城市道路平面幾何線形優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

林庚釵

（泉州市路橋發(fā)展集團(tuán)有限公司 ,福建 泉州 362000）

0 引言

日益增加的城市公路交通和安全問題往往證明，建設(shè)新的城市公路和繞行路線，或重新調(diào)整和擴(kuò)建現(xiàn)有城市公路是合理的，因此，公路機(jī)構(gòu)面臨著尋找和設(shè)計(jì)最佳替代方案的挑戰(zhàn)[1]。用現(xiàn)有的方法尋找優(yōu)選的公路替代方案需要大量的資源，此外，各機(jī)構(gòu)在調(diào)整道路和估算其成本時(shí)經(jīng)常面臨復(fù)雜的決策，因?yàn)樵擁?xiàng)目應(yīng)基于對(duì)許多相關(guān)因素的綜合分析[2-3]。采用工程判斷和人工成本效益分析的結(jié)合是有效的分析方法，通過加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)分析對(duì)備選方案進(jìn)行排名，手動(dòng)識(shí)別其中一組可行的備選方案，并根據(jù)總分進(jìn)行排名[4]。該分?jǐn)?shù)由為各種標(biāo)準(zhǔn)分配的權(quán)重組成，然后利用歷史單位成本數(shù)據(jù)、工程判斷和試錯(cuò)，對(duì)規(guī)劃、設(shè)計(jì)、通行權(quán)獲取、環(huán)境影響緩解和施工的總成本進(jìn)行初步估算[5]。

該文采取一個(gè)簡(jiǎn)單而通用的優(yōu)化問題的公式，以進(jìn)行水平道路設(shè)計(jì)，通過確定問題的決策變量，將水平對(duì)齊設(shè)計(jì)框架化為約束優(yōu)化問題，尋找連接兩個(gè)終端的最優(yōu)路徑，并通過實(shí)例驗(yàn)證公式的有效性。

1 平面線形的數(shù)學(xué)模型

1.1 設(shè)計(jì)變量

實(shí)現(xiàn)給定兩點(diǎn)a和b之間的道路設(shè)計(jì)，水平道路線形應(yīng)由直線段、圓曲線和緩和曲線以適當(dāng)組合形成，在給出的模型當(dāng)中，這些曲線是回旋線。如果路徑由N+1條切線組成，則它明確地由頂點(diǎn)（vi=(xi,yi),i=1,…,N）這些切線相交的位置，以及半徑（Ri≥0,i=1,…,N）和角度（ωi≥0,i=1,…,N）的圓形曲線形成，如圖1所示。因此，對(duì)于每一個(gè)N∈Ψ，定義XN=(x1,y1,R1,ω1,…,xN,yN,RN,ωN)∈R4N,為路線優(yōu)化問題中決策變量的向量。此外，用表示由XN確定的曲線（道路路徑）。

圖1 連接兩個(gè)終點(diǎn)站a和b的水平道路路線

1.2 弧長(zhǎng)參數(shù)化法

圖2 水平道路線形中涉及的變量的命名約定

單位向量給出切線j的方向和意義：

切線j的方位角：

切線之間的方位差i和i+1：

圓曲線長(zhǎng)度：

每個(gè)回旋線的長(zhǎng)度依次如下：

在直線段i和轉(zhuǎn)彎i的起點(diǎn)之間的交界處：

（1）圓曲線的半徑和角度必須是非負(fù)的，即對(duì)于i=1,…,N，要求Ri≥0；ωi≥0。

（2）圓曲線的角度必須小于或等于每一圈相應(yīng)切線之間的方位差。

（3）第i+1轉(zhuǎn)彎必須在第i轉(zhuǎn)彎結(jié)束后開始。

2 平面線形優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般公式

集合Cad依賴于正在處理的特定問題，并且根據(jù)它，模型定義了函數(shù)允許集。

另一方面，追求的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一條在某些技術(shù)方面最終被證明是最佳的道路路線（最大限度地減少長(zhǎng)度、土方、征用成本、環(huán)境影響，...）,目標(biāo)函數(shù)的定義和計(jì)算在任何實(shí)際應(yīng)用中都是至關(guān)重要的。為了尋求對(duì)問題簡(jiǎn)單而一般的表述，引入一個(gè)函數(shù)F：Cad→R給出每條路徑的成本。因此，將JN：R4N→R定義為JN(XN)=F，設(shè)計(jì)連接a和b的最佳水平道路線形的問題包括解決以下問題：

對(duì)于每個(gè)N=1,2,...，并選擇與最低值對(duì)應(yīng)的

數(shù)學(xué)函數(shù)F是每個(gè)特定問題的特征，在許多實(shí)際應(yīng)用中，獲得F（綜合所有現(xiàn)有成本）的良好表達(dá)式可能是一項(xiàng)困難的任務(wù)。為了定義函數(shù)F，模型提出域Ω上的每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)價(jià)格(成本)，因此，在某種程度上，存在一個(gè)函數(shù)p(x,y)，它給出了經(jīng)過的路徑（x,y）∈?的價(jià)格。加上道路所經(jīng)過的所有位置的價(jià)格，模型得到了布局的總成本，在這種情況下，考慮到函數(shù)是關(guān)于弧長(zhǎng)參數(shù)的的參數(shù)化，目標(biāo)函數(shù)JN由下式給出：

它可以通過使用合適的數(shù)值積分公式來計(jì)算。

由函數(shù)p給出的價(jià)格概念應(yīng)理解為模擬各種可能性的一般函數(shù)：它可以是經(jīng)濟(jì)的(征用價(jià)格、瀝青成本、土方工程等)，也可以是環(huán)境、生態(tài)的。這一價(jià)格也可以被視為通過某些點(diǎn)的懲罰，這允許通過包括布局不能與目標(biāo)函數(shù)交叉的點(diǎn)來簡(jiǎn)化Cad。最后，p(x,y)也可以是不同類型價(jià)格的組合（加權(quán)和）。如果想要考慮所有現(xiàn)有的成本，獲得函數(shù)p，就像函數(shù)F一樣，可能是一項(xiàng)困難的任務(wù)。但是，在一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用中，函數(shù)p可以很容易地定義。

3 新的道路布局設(shè)計(jì)

當(dāng)準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一條連接兩個(gè)終點(diǎn)a,b∈R新道路的水平線形，需要滿足以下限制：所有圓曲線的半徑至少為50 m，直線段必須超過100 m，每個(gè)回旋線的長(zhǎng)度至少為95 m。

關(guān)于目標(biāo)函數(shù)J，模型研究以下兩種不同的情況。

3.1 盡量減少長(zhǎng)度并避開障礙物

該不連續(xù)函數(shù)p可以通過平滑近似來逼近，以保證公式（8）的平滑性，并使用可微優(yōu)化算法來解決問題（7）。以下示例說明了這種方法（及其良好的性能），

尋求從點(diǎn)a=(0,1)開始，到達(dá)點(diǎn)b=(5.2,2.1)的最短路徑，滿足定義可接受集合的限制，并避免穿過以C1=(1,1)、C2=(2.3,2.4)、C3=(4.2,1.3)為圓心的三個(gè)圓且半徑分別為R1=0.6、R2=0.9、R3=1，如圖3所示。正如預(yù)期的那樣，最佳解決方案是達(dá)到N=3，重點(diǎn)結(jié)果如表1所示。該方法的良好表現(xiàn)如圖3所示，其中模型繪制了要繞過的障礙物，以及通過一轉(zhuǎn)、兩轉(zhuǎn)和三轉(zhuǎn)計(jì)算出的最佳道路線形（N=1；N=2且N=3）。

表1 路徑規(guī)劃參數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖3 路徑切線和限制區(qū)域規(guī)劃

3.2 最小化斜率和長(zhǎng)度

在以上實(shí)例中，通過模型尋求使坡度最小的最短水平路線。模型設(shè)定有一個(gè)函數(shù)H(x,y)，它給出了Ω的每個(gè)點(diǎn)的海拔。

對(duì)于平滑的參數(shù)化曲線C={α(t)}=(α1(t),α2(t)),，每個(gè)點(diǎn)的斜率由下式給出：

該公式能很好地計(jì)算道路設(shè)計(jì)的最佳坡度和長(zhǎng)度，通過實(shí)例計(jì)算得到N=3的參數(shù)效果最佳解，數(shù)值結(jié)果如表2所示。

表2 最佳坡度和長(zhǎng)度路徑規(guī)劃參數(shù)計(jì)算結(jié)果

如果只允許轉(zhuǎn)彎（N=1），則最佳解決方案是繞山繞行，調(diào)整路線以大致在相同的高度上行駛。這會(huì)導(dǎo)致巨大的圓形曲線，從“道路設(shè)計(jì)”的角度來看，這是不可取的。如果允許多轉(zhuǎn)彎，最佳解決方案就是穿越山脈的布局，從而大大減少路徑的長(zhǎng)度。還可以看出，在兩種情況下（N=2和N=3），布局都試圖避免陡峭的斜坡，正如預(yù)期的那樣，3圈對(duì)齊（N=3）是最好的解決方案。

4 案例分析

該文以一段3.5 km的道路為研究對(duì)象，該段道路在2013年經(jīng)批準(zhǔn)進(jìn)行道路重建。在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)，由于新布局必須驗(yàn)證的約束，假設(shè)所有圓曲線的半徑必須至少為30 m，圓曲線的長(zhǎng)度必須在80~450 m之間，每個(gè)回旋曲線的長(zhǎng)度必須在85~1 300 m之間，直線段必須為100~2 500 m之間。根據(jù)舊布局的一些合適點(diǎn)的坐標(biāo)，使用三次樣條插值構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，得到JN的計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 案例路徑規(guī)劃計(jì)算結(jié)果

如表3所示，道路改進(jìn)的最佳選擇是三轉(zhuǎn)彎（N=3），結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)數(shù)的增加，可以獲得對(duì)舊布局的更好調(diào)整。對(duì)于N=1，由于只允許一個(gè)轉(zhuǎn)彎，最優(yōu)解在于與舊路徑中最長(zhǎng)的直線段相交，但整體最優(yōu)解還是N=3時(shí)的改進(jìn)方案。

5 結(jié)論

由一系列切線、圓曲線和回旋曲線組成的水平道路線形設(shè)計(jì)是通過切線（頂點(diǎn)）以及圓曲線的半徑和角度的交點(diǎn)獨(dú)特地建立的。在該文中，所使用的模型能夠從這些值中根據(jù)弧長(zhǎng)參數(shù)獲得布局的完整參數(shù)化。對(duì)價(jià)格的廣泛解釋能夠解決現(xiàn)實(shí)中的各種問題，這種方法可以成為改善道路重建項(xiàng)目中路線規(guī)劃的好方法，根據(jù)實(shí)例所獲得的結(jié)果認(rèn)可所采用的模型和計(jì)算方法是尋求新道路初始路線很好的工具。