基于分數(shù)階滑模控制的高精度印刷機糾偏系統(tǒng)研究

陳一軍，郭忠旭，武吉梅，邵明月，王靜

基于分數(shù)階滑?？刂频母呔扔∷C糾偏系統(tǒng)研究

陳一軍，郭忠旭，武吉梅*，邵明月，王靜

（西安理工大學 印刷包裝與數(shù)字媒體學院，西安 710048）

解決卷對卷印刷收卷不齊的問題，提高收卷精度。對印刷機收卷糾偏原理進行分析，建立收卷糾偏系統(tǒng)數(shù)學模型，提出基于分數(shù)階滑?？刂频募m偏算法，分析其穩(wěn)定性。在不同收卷線速度、不同跑偏干擾輸入信號的條件下進行仿真。搭建收卷糾偏實驗平臺，對2種控制方法進行收卷糾偏控制實驗。仿真結(jié)果表明，分數(shù)階滑模控制器比傳統(tǒng)PID控制器具有較好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。實驗結(jié)果表明，分數(shù)階滑模控制算法比傳統(tǒng)PID控制具有更高的糾偏精度。分數(shù)階滑模控制算法可以有效提高印刷機收卷糾偏精度，滿足高精度印刷要求。

糾偏；分數(shù)階滑?？刂?；收卷控制；MATLAB仿真

卷對卷印刷在印刷行業(yè)具有廣泛的應(yīng)用，印刷機在收卷過程中，由于卷材的張力變化、兩段料卷拼接不齊，以及卷材的厚度不均勻等因素的影響，呈現(xiàn)出交替隨機的橫向偏移。這種現(xiàn)象會造成收卷時邊緣不整齊，影響印品質(zhì)量[1]。為此，目前印刷機通常配有收卷糾偏系統(tǒng)[2]。

印刷機收卷糾偏系統(tǒng)由于工作環(huán)境復雜，所以存在諸多不利于控制系統(tǒng)設(shè)計的影響因素，如非線性因素、外部干擾因素、收卷軸負載變化等。由于收卷糾偏系統(tǒng)具有多種干擾因素的影響，使得傳統(tǒng)PID控制器難以提高其控制性能。在“中國制造2025”背景下，智能控制策略發(fā)展迅速，新型控制策略在傳統(tǒng)制造業(yè)上應(yīng)用越來越多。因此，在收卷糾偏控制系統(tǒng)設(shè)計時解決被控對象干擾因素多、不確定性強的問題具有一定的理論和工程實際意義。

相較于其他控制方法，滑?？刂扑惴ň哂泻芏鄡?yōu)點。如對參數(shù)攝動具有不敏感性、對不確定性外部擾動具魯棒性強等特點，因此滑?？刂扑惴ň哂袕V泛的應(yīng)用[3]。但滑模控制因為其系統(tǒng)的執(zhí)行時切換開關(guān)，使其具有一定的滯后性，滑模面上的滑動模態(tài)不能準確發(fā)生，造成系統(tǒng)抖振。分數(shù)階系統(tǒng)具有能量傳遞及收斂速度緩慢的特點，在滑膜控制器的設(shè)計中加入分數(shù)階理論能夠有效地降低滑模控制的抖振幅度及頻率，可以有效減弱系統(tǒng)的抖振，減少調(diào)節(jié)時間，降低系統(tǒng)的能量損耗，并且具有較好的魯棒性[4]。

1 收卷糾偏工作原理

印刷機收卷糾偏系統(tǒng)是利用超聲波傳感器對卷材進行邊緣檢測，檢測到卷材與設(shè)定值發(fā)生橫向偏移時，將檢測到的偏移信號作為系統(tǒng)的輸入信號，傳輸?shù)郊m偏控制器中，控制器比較檢測到偏移信號與設(shè)定偏移量，產(chǎn)生偏差信號，并將該信號轉(zhuǎn)換成脈沖量傳遞給步進電機驅(qū)動器，由步進電機帶動糾偏執(zhí)行機構(gòu)完成糾偏動作，上述過程反復進行，形成閉環(huán)控制，直至偏差信號為0。凹版印刷機收卷糾偏系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)原理簡圖如圖1所示[5]。

圖1 卷筒紙印刷收卷糾偏系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2 收卷糾偏系統(tǒng)數(shù)學模型

收卷糾偏系統(tǒng)的數(shù)學模型見圖2。

圖2 印刷機收卷糾偏控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

步進電機兩相勵磁電壓平衡方程可以表示為式（2）。

步進電機轉(zhuǎn)子力矩平衡方程分別表示為：

式中：e為電磁轉(zhuǎn)矩；L為負載轉(zhuǎn)矩；為總轉(zhuǎn)動慣量；為黏滯摩擦因數(shù)。

由式（3）可得步進電機的機械運動方程：

作拉普拉斯變換，將初值0代入可得：

可得步進電機的傳遞函數(shù)數(shù)學模型為：

對于糾偏系統(tǒng)的傳動部分，是由步進電機驅(qū)動滑動絲杠機構(gòu)，將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換成橫向運動，其傳遞函數(shù)為：

卷材偏移檢測處到收卷軸上的傳輸通道傳遞函數(shù)：

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)見式（11）。

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)伯德圖，見圖3。

圖3 系統(tǒng)伯德圖

開環(huán)伯德圖如圖3所示，截止頻率i為8 rad/s，相頻截止頻率g為8.02 rad/s，相位裕度為52°，幅值裕度為10 dB，系統(tǒng)穩(wěn)定符合工程上一般要求。

3 分數(shù)階滑?？刂破髟O(shè)計

將滑模變結(jié)構(gòu)控制與分數(shù)階理論結(jié)合，首先設(shè)計分數(shù)階滑模面。首先通過添加分數(shù)階微分項增加了滑膜控制的靈活性，對滑模控制易于出現(xiàn)的抖振問題能夠有效抑制；然后設(shè)計分數(shù)階滑?？刂频内吔?，使系統(tǒng)能夠穩(wěn)定在分數(shù)階滑模面后保持滑模運動，且具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差；最后通過李雅普諾夫理論驗證分數(shù)階滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性[7]。

以步進電機為系統(tǒng)控制對象設(shè)計跟蹤誤差系統(tǒng)，結(jié)合步進電機的機械運動方程可以設(shè)計為式（12）[8]。

對式（13）求導可以得：

分數(shù)階滑模面可以設(shè)計為：

為了滿足滑模條件，設(shè)計如下趨近率，其表達式見式（2）。

式中：1和2為滑模增益，1>0，2>0。

對滑模面進行求導：

定義1=、2=，式（16）可以寫為：

基于李雅普諾夫（Lyapunov）理論證明分數(shù)階滑?？刂频姆€(wěn)定性。現(xiàn)構(gòu)建如下李雅普諾夫函數(shù)[9]：

其中：

為了使Lyapunov函數(shù)為正定，只要保證矩陣為正定即可。顯然，只要滿足矩陣中2>0，矩陣總是正定的。所以1()滿足以下不等式：

則有：

根據(jù)式（22）、式（25）可以得出結(jié)論：

令：

則式（27）可以表示為：

式中：1(0)表示Lyapunov函數(shù)的初始值。因為>0，所以收斂時間計算如下：

結(jié)合式（25）和式（30），根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知本文所提出的分數(shù)階滑?？刂扑惴ㄊ欠€(wěn)定的，且收斂時間有限。

4 仿真分析

為了驗證所提出的分數(shù)階滑模控制對印刷機收卷糾偏的效果，利用MATLAB/Simulink對其進行仿真實驗，并將分數(shù)階滑?？刂扑惴ㄅc傳統(tǒng)PID控制進行性能比較。首先基于圖4所搭建的仿真模型[9]，在仿真模型中設(shè)置階躍、正弦和多頻正弦3種干擾信號模擬不同工況下的系統(tǒng)抗干擾情況[10]。本次仿真還依據(jù)式（10）中卷材偏移檢測處到收卷軸上的傳輸通道傳遞函數(shù)中關(guān)于速度對跑偏信號的影響，設(shè)置不同收卷線速度對糾偏情況進行仿真[11-12]。

圖4 基于分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的 Simulink模型

在不同線速度、不同跑偏信號的條件下，收卷糾偏控制系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能數(shù)據(jù)如表1所示。

根據(jù)系統(tǒng)仿真圖和2種控制方式仿真結(jié)果表可知，在不同線速度及不同干擾跑偏信號下基于分數(shù)及滑?？刂频募m偏控制方案較傳統(tǒng)PID控制具有更小的動態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差，糾偏效果得到明顯提升。

5 實驗分析

選用改進的陜西北人印刷機械有限公司FR-400機組式凹版印刷機作為實驗平臺，設(shè)計加裝了收卷糾偏機構(gòu)，如圖8所示。糾偏電機選用力川LCDA86H閉環(huán)步進電機，直流60 V供電，其定位精度較高；跑偏傳感器選用精科US-400S超聲波傳感器，具有較高的檢測精度；卷材選用幅寬為600 mm PET薄膜，其具有較好的柔韌性，可減小因張力過大造成薄膜變形對跑偏的影響。

圖5 階躍信號干擾下PID控制與分數(shù)階滑模控制抗干擾效果對比

圖6 正弦信號干擾下PID控制與分數(shù)階滑?？刂瓶垢蓴_效果對比

圖7 多頻正弦信號干擾下PID控制與分數(shù)階滑?？刂瓶垢蓴_效果對比

表1 在不同線速度和跑偏輸入信號條件下收卷系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能對比

Tab.1 Dynamic and static performance of the winding system under conditions of different sets of different line speeds and different off-track input signals

圖8 收卷糾偏控制系統(tǒng)實驗平臺

為了驗證分數(shù)階滑模控制系統(tǒng)的糾偏效果，以超聲波傳感器中心位置為基準，設(shè)置坐標偏移量為5 mm，設(shè)置收卷線速度為150 r/min，測試傳統(tǒng)PID控制及分數(shù)階滑模控制糾偏控制絕對誤差，系統(tǒng)流程控制框圖如圖9所示，測試所得結(jié)果如表2所示。

由表2數(shù)據(jù)可以看出，傳統(tǒng)PID控制糾偏絕對誤差最大值為0.32 mm，平均值為0.24 mm；分數(shù)階滑?？刂萍m偏絕對誤差最大值為0.16 mm，平均值為0.15 mm，滿足印刷工藝要求。通過實驗數(shù)據(jù)分析可知分數(shù)階滑模糾偏控制糾偏效果的絕對誤差最大值及平均值均低于傳統(tǒng)PID控制的相應(yīng)值，因此，分數(shù)階滑?？刂瓶梢杂行嵘m偏控制精度。

圖9 收卷糾偏系統(tǒng)控制系統(tǒng)流程

表2 糾偏效果數(shù)據(jù)

Tab.2 Data of guiding effect

6 結(jié)語

文中設(shè)計了一種基于分數(shù)階滑模控制的印刷機收卷糾偏控制器，用于解決卷對卷印刷中收卷不齊的問題[15]。利用李雅普諾夫理論證明了分數(shù)階滑?？刂扑惴ǚ€(wěn)定性；在多速度多干擾的情況下，將所設(shè)計的分數(shù)階滑?？刂扑惴ㄅc傳統(tǒng)PID算法進行仿真對比，得到分數(shù)階滑?？刂凭哂休^高的抗干擾性能、較高的控制精度、較強的魯棒性。搭建了實驗平臺，進行了糾偏效果對比實驗，實驗表明分數(shù)階滑?？刂凭哂懈玫募m偏效果，可以有效提高印刷機的收卷糾偏精度，對實際印刷生產(chǎn)具有重要意義。

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High-precision Printing Press Guiding System Based on Fractional-order Sliding Mode Control

CHEN Yi-jun,GUO Zhong-xu,WU Ji-mei*,SHAO Ming-yue,WANG Jing

(School of Printing, Packaging Engineering and Digital Media Technology, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, China)

The work aims to solve the problem of uneven roll-to-roll printing, and improve the winding accuracy. The principle of winding and guiding of printing press was analyzed. The mathematical model of winding and guiding systems was established. A correction algorithm based on fractional-order sliding mode control was proposed to analyze its stability. Simulation was carried out under the condition of setting different winding line speeds and different misalignment interference input signals. An experiment platform of winding and guiding was established to conduct winding and guiding experiments on the two control methods. The simulation results showed that fractional-order sliding mode controllers had better dynamic performance and steady-state performance than traditional PID controllers. The experimental results showed that the fractional-order sliding mode control algorithm had higher guiding accuracy than traditional PID controllers. In conclusion, the fractional-order sliding mode control algorithm can effectively improve the winding and guiding accuracy of the printing press and meet the requirements of high-precision printing.

guiding; fractional-order sliding mode control; winding control; MATLAB simulation

TP273

A

1001-3563(2023)19-0171-08

10.19554/j.cnki.1001-3563.2023.19.022

2022-10-28

國家自然科學基金面上項目（52075435，52205127）；陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃重點項目（2022JZ-30）；國家新聞出版署智能與綠色柔版印刷重點實驗室招標課題（ZBKT202105）

責任編輯：曾鈺嬋