基于SURE小波與ITD法的電力系統(tǒng)模態(tài)辨識(shí)

邱炳林

(廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院, 福建 漳州 363105)

當(dāng)前,互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)域日趨一體化、能源供給不斷協(xié)調(diào)化,不同地區(qū)的能源得以實(shí)現(xiàn)跨區(qū)、遠(yuǎn)距離輸送,整體電力資源配置越來(lái)越優(yōu)化。大量高放大倍數(shù)的快速勵(lì)磁系統(tǒng)被用來(lái)提高系統(tǒng)的暫態(tài)與電壓穩(wěn)定,但也加深了互聯(lián)系統(tǒng)的弱阻尼與欠阻尼狀態(tài),極易引發(fā)系統(tǒng)的低頻振蕩現(xiàn)象[1]。持續(xù)的振蕩也將導(dǎo)致系統(tǒng)故障的進(jìn)一步擴(kuò)大,甚至可能影響系統(tǒng)的正常供電與運(yùn)行[2～3]。實(shí)際電網(wǎng)中在存在大量噪聲干擾的背景下,如何對(duì)采集到的信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確的參數(shù)辨識(shí),是該領(lǐng)域研究的一個(gè)亟需解決的問題,對(duì)于提高互聯(lián)電力系統(tǒng)在弱連接下的安全穩(wěn)定運(yùn)行具有較大的現(xiàn)實(shí)意義。

為此,學(xué)者們提出了大致兩類解決方案。第一類為基于模型的分析方法,如PSASP軟件、Simulink模塊。這類方法均是通過對(duì)模型的線性化為前提而進(jìn)行的小干擾分析或系統(tǒng)的特征值求解。由于當(dāng)下互聯(lián)系統(tǒng)規(guī)模的持續(xù)擴(kuò)大,使用這類方法對(duì)整個(gè)互聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行建模分析、線性化處理,顯然不利于實(shí)時(shí)的在線監(jiān)測(cè)分析和處理。第二類為基于信號(hào)的分析方法,常用的方法主要有傅立葉變換(FFT)[4]、滑動(dòng)平均模型(ARMA)[5]、小波變換(WT)[6]、Prony[7]和希爾伯特-黃(HHT)[8]等算法。其中,FFT的主要問題在于不能很好地處理非平穩(wěn)信號(hào);ARMA的計(jì)算量較大,本身的辨識(shí)能力容易受到信號(hào)的影響,處理信號(hào)的可靠性不佳;WT、Prony以及HHT的實(shí)際應(yīng)用較廣,但WT的小波基函數(shù)難以確定,Prony對(duì)抗噪聲干擾的能力較差,HHT存在模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)的問題。

對(duì)于系統(tǒng)的關(guān)鍵振蕩模態(tài)參數(shù)的辨識(shí),需要提出在辨識(shí)能力上更為準(zhǔn)確、計(jì)算量較小、抗干擾能力更強(qiáng)的參數(shù)提取算法。其中,信號(hào)的預(yù)處理極為重要。常用的信號(hào)處理辦法如小波去噪,對(duì)不同信號(hào)且不同噪聲背景下的信號(hào)預(yù)處理能力缺乏針對(duì)性,李志軍等提出了小波閾值去噪[9],針對(duì)不同的信號(hào)采用不同的閾值處理,但仍然無(wú)法自適應(yīng)地調(diào)整閾值,以根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)更好地進(jìn)行噪聲的去除。

綜上,本研究提出一種基于SURE自適應(yīng)小波閾值(SURE-WT)預(yù)處理與固有時(shí)間尺度分解[10](ITD)提取關(guān)鍵振蕩模態(tài)參數(shù)的聯(lián)合辨識(shí)算法。

1 SURE自適應(yīng)小波

現(xiàn)假設(shè)Y=[y0,y1,y2,…,yN-1]為實(shí)際信號(hào)的測(cè)量值,它由一系列t時(shí)刻測(cè)點(diǎn)信號(hào)yt構(gòu)成,表達(dá)式為:

yt=xt+et

(1)

其中,xt、et表示對(duì)應(yīng)t時(shí)刻的純凈信號(hào)測(cè)量值和高斯白噪聲,N為信號(hào)長(zhǎng)度。

(2)

綜上可知,如何確定合適的閾值是解決問題的關(guān)鍵,因此采用如式(3)所示的閾值確定函數(shù)[11],基于SURE法自適應(yīng)地估計(jì)出最合適的小波系數(shù)閾值,根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)進(jìn)行變化。

(3)

其中,nj、σj、Mf分別為j尺度上小波系數(shù)的長(zhǎng)度和噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值及系數(shù)大小排序中值[12]。

最優(yōu)閾值的估計(jì)是以最小均方誤差為準(zhǔn)則,即下一時(shí)刻的閾值λ(t+1)為當(dāng)前閾值λ(t)與一正比于均方誤差函數(shù)的梯度值Δλ(t)之和,如式(4)。

(4)

其中,μ表步長(zhǎng),ξ(t)表示t時(shí)刻的梯度值。

上述過程實(shí)際上是為了求出每一時(shí)刻t的閾值變化量Δλ(t),從而能夠不斷地根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)進(jìn)行小波閾值的更新,最終重構(gòu)出去噪后的信號(hào),公式推倒和求取過程可參考文獻(xiàn)[12]。

信號(hào)去噪效果的指標(biāo),將采用信噪比SNR和均方誤差MSE進(jìn)行表示,求解公式如式(5)(6)。

(5)

(6)

2 固有時(shí)間尺度法(ITD)

通過上述方法對(duì)含噪信號(hào)y進(jìn)行處理,得到去除噪聲后的信號(hào)x(t),并將其表示為如式(7)的形式。

(7)

其中,xi(t)表示第i個(gè)測(cè)點(diǎn)在t時(shí)刻時(shí)的自由響應(yīng);m為該振蕩信號(hào)的模式數(shù)或階數(shù);λr、σr、ωr、φir分別表示第r個(gè)振蕩模式對(duì)應(yīng)的特征值、衰減系數(shù)、角頻率以及相應(yīng)的振型系數(shù)。

由于系統(tǒng)存在m個(gè)振蕩模式,那么在第i個(gè)量測(cè)點(diǎn)處可將式(7)改寫為式(8)形式。

xi(t)=[φi1,φi2,…,φim][eλ1ti,eλ2ti,…,eλmti]

(8)

若系統(tǒng)有a個(gè)觀測(cè)點(diǎn),在任意觀測(cè)點(diǎn)處以相同的采樣時(shí)間Δt進(jìn)行采樣,則由所有觀測(cè)點(diǎn)構(gòu)造出的響應(yīng)矩陣Φ表示為:

(9)

將式(8)代入式(9)后,可得Φ=ψaΛa,其中,

現(xiàn)對(duì)某一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行等時(shí)間間隔Δt的采樣,以第i個(gè)量測(cè)點(diǎn)為例,可得xi(t1),xi(t2),…,xi(tN),并根據(jù)上述數(shù)據(jù)構(gòu)造Hankel矩陣[13],如式(10)所示。

(10)

根據(jù)文獻(xiàn)[14],取矩陣R1=R(:,1:j-1),R2=R(:,2:j),同上操作,將式(8)代入式(10)后,分別得到R1=ψΛ與R2=ψαΛ,隨后將其進(jìn)行聯(lián)立求解,有Aψ=ψα,α=diag[eλ1Δteλ2Δt… eλmΔt],此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為求解矩陣A的特征值,從而得到信號(hào)的振蕩模態(tài)參數(shù),計(jì)算方法由如公式(10)[14]。

(11)

其中,ωr=2πfr表示系統(tǒng)的振蕩頻率,ξi為阻尼比,σr為衰減系數(shù),arg(sr)表示求取復(fù)數(shù)的幅角。

3 SURE-ITD方法辨識(shí)低頻振蕩模態(tài)

3.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

對(duì)于衡量各方法提取關(guān)鍵振蕩模態(tài)參數(shù)的能力,通常需要引入相關(guān)的指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析,采用擬合系數(shù)(R-square)作為各方法提取振蕩信號(hào)參數(shù)準(zhǔn)確度的衡量標(biāo)準(zhǔn),如下公式(12)所示。

(12)

3.2 分析步驟及流程

將SURE自適應(yīng)小波閾值(SURE-WT)預(yù)處理與固有時(shí)間尺度分解(ITD)算法進(jìn)行聯(lián)合,用于提取系統(tǒng)的關(guān)鍵振蕩模態(tài)參數(shù),其處理步驟如下:

Step1:對(duì)采集到的含噪信號(hào)Y作小波(WT)變換,從而獲取j尺度下的小波系數(shù)wj,k;

Step4:將上述得到的估計(jì)信號(hào),即去噪后的信號(hào),作為新的輸入信號(hào),并根據(jù)如公式(10)所示的采樣過程,構(gòu)造出Hankel矩陣;

Step5:根據(jù)文中的辦法,選取Hankel矩陣中的元素,分別得到矩陣R1=ψΛ與R2=ψαΛ,聯(lián)立求解得Aψ=ψα,α=diag[eλ1Δteλ2Δt… eλmΔt];

Step6:通過特征方程Aψ=ψα,求解矩陣A的特征值,從而得到系統(tǒng)的關(guān)鍵振蕩參數(shù)。

其中,SURE-ITD的關(guān)鍵參數(shù)辨識(shí),如圖1所示,從中可直觀地看出該算法對(duì)信號(hào)的處理過程。

圖1 SURE-ITD關(guān)鍵參數(shù)辨識(shí)流程圖Fig.1 SURE-ITD key parameter identification flow chart

4 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

4.1 測(cè)試信號(hào)

在電力系統(tǒng)振蕩信號(hào)的測(cè)量中,為模擬實(shí)際情況下的噪聲干擾,分別由3個(gè)振蕩模態(tài)(其頻率f分別為0.5、1.0、1.5 Hz,對(duì)應(yīng)的衰減因子分別為0.1、0.3、0.5)與一個(gè)噪聲分量n(t)構(gòu)成一個(gè)低頻振蕩數(shù)學(xué)信號(hào),如公式(13)所示,從而對(duì)所提算法的可行性進(jìn)行初步的測(cè)試,并對(duì)純凈信號(hào)添加不同程度上的噪聲干擾,以驗(yàn)證算法的抗噪性能。不同噪聲背景下的信號(hào)曲線如圖2所示,其中,縱軸A代表比值,pu表示無(wú)量綱。

圖2 純凈信號(hào)與加噪信號(hào)曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of curves of pure signal and signalwith noise

y(t)=5e-0.1tcos(2π×0.5t+60°)+1.5e-0.3tcos(2π×

t+30°)+e-0.5tcos(2π×1.5t+45°)+n(t)

(13)

分別采用SURE-WT去噪算法以及FIRsgolay和IIRbutter濾波器[15]進(jìn)行去噪效果的對(duì)比,所得試驗(yàn)結(jié)果如表1所示,由表中的數(shù)據(jù)可知,所提算法能更好地提高信號(hào)的信噪比,有更好的去噪性能。

表1 各方法對(duì)不同信噪比下的噪聲去除能力Tab.1 Noise removal ability of each method under different SNR

隨后,對(duì)預(yù)處理后的信號(hào)進(jìn)行關(guān)鍵振蕩模態(tài)參數(shù)的獲取,分別采用所提的SURE-ITD辨識(shí)法、普羅尼(Prony)以及最小二乘旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(TLS-ESPRIT)進(jìn)行關(guān)鍵振蕩模態(tài)參數(shù)獲取精度的比較,所得試驗(yàn)結(jié)果如表2所示,其結(jié)果均以最小的算法階數(shù)下,進(jìn)行參數(shù)的最準(zhǔn)確辨識(shí),SURE-ITD、Prony、TLS-ESPRIT法各階數(shù)分別取20、30、10階。由表2中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知,3種辨識(shí)法對(duì)頻率的辨識(shí)誤差均在可接受的范圍內(nèi),但相對(duì)來(lái)說(shuō),Prony在對(duì)第3個(gè)振蕩模態(tài)進(jìn)行辨識(shí)時(shí),其頻率誤差分別達(dá)到0.081 4、0.043 7以及0.043 3 Hz,相對(duì)誤差較大,另一方面,Prony和TLS-ESPRIT對(duì)衰減因子的辨識(shí)能力較差,其Prony的誤差分別達(dá)到0.334 9、0.236 5、0.174 0,TLS-ESPRIT的誤差值分別達(dá)到0.164 8、0.125 1、0.039 8,遠(yuǎn)不如SURE-ITD的辨識(shí)準(zhǔn)確度,可見SURE-ITD具有更好的辨識(shí)能力。

表2 3種算法的辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Identification results of three algorithms

各方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果的擬合曲線如圖3所示。通過各擬合曲線對(duì)原始信號(hào)的還原度,即曲線之間距離的遠(yuǎn)近關(guān)系,可初步判斷SURE-ITD法能夠更好地還原出原始信號(hào),并結(jié)合表3所示的在不同信噪比下,由各方法辨識(shí)擬合精度中的擬合系數(shù)(R-square)和均方誤差(MSE)可知,SURE-ITD法相對(duì)于Prony、TLS-ESPRIT算法而言,其擬合效果更好,辨識(shí)精度更高。

表3 不同信噪比下各種方法辨識(shí)的擬合精度Tab.3 Fitting accuracy of each method identification under different SNR

圖3 信噪比12 dB下各方法的擬合曲線Fig.3 Fitting curve of each method under SNR of 12 dB

圖4 EPRI-36節(jié)點(diǎn)仿真系統(tǒng)Fig.4 EPRI-36 node simulation system

4.2 EPRI-36系統(tǒng)算例分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證SURE-ITD法的可行性,采用PSASP軟件中的8機(jī)36節(jié)點(diǎn)仿真系統(tǒng),在母線20處設(shè)置一0.2～0.6 s且大小為0.5 p.u.的有功沖擊負(fù)荷,并以G1為參考機(jī),取G1～G7的相對(duì)功角振蕩作為輸入信號(hào)。為模擬實(shí)際信號(hào)中的噪聲干擾,將分別對(duì)信號(hào)添加14、18、22 dB的高斯白噪聲,如圖5所示,特征值結(jié)果如表4所示。

表4 特征值計(jì)算結(jié)果Tab.4 Results of eigenvalue calculation

圖5 原始信號(hào)與含噪信號(hào)曲線對(duì)比圖Fig.5 Comparison diagram of original signal curve and that with noise

根據(jù)系統(tǒng)的特征值分析結(jié)果,采用所提的SURE-ITD、Prony以及TLS-ESPRIT分別對(duì)系統(tǒng)G1～G7的相對(duì)功角振蕩加噪信號(hào)進(jìn)行關(guān)鍵振蕩模態(tài)參數(shù)的提取,發(fā)現(xiàn)各算法所辨識(shí)出的兩個(gè)振蕩模式,分別對(duì)應(yīng)著表4中的第5行和第6行,其頻率分別為0.980 2、0.777 5 Hz, 衰減因子分別為0.267 5、0.054 7。為對(duì)比各方法在辨識(shí)能力上的優(yōu)劣,將上述PSASP軟件由小干擾分析模塊得到的特征值分析結(jié)果,作為標(biāo)準(zhǔn)參考值;將SURE-ITD、Prony以及TLS-ESPRIT各方法所辨識(shí)出的關(guān)鍵振蕩模態(tài)參數(shù),做誤差分析,結(jié)果如表5所示。

表5 3種算法的辨識(shí)結(jié)果Tab.5 Identification results of three algorithms

由表5可知,當(dāng)信噪比為14、18 dB時(shí),Prony法無(wú)法識(shí)別出第2個(gè)振蕩模態(tài)下的衰減因子,對(duì)頻率的辨識(shí)誤差較大,最大時(shí)達(dá)到0.237 1、0.192 8 Hz;而對(duì)于TLS-ESPRIT法的主要問題在于其辨識(shí)出的衰減因子誤差過大,最大時(shí)達(dá)到0.048 2、0.038 3和0.037 6。衰減因子對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的阻尼系數(shù),過大的誤差則意味著無(wú)法準(zhǔn)確地辨識(shí)出系統(tǒng)的阻尼系數(shù),這對(duì)于后續(xù)抑制低頻振蕩、構(gòu)建優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)十分不利。綜上所述,在相同的實(shí)驗(yàn)條件下,所提SURE-ITD法的辨識(shí)性能更佳。

為了更直觀地展示各方法的辨識(shí)能力,繪制出SURE-ITD、Prony以及TLS-ESPRIT各擬合曲線與原始信號(hào)曲線的對(duì)比如圖6所示。由圖6的擬合曲線可初步判斷,SURE-ITD法能更好地還原出原始信號(hào)曲線。結(jié)合表6的擬合誤差分析可知,SURE-ITD法具有更高的擬合系數(shù)和更小的均方誤差,且Prony和TLS-ESPRIT法的擬合誤差較大,表明了在該仿真算例下,兩種算法的辨識(shí)能力完全失去了優(yōu)勢(shì)。綜上,所提方法性能更好。

表6 不同信噪比下各方法辨識(shí)的擬合精度Tab.6 Fitting accuracy of each method’s identification under different SNR

圖6 信噪比14 dB下各方法的擬合曲線Fig.6 Fitting curve of each method based on SNR of 14 dB

4.3 實(shí)測(cè)信號(hào)分析

為驗(yàn)證所提聯(lián)合辨識(shí)算法在實(shí)際電網(wǎng)中對(duì)低頻振蕩信號(hào)的適用性,取國(guó)外某地電網(wǎng)發(fā)生過的一起低頻振蕩事故所測(cè)取的信號(hào)曲線(如圖7)進(jìn)行分析。圖7中,橫軸表示測(cè)取信號(hào)時(shí)對(duì)應(yīng)的測(cè)取時(shí)間,縱軸表示電網(wǎng)系統(tǒng)頻率下降時(shí)的振蕩頻率。應(yīng)用matlab軟件中的小波分析工具箱對(duì)該數(shù)據(jù)曲線進(jìn)行時(shí)頻能量分析,所得結(jié)果如圖8所示,根據(jù)圖8中區(qū)域的顏色分布,可初步判斷系統(tǒng)的振蕩頻率位于1.5～2.0 Hz的范圍,并且,對(duì)應(yīng)的有效信號(hào)的測(cè)取時(shí)間為15～20 s。

圖7 電網(wǎng)中的實(shí)測(cè)頻率曲線Fig.7 Measured frequency curve in power grid

圖8 小波能量分析圖Fig.8 Wavelet energy analysis diagram

綜上分析,可知系統(tǒng)振蕩信號(hào)的有效測(cè)取時(shí)間段和大致的振蕩頻率區(qū)間。為了更準(zhǔn)確地進(jìn)行參數(shù)的辨識(shí),將圖7中的有效數(shù)據(jù)段進(jìn)行信號(hào)數(shù)據(jù)區(qū)間的截取,以驗(yàn)證所提出的SURE-ITD法的參數(shù)辨識(shí)能力,并對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行參數(shù)的擬合,以驗(yàn)證算法辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性,所得結(jié)果如圖9所示。從圖9可知,此次系統(tǒng)的低頻振蕩事故中,存在兩個(gè)起關(guān)鍵作用的振蕩模式,其頻率分別為1.588 3、1.900 7 Hz,阻尼比分別為2.83%、0.47%。通過數(shù)據(jù)曲線的擬合以及小波能量的時(shí)頻分析,確定了該結(jié)果的正確性,也驗(yàn)證了所提SURE-ITD聯(lián)合辨識(shí)算法在實(shí)際電網(wǎng)中的可行性。

圖9 電網(wǎng)中的實(shí)測(cè)頻率曲線Fig.9 Measured frequency curve in power grid

5 結(jié)論

本研究聯(lián)合了基于無(wú)偏似然估計(jì)的自適應(yīng)小波閾值(SURE-WT)與固有時(shí)間尺度分解法(ITD),提出了一種新的低頻振蕩關(guān)鍵參數(shù)的聯(lián)合辨識(shí)算法,解決了傳統(tǒng)辨識(shí)算法抗噪能力不足等問題,并進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)分析,所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果及結(jié)論如下:

1)在進(jìn)行低頻振蕩信號(hào)的預(yù)處理上,采用了基于SURE的自適應(yīng)小波閾值處理,經(jīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,引入了動(dòng)態(tài)的自適應(yīng)閾值調(diào)整公式,能夠更好地實(shí)現(xiàn)對(duì)含噪信號(hào)噪聲的去除,實(shí)現(xiàn)完美的信噪分離。

2)通過最優(yōu)閾值的估計(jì),將處理后的信號(hào)作為固有時(shí)間尺度法新的輸入信號(hào),并以此信號(hào)來(lái)構(gòu)建相應(yīng)的信號(hào)測(cè)點(diǎn)矩陣及求解其矩陣的特征值,從而獲取對(duì)系統(tǒng)起關(guān)鍵作用的振蕩模態(tài)參數(shù),實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合預(yù)期。

3)實(shí)驗(yàn)分別采用數(shù)學(xué)信號(hào)、PSASP軟件中的8機(jī)36節(jié)點(diǎn)仿真系統(tǒng)信號(hào)以及實(shí)測(cè)信號(hào),并添加不同強(qiáng)度下的干擾噪聲,以模擬實(shí)際情況,經(jīng)對(duì)比多種方法的辨識(shí)精度,驗(yàn)證了所提方法的有效可行性。