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    重心插值配點法求解BIOT 固結(jié)問題

    2023-10-16 08:14:30趙曉偉王兆清李廣惠商麗華
    山東建筑大學(xué)學(xué)報 2023年5期
    關(guān)鍵詞:算例邊界條件插值

    趙曉偉王兆清李廣惠商麗華

    (1.山東建筑大學(xué)科研處,山東 濟(jì)南 250101;2.山東建筑大學(xué)理學(xué)院,山東 濟(jì)南 250101;3.商河縣住房和城鄉(xiāng)建設(shè)服務(wù)中心,山東 濟(jì)南 251699)

    0 引言

    土體固結(jié)是一個相當(dāng)復(fù)雜的過程,與土體類別、邊界條件、排水條件和承載方式等有關(guān)。 BIOT[1]從彈性理論出發(fā),研究了變形與孔隙壓力的相互作用,確保土中應(yīng)力和應(yīng)變滿足相容條件,給出描述比奧(BIOT)土體固結(jié)問題的偏微分方程組模型。 該模型已廣泛應(yīng)用于地質(zhì)力學(xué)、水文地質(zhì)學(xué)、石油工程[2-3]等領(lǐng)域。 但是使用解析法求解BIOT 固結(jié)微分方程組很困難,因此大多采用數(shù)值法求解。 目前,常用的數(shù)值方法有限差分法、有限元法和邊界元法等。 趙維炳等[4]對BIOT 固結(jié)問題的研究采用的是中心差分格式。 但差分法對網(wǎng)格的規(guī)則性有要求,因此在固體力學(xué)領(lǐng)域受到了一定的限制。CHRISTIAN 等[5]結(jié)合有限元和有限差分法求解了BIOT 固結(jié)方程。 LEWIS 等[2]采用有限元方法研究了BIOT 理論模型,將其方程離散,再求解,并分析了地表沉降。 GASPAR 等[6-8]和BOOKER 等[9]利用有限差分方法離散了BIOT 的數(shù)學(xué)模型,并解決了多孔、分層以及二維準(zhǔn)靜態(tài)的固結(jié)問題。 WANG等[10-11]提出了一種基于Heaviside 階梯函數(shù)的局部Petrov-Galerkin 方法以及徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格方法,求解BIOT 固結(jié)模型。 有限差分法和有限元法屬于低階的數(shù)值分析方法,想要計算出更高精度的結(jié)果,有限差分法差分步長要更小,而有限元法計算網(wǎng)格劃分應(yīng)更加稠密,這就降低了分析問題的效率。邊界元方法雖可降低問題維數(shù),簡化問題分析,但其構(gòu)造依賴于問題的基本解。 基于徑向基函數(shù)的數(shù)值方法的原理是將徑向基函數(shù)引入到未知函數(shù)的近似過程,這種方法雖然不用劃分網(wǎng)格,但也有其局限性,計算精度過分依賴所選區(qū)的形狀參數(shù)。

    重心Lagrange 插值配點法是近年來興起的一種無網(wǎng)格方法,是基于微分方程強(qiáng)形式的配點型方法。未知函數(shù)的近似函數(shù)采用離散節(jié)點上的重心型插值。 該方法已成功應(yīng)用于求解不同類型的微分方程問題,其優(yōu)點是數(shù)值計算穩(wěn)定性好[12]、格式較為簡單[13-14]、精度非常高[15-16]。 文章采用雙變量重心Lagrange 插值公式近似未知函數(shù),提出了求解BIOT固結(jié)問題的重心插值配點法。 對于與時間相關(guān)的初邊值問題,傳統(tǒng)配點型方法在空間域上用配點格式,在時間域上用差分格式,而文章在空間域和時間域上均采用重心Lagrange 插值配點計算,實現(xiàn)了微分方程初邊值問題在時空域上的統(tǒng)一格式計算。

    1 重心Lagrange 插值公式

    u(x) 為定義在區(qū)間[a,b] 上的函數(shù),其在節(jié)點a=x1<x2<…<xn=b上的函數(shù)值為uj =u(xj),j =1,2,…,n。u(x) 的重心Lagrange 插值由式(1)[17]表示為

    重心Lagrange 插值基函數(shù)由式(2)表示為

    則函數(shù)u(x) 的重心Lagrange 插值由式(3)表示為

    由式(3)可知,函數(shù)u(x) 的m階導(dǎo)數(shù)可由式(4)表示為

    根據(jù)式(4),u(m)(x) 在節(jié)點xi(i =1,2,…,n)處的m階導(dǎo)數(shù)由式(5)表示為

    將式(5)改寫成矩陣形式,由式(6)表示為

    一階微分矩陣可以通過對式(2)求導(dǎo)直接得到,而高階微分矩陣可以通過式(7)[18]的遞推公式得到。

    2 BIOT 固結(jié)問題的重心插值配點法

    2.1 一維線性BIOT 固結(jié)方程

    在一維固結(jié)情況下,經(jīng)典BIOT 固結(jié)模型關(guān)于未知的流體壓力p(x,t) 和土體骨架位移u(x,t) 的控制偏微分方程可由式(8)表示為

    式中λ、μ為土體的Lame 系數(shù);ne為孔隙率;β為流體的壓縮系數(shù);ke為土的滲透率;q(x,t) 為土體受力,N。

    自由排水面邊界條件由式(9)表示為

    剛性的不可滲透面邊界條件由式(10)表示為

    初值條件由式(11)表示為

    表示固結(jié)過程剛開始時水分變化為零。

    將控制方程和邊界條件無量綱化,由式(12)表示為

    式中f(x,t)由q(x,t) 無量綱化得到。

    邊界條件由式(13)和(14)表示為

    初始條件由式(15)表示為

    2.2 BIOT 方程重心插值配點法計算公式

    在空間域x方向和時間域t方向分別布置m和n個節(jié)點xi(i =1,2,…,m) 、tj(j =1,2,…,n) ,構(gòu)成張量積型計算節(jié)點(xi,tj)(i =1,2,…,m,且j =1,2,…,n),未知函數(shù)u(x,t) 和p(x,t) 在這些節(jié)點上的函數(shù)值為uij =u(xi,tj) 、pij =p(xi,tj) 。 其中,i =1,2,…,m;j =1,2,…,n。 利用重心Lagrange 插值公式,未知函數(shù)u(x,t) 和p(x,t) 近似由式(16)和(17)表示為

    式中Li(x)、Mj(t) 分別為重心拉格朗日插值在節(jié)點xi(i =1,2,…,m)、tj(j =1,2,…,n) 上的插值基函數(shù)。

    將式(16)和(17)的近似函數(shù)代入式(12),可以得到

    令式(18)在所有的計算節(jié)點(xi,tj) (i =1,2,…,m;j =1,2,…,n)上成立,得到式(19)為

    注意到插值基函數(shù)性質(zhì)Li(xr)=δri、Mj(xl)=δlj,并利用微分矩陣的記號,式(18)方程組的矩陣形式可由式(20)表示為

    式中C′、D′分別為函數(shù)在節(jié)點xi(i =1,2,…,m) 、tj(j =1,2,…,n) 上重心拉格朗日插值的一階微分矩陣;C″為函數(shù)在節(jié)點xi(i =1,2,…,m) 上的重心拉格朗日插值的二階微分矩陣;Im、In分別為m、n階單位矩陣;符號?表示矩陣的Kroneckor 積[19];U、P為未知函數(shù)在計算節(jié)點處函數(shù)值構(gòu)成的列向量,分別由式(21)和(22)表示為

    裸模這個職業(yè)由來已久,陳小北倒沒想到記者會問這個問題,他把目光投向葉曉曉,他以為她會簡單地回答自己的身體漂亮之類的話。

    令L1=-(C″?In)、L2=C′?In、L3=D′?C′、L4= -ke(C″?In)+a(Im?D′),則式(20)可以由式(23)表示為

    可進(jìn)一步由式(24)表示為

    2.3 邊界條件的離散和施加方法

    求解式(24)的代數(shù)方程組,需要施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。 考慮邊界條件的離散問題=-1、p=0(x=0,t∈(0,T)),其離散形式由式(25)表示為

    式中C′1k為函數(shù)在節(jié)點xi(i =1,2,…,m) 上重心拉格朗日插值的一階微分矩陣的元素。

    式(14)的邊界條件的離散形式由式(26)表示為

    式(15)的初始條件的離散形式由式(27)表示為

    式中D′1k為函數(shù)在節(jié)點tj(j =1,2,…,n) 上重心拉格朗日插值的一階微分矩陣元素。

    把式(25)~(27)的3 個方程附加到式(24)的方程組后,可以得到新的方程組,由式(28)表示為

    3 數(shù)值算例

    MATLAB 具有強(qiáng)大的矩陣計算優(yōu)勢,算例程序均用MATLAB 語言編寫。 計算節(jié)點均采用區(qū)間[0,1] 上的Chebyshev 節(jié)點[20],由式(29)表示為

    通過坐標(biāo)變換x=(a+b)/2 +t(b-a)/2 將式(29)的節(jié)點變換為任意區(qū)間[a,b] 上的計算節(jié)點。

    一維固結(jié)問題示意圖如圖1 所示。 計算參數(shù)取值為滲透系數(shù)ke=1、a=neβ(λ+2μ)=0、f(x,t)=0。該算例的解析解p(x,t)=e-0.25tcos(10π/3)sin(0.5x)和u(x,t)=-2e-0.25tcos(10π/3)cos(0.5x)。

    圖1 一維固結(jié)問題示意圖

    采用重心插值配點法求解該問題,在空間和時間區(qū)域采用相同數(shù)量節(jié)點計算。 不同數(shù)量計算節(jié)點的計算結(jié)果見表1,在厚度方向和時間軸上分別取10 個節(jié)點,計算得到的土體位移和孔隙水壓力的數(shù)值解與解析解的最大相對誤差的最小值分別為1.004 7×10-14和1.215 7×10-13,計算結(jié)果接近機(jī)器精度。

    表1 不同節(jié)點數(shù)土體位移和孔隙水壓力最大相對誤差表

    取13 個節(jié)點時,孔隙水壓力p(x,t)數(shù)值解與精確解的相對誤差pc,e如圖2 所示;土體位移u(x,t)數(shù)值解與精確解相對誤差uc,e如圖3 所示。 在土體表面、中間和最底層處,時間從0 到1 的固結(jié)過程如圖4所示。 在表面、中間和最底處,時間從0 到20 的固結(jié)過程如圖5 所示。 由圖5 可以看出,在t=18 時,固結(jié)過程進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。

    圖2 重心插值配點法計算的孔隙水壓力節(jié)點誤差分布圖

    圖3 重心插值配點法計算的土體位移節(jié)點誤差分布圖

    圖4 土體固結(jié)過程圖(t 從0 到1 )

    圖5 土體固結(jié)過程圖(t 從0 到20 )

    該算例在選取節(jié)點數(shù)較少時,其位移和孔隙水壓力的數(shù)值解與精確解的相對誤差可達(dá)10-13~10-14,已經(jīng)接近MATLAB 的機(jī)器精度,數(shù)值計算公式的正確性和計算方法的有效性由此可以得到驗證,表明了該方法具有極高的計算效率。 當(dāng)節(jié)點數(shù)量持續(xù)增加時,數(shù)值結(jié)果變化較小,表明該方法具有極好的數(shù)值穩(wěn)定性。

    4 結(jié)論

    文章采用雙變量重心Lagrange 插值公式近似未知函數(shù),提出了求解BIOT 固結(jié)問題的重心插值配點法,并針對土體結(jié)構(gòu)的BIOT 固結(jié)方程, 并通過算例驗證,得到的主要結(jié)論如下:

    (1) 采用重心插值配點法離散控制方程,不需積分計算,也不用劃分網(wǎng)格,極大地提高了計算效率。 離散點的分布采用切比雪夫節(jié)點,可使計算結(jié)果具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。 數(shù)值算例表明,所用重心插值配點法沒有出現(xiàn)runge 現(xiàn)象,即使增加計算節(jié)點,計算結(jié)果依然具有穩(wěn)定的、高精度的收斂特性,其計算誤差非常接近機(jī)器精度。

    (2) 所用重心插值配點法的計算公式用矩陣-向量形式表達(dá),可使計算程序的編寫過程變得簡單,易于理解。 邊界條件的施加采用附加法,將離散控制方程和邊界條件約束的代數(shù)方程組合起來,任意的邊界條件都可以用該方法實現(xiàn)。

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