基于水翼艇的現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

王端松，杜成濤，張 坦，張金仲

（皖西學(xué)院電氣與光電工程學(xué)院，安徽 六安 237012）

1 前言

現(xiàn)代控制理論作為一門科學(xué)技術(shù)，已經(jīng)廣泛地運(yùn)用于我們社會(huì)生活的方方面面，如航空航天、海洋領(lǐng)域和工業(yè)機(jī)器人等領(lǐng)域?，F(xiàn)代控制理論的實(shí)驗(yàn)教學(xué)是理工科院校重要的教學(xué)環(huán)節(jié)[1]，然而，在現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)教學(xué)領(lǐng)域，面臨著如下問題：控制技術(shù)在近二、三十年得到飛速發(fā)展，新理論和新的控制方法不斷出現(xiàn)，內(nèi)容包含大量的公式證明以及矩陣的運(yùn)算，理論較強(qiáng)且比較抽象，如果不與實(shí)際的物理系統(tǒng)相結(jié)合，非常難以理解，學(xué)習(xí)難度較大。以往的教學(xué)實(shí)驗(yàn)大多屬于演示性或驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，與實(shí)際工程結(jié)合不緊密，變量的值雖然能隨意改變，但是意義單一，學(xué)生做實(shí)驗(yàn)做完就忘，限制了學(xué)生動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。因此，有必要在實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué)中引入實(shí)際物理系統(tǒng)，將理論知識(shí)賦予物理意義，幫助學(xué)生更好地理解和掌握現(xiàn)代控制的理論知識(shí)。

雖然在現(xiàn)代控制理論的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中有專家學(xué)者引入了能控性、能觀性、極點(diǎn)配置的實(shí)驗(yàn)，并且通過MATLAB 編程進(jìn)行仿真，但是各模塊的仿真實(shí)驗(yàn)很多都是獨(dú)立的，不能系統(tǒng)地聯(lián)系在一起，使得知識(shí)點(diǎn)碎片化，仍然無法使學(xué)生獲得真實(shí)且直觀的感受。為此，南京郵電大學(xué)的丁潔等人設(shè)計(jì)了基于飛控平臺(tái)的現(xiàn)代控制理論綜合實(shí)驗(yàn)[2],包括飛行器的數(shù)學(xué)模型建立、狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)和跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。張勇[3]教學(xué)團(tuán)隊(duì)以倒立擺平臺(tái)作為載體，通過對(duì)倒立擺進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、穩(wěn)定性分析、能控性判斷和極點(diǎn)配置等設(shè)計(jì)了綜合實(shí)驗(yàn)，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，取得了一定的教學(xué)實(shí)踐效果。南京航空航天大學(xué)張苗[4]教學(xué)團(tuán)隊(duì)以直流電機(jī)為例，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)課程探索，從控制系統(tǒng)建模到模型線性化、狀態(tài)空間表達(dá)式建立、能控性和能觀性分析、狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)，將理論知識(shí)和實(shí)踐更好地結(jié)合在一起，很好地改善了實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué)效果。邢景虎[5]教學(xué)團(tuán)隊(duì)為了解決現(xiàn)代控制理論教學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高、理論性較強(qiáng)的問題，設(shè)計(jì)了基于單級(jí)倒立擺的仿真及實(shí)物實(shí)驗(yàn)，取得了良好的教學(xué)效果。

受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，本文針對(duì)現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)教學(xué)領(lǐng)域的不足，擬結(jié)合筆者的科研經(jīng)驗(yàn)，探索基于水翼艇的現(xiàn)代控制理論綜合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。本實(shí)驗(yàn)側(cè)重于理論結(jié)合實(shí)際，從工程角度理解理論知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題以及學(xué)以致用的能力，可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的研究能力和創(chuàng)新精神。

2 水翼艇狀態(tài)空間建模

筆者在現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué)過程中，以美國的PCH 水翼艇作為教學(xué)案例，從系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立出發(fā)，并轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式分析系統(tǒng)的性能。

船舶在水面上為六自由度運(yùn)動(dòng)，分為沿x軸的縱蕩運(yùn)動(dòng)、沿y軸的橫蕩運(yùn)動(dòng)、沿z軸的垂蕩運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的縱向速度、橫向速度和垂向速度分別用u，v，w表示，以及橫搖、縱搖、艏搖（分別關(guān)于x，y，z軸的角運(yùn)動(dòng)），對(duì)應(yīng)的角速度分別用p，q，r表示，如圖1 所示。

圖1 水翼艇固定-隨體坐標(biāo)系示意圖

水翼艇運(yùn)動(dòng)較為穩(wěn)定的條件下，可以看作是在平衡點(diǎn)附近的微擾運(yùn)動(dòng)。PCH 水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)的線性化方程為[6]：

其中，h表示垂蕩位移，θ為縱搖角度，δe和δf分別表示水翼艇的艏翼角度和尾翼角度。Zs和Ms為干擾量。為了方便，在本文中假設(shè)外部環(huán)境干擾為0，即Zs=Ms=0。水翼艇的縱向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)縱搖角度和垂蕩位移通過控制艏翼角和尾翼角來改變，當(dāng)控制輸入和外部干擾為零的情況下，如果初始狀態(tài)不穩(wěn)定，水翼艇會(huì)由給定的初始狀態(tài)進(jìn)行縱向運(yùn)動(dòng)，能量逐漸衰減到靜止的平衡狀態(tài)。

根據(jù)水翼艇的縱向運(yùn)動(dòng)線性化方程，水翼艇的數(shù)學(xué)模型使用狀態(tài)空間表達(dá)式可以表示為：

通過MATLAB 指令eig(A)可以求出，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為-9.8594，-4.7731，0.009±0.8441i，從特征值可以看出，由于具有正實(shí)部的特征根，所以系統(tǒng)此時(shí)是不穩(wěn)定的。此時(shí)如果設(shè)置水翼艇的初始狀態(tài)為垂蕩位移h=1.5m，縱搖角θ=5°，輸入u=[0 0]T，通過搭建simulink 仿真程序，可以得到水翼艇的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)曲線，在沒有控制輸入和環(huán)境干擾的條件下，水翼艇垂蕩位移和縱搖角運(yùn)動(dòng)曲線為正弦震蕩，不能由給定的初始狀態(tài)衰減到穩(wěn)定狀態(tài)，所以系統(tǒng)不能收斂，也驗(yàn)證了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。

3 水翼艇狀態(tài)反饋實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

3.1 狀態(tài)反饋

狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的輸入[7]。

對(duì)于由狀態(tài)空間表達(dá)式（2）表示的受控系統(tǒng)，狀態(tài)線性反饋控制律u為[8]：

其中，v為r×1 維參考輸入，K為r×n維狀態(tài)反饋增益陣。

把方程（3）帶入（2）可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

可以簡記為：∑K((A+BK),B,C)。

3.2 極點(diǎn)配置

極點(diǎn)配置問題就是選擇合適的狀態(tài)反饋矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在根平面期望的位置上，來獲得期望的動(dòng)態(tài)性能。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)的控制，需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置，保證閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的[9]。

設(shè)置水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的期望特征值為λ1,2=-3±3j,λ3=-5,λ4=-6，可以看出，一對(duì)共軛復(fù)根為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。

首先，可以通過MATLAB 對(duì)水翼艇的能控性和能觀性進(jìn)行驗(yàn)證。該系統(tǒng)的可控性矩陣秩為4，即rank(B,AB,A2B)=4，能觀性矩陣秩rank[CT(CA)T(CA2)T(CA3)T]T=4，所以閉環(huán)系統(tǒng)是完全能控且能觀的，可以通過狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置。

用MATLAB 編程求取系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益陣K：

此時(shí)如果設(shè)置水翼艇的初始狀態(tài)為垂蕩位移h=1.5m，縱搖角θ=5°，輸入u=[0 0]T，水翼艇的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)曲線如圖2 所示。狀態(tài)空間1 和2 分別為垂蕩位移和縱搖角，從圖中可以看出，在執(zhí)行機(jī)構(gòu)沒有動(dòng)作的情況下，水翼艇的垂蕩位移和縱搖角運(yùn)動(dòng)曲線由初始狀態(tài)經(jīng)過短暫的調(diào)整分別到達(dá)平衡點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值也達(dá)到平衡點(diǎn)，證明了極點(diǎn)配置的有效性。

圖2 水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)反饋的狀態(tài)響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

本文通過對(duì)水翼艇的縱向運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行建模，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式，通過判斷求取系統(tǒng)的極點(diǎn)，由極點(diǎn)的分布情況判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然后，通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益陣實(shí)現(xiàn)對(duì)水翼艇縱向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過MATLAB 仿真證明了有效性。