一種聯(lián)合修正的穩(wěn)健Capon波束形成算法

唐佳雨,楊競(jìng)舟,胡登輝,張 暘,李大鵬

(1.南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院,江蘇 南京 210003;2.中國(guó)電子科技集團(tuán)新一代移動(dòng)通信創(chuàng)新中心,江蘇 南京 210019)

0 引言

自適應(yīng)波束形成(Adaptive Beamforming)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要分支[1],它是一種空域?yàn)V波技術(shù),可以根據(jù)通信環(huán)境狀況,不斷地調(diào)整權(quán)重矢量,以達(dá)到增強(qiáng)期望信號(hào)、抑制干擾的目的。

20世紀(jì)60年代,Capon在文獻(xiàn)[2]中提出了具有高分辨率和高干擾抑制能力的自適應(yīng)波束形成算法,但該算法在某些情況下輸出的SINR會(huì)大幅降低。為了提高Capon波束形成算法的穩(wěn)健性,文獻(xiàn)[3-5]提出了對(duì)角加載技術(shù),本質(zhì)是在接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣上加上一個(gè)對(duì)角陣,等同于擴(kuò)大了接收信號(hào)中噪聲的功率。其中,文獻(xiàn)[3]通過在樣本協(xié)方差矩陣中加載一個(gè)縮放的特征矩陣,從而提高了算法的穩(wěn)健性,但是在實(shí)際的應(yīng)用過程中,很難確定加載量的大小。文獻(xiàn)[4-5]雖然可以自動(dòng)選擇加載量,快拍數(shù)較低時(shí)仍能夠輸出較大的SINR,但在輸入信號(hào)的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)較高時(shí),性能會(huì)明顯下降。

近來(lái)又提出了可以提高算法穩(wěn)健性的導(dǎo)向矢量?jī)?yōu)化技術(shù)。文獻(xiàn)[6-9]提出了基于特征空間的優(yōu)化技術(shù)。其中,文獻(xiàn)[6]將協(xié)方差矩陣特征分解,但是在低SNR的環(huán)境下,噪聲子空間與信號(hào)子空間的特征向量容易發(fā)生誤判,所以輸出性能會(huì)急劇惡化。文獻(xiàn)[10-13]提出了不確定集約束技術(shù)。其中,文獻(xiàn)[10]的主要思想是將導(dǎo)向矢量約束在假定的球面或橢球面上,導(dǎo)向矢量可通過求解二次約束二次規(guī)劃(Quadratic Constrained Quadratic Programming)問題得出。文獻(xiàn)[11]為了解決積分帶來(lái)的運(yùn)算量問題,將積分區(qū)域劃分為網(wǎng)格,對(duì)每個(gè)網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行累加,極大地減小了計(jì)算量。文獻(xiàn)[12]表明,如果積分的范圍越大,則收集的冗余信號(hào)越多,在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上增加了約束條件,使導(dǎo)向矢量被約束在一個(gè)不確定集內(nèi),將球面積分轉(zhuǎn)化為圓環(huán)積分,但減少了一個(gè)干擾抑制的自由度。文獻(xiàn)[13]由推導(dǎo)出的閉式解,采用圖像法確定參數(shù),完成算法的優(yōu)化求解。

導(dǎo)向矢量?jī)?yōu)化僅優(yōu)化了信號(hào)來(lái)向估計(jì)不準(zhǔn)的問題,并未考慮協(xié)方差矩陣的影響。據(jù)此,文獻(xiàn)[14-16]提出了協(xié)方差矩陣重構(gòu)的技術(shù)。其中,文獻(xiàn)[14]提出了基于線性積分的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法,并且給出了積分求解的約束條件。除此以外,文獻(xiàn)[16]基于干擾導(dǎo)向矢量和功率估計(jì)將干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量約束在一個(gè)不確定集內(nèi)并通過優(yōu)化求解得出干擾噪聲協(xié)方差矩陣。這一方法可以得到穩(wěn)健的波束形成器,但是計(jì)算繁瑣,一般需要借助工具包實(shí)現(xiàn)。

本文首先構(gòu)建了一個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶勻直陣列模型,得到了接收天線的接收陣列信號(hào)。接著由Capon波束形成算法的最優(yōu)權(quán)矢,分析需要優(yōu)化的問題。根據(jù)問題引出本文提出的聯(lián)合修正的穩(wěn)健Capon波束形成算法并進(jìn)行求解,得到修正后的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量和干擾噪聲協(xié)方差矩陣,帶入Capon波束形成器即可得到優(yōu)化后的最優(yōu)權(quán)矢,最后通過仿真驗(yàn)證本文提出的算法性能。

1 系統(tǒng)模型與問題分析

1.1 勻直陣列系統(tǒng)模型

設(shè)想一個(gè)如圖1所示的勻直陣列模型。假設(shè)有一個(gè)1×N的SIMO信道,且位于遠(yuǎn)場(chǎng)的發(fā)射端有一個(gè)期望信號(hào)和M個(gè)互不相關(guān)的干擾信號(hào),它們都是窄帶信號(hào),則接收的信號(hào)為:

X(t)=AS(t)+n(t)=

(1)

式中:A=[a(θ0),a(θ1),…,a(θM)]為N×(1+M)的導(dǎo)向矢量矩陣,a(θ0)為期望信號(hào)導(dǎo)向矢量,a(θ1)、a(θ2)、…、a(θM)為M個(gè)干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量,其中a(θk)=[1,ejβk,…,ej(N-1)βk],βk=2πdsinθk/λ,λ為波長(zhǎng),d為陣元間距,S(t)為期望信號(hào)與干擾信號(hào)的復(fù)包絡(luò),n(t)為N×1的噪聲向量。

1.2 Capon波束形成技術(shù)

根據(jù)接收信號(hào)X(t),可以得到接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為:

R=E[X(t)XH(t)]=

(2)

式(2)中:

(3)

(4)

式中:Rs、Ri+n分別表示期望信號(hào)協(xié)方差矩陣和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。

接收信號(hào)協(xié)方差矩陣可通過下式計(jì)算得到:

(5)

式中:K表示快拍數(shù),X(k)表示第k個(gè)快拍的接收信號(hào)。

Capon波束形成器原理是通過在將信號(hào)來(lái)向的響應(yīng)設(shè)置為常量的約束條件下,選擇能將陣列接收到的信號(hào)的功率最小的權(quán)矢[17]。所以,標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成的權(quán)重矢量為:

(6)

式中:P為Capon波束形成器的功率譜。

1.3 問題分析

在應(yīng)用過程中,一般使用譜估計(jì)的方法得到信號(hào)的入射角度,進(jìn)而得到導(dǎo)向矢量,這會(huì)產(chǎn)生導(dǎo)向矢量失配的問題,即由于信號(hào)入射的角度估算偏差而導(dǎo)致的導(dǎo)向矢量誤差。對(duì)導(dǎo)向矢量估計(jì)不準(zhǔn),就會(huì)使輸出的SINR降低。

在SNR較高時(shí),由于期望信號(hào)功率較高,接收信號(hào)協(xié)方差矩陣中包含期望信號(hào),根據(jù)式(6)可知,此時(shí)輸出SINR將急劇降低。如圖2所示,期望信號(hào)方向?yàn)?°,干擾信號(hào)為-27°和45°,當(dāng)協(xié)方差矩陣中含有期望信號(hào)時(shí),期望信號(hào)0°位置也產(chǎn)生了零陷。

圖2 協(xié)方差矩陣中含有期望信號(hào)的方向圖Fig.2 Directional patterns containing expected signals in the covariance matrix

近來(lái),圍繞Capon算法的優(yōu)化,都基于這兩個(gè)問題開展。但現(xiàn)有的很多算法的靈活性和穩(wěn)健性都不夠高。

本文提出一種聯(lián)合修正的穩(wěn)健Capon波束形成(Joint Modified Robust Capon,JMRC)算法,首先將接收信號(hào)協(xié)方差矩陣特征分解為信號(hào)空間和噪聲空間,基于導(dǎo)向矢量與噪聲空間的正交性,使期望信號(hào)導(dǎo)向矢量在噪聲子空間的投影最優(yōu),對(duì)估計(jì)的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量進(jìn)行修正。該算法采用拉格朗日乘子法求解,可通過動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)約束參數(shù),達(dá)到在不同通信環(huán)境下都能在期望信號(hào)方向上獲得最大輸出響應(yīng)的目的。再基于對(duì)殘余噪聲消除和對(duì)干擾功率的估計(jì),對(duì)期望信號(hào)協(xié)方差矩陣特征分解,并由此得到投影矩陣,消除接收信號(hào)中的期望信號(hào),修正協(xié)方差矩陣。將結(jié)果帶入即可得到修正后的Capon最優(yōu)權(quán)矢。該算法可以很大程度上解決現(xiàn)有很多算法穩(wěn)健性和靈活性不足的問題。

2 聯(lián)合修正的穩(wěn)健Capon波束形成算法(JMRC)

JMRC算法包含兩部分:導(dǎo)向矢量修正和干擾噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)。

2.1 導(dǎo)向矢量修正

假設(shè)期望信號(hào)個(gè)數(shù)與干擾信號(hào)個(gè)數(shù)之和小于陣列天線數(shù),即1+M

(7)

對(duì)于協(xié)方差矩陣R,右乘En可得:

(8)

而由式(2)可得:

(9)

式中:A=Span{a(θ0),a(θ1),…,a(θM+1),…,a(θN)}為導(dǎo)向矢量張成的矩陣空間。

由式(8)和式(9)可得:

ARsAHEn=0,

(10)

(AHEn)HRs(AHEn)=0。

(11)

式(11)成立的充要條件為AHEn=0,即:

(12)

可改寫為:

(13)

式中:‖·‖2為矩陣-2范數(shù)。

(14)

由于其最小值一定取在約束條件的邊界上,對(duì)于式(14)的求解可使用拉格朗日乘子法。所以構(gòu)造如下拉格朗日函數(shù):

(15)

式中:λ為拉格朗日乘子。式(15)中,對(duì)a0求偏導(dǎo)可得:

(16)

令式(16)等于0得:

(17)

帶入約束條件可得:

(18)

(19)

對(duì)式(19)求逆:

(20)

帶入式(18)可得:

(21)

(22)

解出λ為:

(23)

結(jié)合式(17)～式(23)的結(jié)果可以得解出修正后的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量a0。

2.2 干擾噪聲協(xié)方差矩陣修正

設(shè)有一個(gè)功率為σ2的信號(hào)從δ角度入射,此時(shí)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為:

(24)

由式(6)可知此時(shí)的功率譜為:

(25)

在實(shí)際過程中殘余噪聲可以用式(26)求得:

(26)

式中:K為采樣點(diǎn)數(shù),θ∈Θ且Θ為除期望信號(hào)與干擾信號(hào)所在角度外的區(qū)域,θk為角度區(qū)域上第k個(gè)采樣點(diǎn)。

由式(24)～式(26)可得實(shí)際噪聲功率與噪聲協(xié)方差矩陣為:

(27)

殘余噪聲會(huì)影響協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健性?？梢栽谙龤堄嘣肼暫髮?duì)功率譜在期望信號(hào)角度區(qū)域內(nèi)積分求得期望信號(hào)協(xié)方差矩陣,即:

(28)

(29)

(30)

圖3 與子空間的正交性Fig.3

QHXi(k)+QHXn(k),i(k)+QHXn(k),

(31)

帶入式(31):

(32)

而:

(33)

(34)

式中:Θi為干擾信號(hào)所在角度區(qū)域。則修正后的干擾噪聲協(xié)方差矩陣為:

(35)

2.3 算法流程

綜合前文,本文JMRC算法步驟如下:

步驟1對(duì)接收信號(hào)協(xié)方差矩陣特征分解,由式(7)得到噪聲特征向量并由此張成噪聲子空間En。

步驟2基于En對(duì)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量修正。選定約束參數(shù)ε,結(jié)合求得的pl,由式(23)計(jì)算出拉格朗日乘子λ的值。將λ的值帶入式(17)即可得到修正后的導(dǎo)向矢量a0。

步驟3由式(29)對(duì)消除殘余噪聲后的期望信號(hào)協(xié)方差矩陣特征分解。選定參數(shù)J,得到子空間B1。

(36)

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文JMRC算法的性能,選取最優(yōu)算法、文獻(xiàn)[13,16]對(duì)角加載與本文提出算法進(jìn)行對(duì)比,其中最優(yōu)算法指導(dǎo)向矢量不存在失配且協(xié)方差矩陣中不含期望信號(hào)的Capon算法。設(shè)陣元個(gè)數(shù)N=8,陣元為間距為半波長(zhǎng)的勻直陣列(Uniform Linear Array,ULA)?？炫臄?shù)為K=512。為仿真方便,本文假設(shè)有一個(gè)來(lái)自0°的期望信號(hào)和兩個(gè)分別來(lái)自-27°、45°的干擾信號(hào)。兩個(gè)干擾信號(hào)的功率均為30 dBm,各個(gè)信道噪聲是功率為0 dBm互不相關(guān)的高斯白噪聲。假設(shè)存在5°的角度失配,即期望信號(hào)來(lái)向被估為5°。

輸出SINR與拉格朗日乘子的關(guān)系如圖4所示,由圖可知,拉格朗日乘子λ的值接近0時(shí)的歸一化輸出SINR近乎最大。拉格朗日乘子與約束參數(shù)的關(guān)系如圖5所示,若拉格朗日乘子的值近似于0,此時(shí)的約束參數(shù)ε的值約為2.5。故為了獲取最佳性能,本次仿真的ε=2.5。

圖4 輸出SINR與拉格朗日乘子的關(guān)系Fig.4 Relationship between output SINR and Lagrange multiplier

圖5 拉格朗日乘子與約束參數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between Lagrange multiplier and constraint parameter

圖6給出了各算法的方向增益圖,可以看出,本文的優(yōu)化算法不僅在干擾方向-27°、45°上形成了很深的零陷,而且在期望信號(hào)0°方向獲得了最大歸一化輸出SINR。其他算法雖然也在干擾方向上形成了零陷,但是文獻(xiàn)[13]與對(duì)角加載技術(shù)在期望信號(hào)方向上也形成了較深的零陷,說明此時(shí)接收到的協(xié)方差矩陣中包含大量期望信號(hào)。文獻(xiàn)[16]相較于上述兩個(gè)算法性能有了很大提升,但是輸出SINR與本文JMRC算法相比還存在一定差距。

圖6 各算法方向圖Fig.6 Directional diagram of each algorithm

圖7給出了輸出SINR與輸入SNR變化的關(guān)系,可以看出,在SNR很低時(shí),仿真的5種算法輸出SINR都呈遞增趨勢(shì),但對(duì)角加載技術(shù)由于未對(duì)導(dǎo)向矢量進(jìn)行優(yōu)化,輸出SINR最低,且在-5 dB左右位置對(duì)角加載技術(shù)的輸出SINR開始急劇下降,這是因?yàn)閰f(xié)方差矩陣中已包含了大量的期望信號(hào)。在10 dB附近,文獻(xiàn)[13]算法輸出SINR也出現(xiàn)了下降趨勢(shì)。而本文JMRC算法呈一條直線,未出現(xiàn)輸出SINR下降的情況,且在SNR較高時(shí),相較文獻(xiàn)[16],輸出SINR也有較高的提升。

圖7 輸出信號(hào)SINR與輸入SNR的關(guān)系Fig.7 Relationship between output signal SINR and input SNR

圖8給出了輸出SINR與導(dǎo)向矢量失配角度的關(guān)系,可以看出,當(dāng)不存在導(dǎo)向矢量失配的問題時(shí),5種算法的輸出SINR大體一致。當(dāng)角度誤差增大時(shí),對(duì)角加載技術(shù)、文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[16]算法的輸出SINR明顯降低,而本文JMRC算法輸出SINR降低的幅度較小。

圖8 輸出SINR與導(dǎo)向矢量失配角度的關(guān)系Fig.8 Relationship between output SINR and steering vector mismatch angle

圖9給出了輸出SINR與快拍數(shù)的關(guān)系,可以看出,除對(duì)角加載技術(shù)與文獻(xiàn)[13]算法外,其他算法對(duì)于快拍數(shù)K的變化并不敏感。對(duì)于本文JMRC算法而言,其與最優(yōu)算法幾乎有相同的輸出SINR,且性能優(yōu)于其他算法。

圖10給出了SNR=20 dB下的輸出SINR與干擾個(gè)數(shù)的關(guān)系,可以看出,本文JMRC算法、文獻(xiàn)[16]算法對(duì)于干擾個(gè)數(shù)并不敏感,但本文算法對(duì)干擾個(gè)數(shù)的容忍程度大于文獻(xiàn)[16],且輸出SINR與最優(yōu)算法相比并無(wú)較大差異。而對(duì)角加載技術(shù)和文獻(xiàn)[13]算法的輸出SINR顯著降低。

圖10 輸出SINR與干擾個(gè)數(shù)的關(guān)系Fig.10 Relationship between output SINR and the number of interferences

在算法復(fù)雜度方面,文獻(xiàn)[13,16]在求解時(shí)需要解決的凸優(yōu)化問題復(fù)雜度高,一般需要使用CVX工具包實(shí)現(xiàn)。而本文算法主要使用特征分解求解,復(fù)雜度低且系統(tǒng)可以復(fù)用這一結(jié)構(gòu),減小了系統(tǒng)的額外開銷。

4 結(jié)論

本文首先對(duì)導(dǎo)向矢量進(jìn)行修正。優(yōu)化求解采用了拉格朗日乘子法,因?yàn)榧s束參數(shù)ε與拉格朗日乘子λ的關(guān)系,所以可以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)ε的取值而獲得最大的輸出SINR,具有較高的靈活性。選取ε=2.5即可得到最大的輸出SINR,解決了導(dǎo)向矢量失配導(dǎo)致輸出SINR降低的問題。然后對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正,利用構(gòu)造的投影矩陣Q對(duì)期望信號(hào)消除后再對(duì)干擾功率積分得到修正后的協(xié)方差矩陣,解決了協(xié)方差矩陣中存在期望信號(hào)而導(dǎo)致的期望信號(hào)方向產(chǎn)生零陷的問題。仿真結(jié)果表明,本文JMRC算法的輸出SINR不會(huì)因?yàn)檩斎隨NR增大而減小,且對(duì)于導(dǎo)向矢量失配角度、快拍數(shù)、干擾個(gè)數(shù)的變化不敏感。在通信質(zhì)量較差的環(huán)境下仍然能夠獲得較高的輸出SINR,穩(wěn)健性高。但JMRC算法要求各個(gè)干擾信號(hào)之間相互獨(dú)立,且入射信號(hào)需為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)。因此,在未來(lái)的工作中,需要進(jìn)一步研究適用于相干干擾、近場(chǎng)非平面波的穩(wěn)健算法。