貝爾伽羅瓦的故事,這些數(shù)學家的貢獻對整個代數(shù)學乃至數(shù)學各學科產(chǎn)生的重要影響等。這樣在一定程度上活躍課堂氣氛、增加學生的學習興趣,并且可以讓學生感受數(shù)學的魅力及數(shù)學家的不懈追求和奉獻精神。

2.4 注重教學延伸,引導學生深入思考

在一些理論的學習中,如果僅僅停留在教材表面,不做深入探索與思考,那么對知識的理解也不夠深刻,知識點之間的聯(lián)系也不清楚,解決綜合問題就會很困難。因此,我們應注重教學延伸,引導學生對問題深入思考,多挖掘各理論之間的聯(lián)系。比如,在學習初等變換求矩陣的逆時,啟發(fā)學生探索一個矩陣作初等變換之后,相應矩陣的逆矩陣發(fā)生什么變化,為此我們設計討論課“初等變換對逆矩陣的影響”;后面學習特征值、矩陣對角化時,啟發(fā)學生探索相應的反問題,比如已知一個矩陣的特征值和特征向量,如何反過來求該矩陣,該矩陣是否唯一,這個問題的討論還要用到“初等變換對逆矩陣的影響”的相關結論。

在課題研究和實踐過程中,項目組成員還撰寫了《關于線性代數(shù)教學的探討》《關于逆序數(shù)相同的n級排列個數(shù)的討論》《一類六對稱五次多項式系統(tǒng)等時性的判定》《大學數(shù)學教學改革的探索》《教學效果評價方法研究》等教學研究論文。

3 總結

通過兩年的探索、嘗試以及課堂實施,這種“實踐—理論—實踐”的教學模式初步形成,我們的研究取得了很好的效果:通過幾何直觀和數(shù)學模型引入概念,注重知識的來源與應用,很大程度上消除了“高等代數(shù)”課程的抽象感;引入發(fā)展背景和人物介紹、與其他學科的關聯(lián)及前景展望,提高了學生的興趣和積極性;注重知識的延伸和應用,通過實際案例,設計討論課,建立模型并用軟件解決,加深了學生對所學知識的理解,讓學生認識到這門課程的價值,有助于學生掌握嚴謹?shù)拇鷶?shù)思想方法,鍛煉學生的邏輯思維和推理能力,從而培養(yǎng)學生解決生活生產(chǎn)實踐中遇到的實際問題的能力。

關于“高等代數(shù)”的實踐教學改革,今后還有待進一步研究,包括建立比較完善的課件資料庫,形成一整套實踐教學方案,針對各種典型的知識點提供比較好的支持,從引入、理論學習到實踐都有系統(tǒng)有效的課程設計等。另外,我們把高等代數(shù)和解析幾何以及數(shù)學模型等課程相結合,和這些課程的沖突或者重復如何協(xié)調,這也是一個需要解決的問題。