利用整體法巧解兩道動(dòng)力學(xué)難題

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

對(duì)于同一平面內(nèi)相互作用的幾個(gè)質(zhì)點(diǎn),無論各質(zhì)點(diǎn)的加速度是否相同,都可選擇整體為研究對(duì)象在某一方向應(yīng)用牛頓第二定律列方程.特別是對(duì)于多個(gè)相互作用物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題,利用這種整體法來解答,可化繁為簡(jiǎn),巧妙快捷.

1 推導(dǎo)系統(tǒng)牛頓第二定律的表達(dá)式

以相互作用的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿同一直線運(yùn)動(dòng)為例,設(shè)質(zhì)點(diǎn)A和B的質(zhì)量分別為m1和m2,在某一時(shí)刻的加速度分別為a1和a2,合外力大小為F,作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)A上,相互作用力大小為f,若利用隔離法對(duì)各質(zhì)點(diǎn)分別應(yīng)用牛頓第二定律列方程,則有

F-f=m1a1f=m2a2

由兩個(gè)方程相加得

F=m1a1+m2a2

可見,這個(gè)方程不含內(nèi)力,是把相互作用的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)視為整體而列出的動(dòng)力學(xué)方程.這表明,在同一直線上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的合外力,等于各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與對(duì)應(yīng)加速度乘積的矢量和.

由于相互作用的內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的,而且是互為相反數(shù),因此對(duì)質(zhì)點(diǎn)組利用整體法列出的動(dòng)力學(xué)方程中不含有內(nèi)力.對(duì)于方程右邊的各項(xiàng),分別對(duì)應(yīng)合外力的一個(gè)分力,即

F1=m1a1F2=m2a2

下面利用質(zhì)心坐標(biāo)公式和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)組的系統(tǒng)牛頓第二定律表達(dá)式.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)組,系統(tǒng)質(zhì)心的橫坐標(biāo)為

取二階導(dǎo)數(shù)可得系統(tǒng)質(zhì)心在x軸方向的加速度為

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知在x軸方向的合外力為

Fx=(m1+m2+…+mi)aCx=

m1a1x+m2a2x+…+miaix

即

Fx=∑miaix

這表明,對(duì)于做變速運(yùn)動(dòng)的各質(zhì)點(diǎn)組成的整體,在某一方向受到的合外力等于各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與對(duì)應(yīng)加速度分量之積的矢量和.無論各質(zhì)點(diǎn)受到外力的作用點(diǎn)是否相同,力的作用線是否重合,各質(zhì)點(diǎn)的加速度是否相同,各矢量是否共線,都可對(duì)質(zhì)點(diǎn)組整體在某一方向應(yīng)用牛頓第二定律列出一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程.

綜上可見,對(duì)于平面質(zhì)點(diǎn)組或者連接體在平面內(nèi)發(fā)生的變速運(yùn)動(dòng),都可對(duì)整體在某一方向上應(yīng)用牛頓第二定律列出一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程,只與該方向的合外力有關(guān),而與相互作用的內(nèi)力無關(guān).表達(dá)式的一般形式為

F=∑miai

2 應(yīng)用系統(tǒng)牛頓第二定律的表達(dá)式

對(duì)有關(guān)質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)力學(xué)問題,常規(guī)解法是利用隔離法由牛頓第二定律列方程,顯得很繁瑣,且易于出錯(cuò).而對(duì)質(zhì)點(diǎn)組整體應(yīng)用牛頓第二定律即利用系統(tǒng)牛頓第二定律列方程,實(shí)際是一種整體法,只需分析整體受到的外力以及各質(zhì)點(diǎn)加速度的大小和方向,不必考慮相互作用的內(nèi)力,由此可化繁為簡(jiǎn),化難為易.

【例1】[1]系統(tǒng)如圖1所示,滑輪與繩的質(zhì)量忽略,繩不可伸長(zhǎng).設(shè)系統(tǒng)所有的部位都沒有摩擦,物體B借助導(dǎo)軌(圖中未畫出)被限定在沿物體C的右側(cè)面運(yùn)動(dòng),已知物體A、B、C的質(zhì)量分別為mA、mB、mC,試求物體C運(yùn)動(dòng)的加速度aC.

圖1 例1題圖

原解[1]:取物體系統(tǒng)為研究對(duì)象,由于A、B、C組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒,則

mAvA=(mB+mC)vC

(1)

再隔離A和B,由于A和B相對(duì)于C的加速度大小相等,設(shè)為a,則A對(duì)地的加速度為aA=a-aC,方向向右;B對(duì)地的加速度可分解為兩個(gè)分量,豎直向下的分量aBy=a,水平向左的分量aBx=aC.設(shè)繩的拉力為T,分析A水平方向和B豎直方向的受力情況,根據(jù)牛頓第二定律,對(duì)A有

T=mAaA

即

T=mA(a-aC)

(2)

對(duì)于B,在豎直方向有mBg-T=mBaBy,即

mBg-T=mBa

(3)

聯(lián)立方程(2)、(3)得

(4)

又因?yàn)锳、C均做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),由速度公式得

vA=aAt=(a-aC)t

(5)

vC=aCt

(6)

聯(lián)立方程(1)、(4)、(5)、(6)可得

點(diǎn)評(píng):在慣性系中應(yīng)用牛頓第二定律列方程,要注意加速度是對(duì)地的絕對(duì)加速度.除了列出動(dòng)力學(xué)方程,還需列出動(dòng)量守恒方程,并且能夠判斷物體做勻加速運(yùn)動(dòng),利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出兩個(gè)方程.

新解：以地面為參考系,設(shè)A向右運(yùn)動(dòng)的加速度大小為aA,B向下運(yùn)動(dòng)的加速度大小為aBy,B與C一起向左運(yùn)動(dòng)的加速度大小為aC,則A與B相對(duì)于C運(yùn)動(dòng)的加速度大小為

a=aBy

由于A與C運(yùn)動(dòng)方向相反,則相對(duì)加速度大小為

a=aA+aC

對(duì)A、B整體在細(xì)繩張力方向由牛頓第二定律有

mBg=mAaA+mBaBy

對(duì)A、B、C整體在水平方向由牛頓第二定律有

0=mAaA-(mB+mC)aC

聯(lián)立上式可得

點(diǎn)評(píng):首先要設(shè)置各質(zhì)點(diǎn)加速度物理量的符號(hào),明確各加速度之間的關(guān)系,即物體B運(yùn)動(dòng)的加速度在水平方向的分量與物體C的加速度相同,在豎直方向的分量與物體A相對(duì)于物體C運(yùn)動(dòng)的加速度大小相等.整個(gè)解題過程只需對(duì)加速度設(shè)置4個(gè)未知量,列出4個(gè)方程,其中兩個(gè)方程用來反映某一方向的相對(duì)加速度與絕對(duì)加速度的關(guān)系;另外兩個(gè)方程用來反映質(zhì)點(diǎn)組在某一方向受到的合外力與加速度和質(zhì)量的關(guān)系.

【例2】[2]如圖2所示, 在一質(zhì)量為M的小車上放一質(zhì)量為m1的物塊,它用細(xì)繩通過固定在小車上的滑輪與質(zhì)量為m2的物塊相連,物塊m2靠在小車的前壁上而使懸線豎直.忽略所有摩擦,問:(1)當(dāng)用水平力F推小車使之沿水平桌面加速前進(jìn)時(shí),小車的加速度多大?(2)如果要保持m2的高度不變,力F應(yīng)該多大?

圖2 例2題圖

原解:(1)[2]分析小車和兩個(gè)物塊受力如圖3所示.各力之間的關(guān)系為T1=T′1=T2=T′2,N=N′.以小車為參考系,物塊m1和m2的相對(duì)加速度分別為a1和a2,則二者大小相等,即a1=a2.

圖3 分析各質(zhì)點(diǎn)受力

設(shè)小車的加速度大小為a,方向向右,若以小車為參考系,則m1受到向左的慣性力大小為m1a,對(duì)m1沿水平方向由牛頓第二定律有

T1-m1a=m1a1

對(duì)m2沿豎直方向有

m2g-T2=m2a2

聯(lián)立各式得

對(duì)m2沿水平方向有

N=m2a

對(duì)小車沿水平方向有

F-N′-T′1=Ma

聯(lián)立這3個(gè)方程,考慮到T1=T′1,N=N′,可得

(2)[3]如果m2的高度保持不變,則相對(duì)加速度a1=0,由

可得

代入小車的加速度關(guān)系式可得推力大小為

點(diǎn)評(píng):對(duì)于第(1)問,在非慣性系中應(yīng)用牛頓第二定律列方程時(shí),需對(duì)m1考慮慣性力.對(duì)于第(2)問,是利用第(1)問所得加速度代入特殊條件來求作用力,需對(duì)作用力的表達(dá)式式進(jìn)行化簡(jiǎn),難度較大.

新解:(1)以地面為參考系,設(shè)小車的加速度大小為a,物塊m1的加速度大小為a1,物塊m2向下運(yùn)動(dòng)的加速度分量a2y.若物塊m1相對(duì)于小車向右運(yùn)動(dòng),則m1相對(duì)于小車運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a′=a1-a.物塊m2向下運(yùn)動(dòng)的加速度分量與物塊m1相對(duì)于小車運(yùn)動(dòng)的加速度大小相等,即a2y=a′.對(duì)m1、m2整體在沿繩移動(dòng)方向由牛頓第二定律有

m2g=m1a1+m2a2y

對(duì)三者整體在水平方向由系統(tǒng)牛頓第二定律有

F=m1a1+(M+m2)a

聯(lián)立方程可得

(2)若物塊m2的高度保持不變,則三者的相對(duì)位置保持不變,加速度相同,對(duì)整體在水平方向由牛頓第二定律有

F=(M+m2+m1)a

對(duì)m1和m2整體在沿繩方向由系統(tǒng)牛頓第二定律有

m2g=m1a

聯(lián)立方程可得

點(diǎn)評(píng):對(duì)第(1)問,需首先對(duì)加速度設(shè)置未知量符號(hào),并且設(shè)定物塊m1相對(duì)于小車的運(yùn)動(dòng)方向,以便確定相對(duì)加速度與各加速度之間的數(shù)量關(guān)系.此外,物塊m2的加速度在水平方向的分量與小車的加速度相同,在豎直方向的絕對(duì)加速度等于相對(duì)加速度.在應(yīng)用系統(tǒng)牛頓第二定律列方程時(shí),需選擇不同的整體作為研究對(duì)象,并且選擇正方向,分析整體受力情況以及各物體的加速度大小和方向.

還需討論小車向左或向右運(yùn)動(dòng)的受力條件以及兩個(gè)物體相對(duì)于小車向左或向右運(yùn)動(dòng)的條件[2].若推力F維持小車剛好靜止不動(dòng),則m1和m2一起加速運(yùn)動(dòng),因此二者的加速度大小相等,即為

由于例1是例2的特例,那么在解題時(shí)應(yīng)用的規(guī)律和方法具有某些相似之處,利用例2第(1)問的結(jié)果,令F=0,可得小車的加速度為負(fù)值,其絕對(duì)值跟例1的結(jié)果相一致.

3 結(jié)束語

綜上可見,由于模型中相互作用的物體個(gè)數(shù)較多,相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜,如果利用隔離法進(jìn)行解答,過程繁瑣,難度較大,而且易于出錯(cuò).在地面參考系中利用整體法對(duì)質(zhì)點(diǎn)組列出動(dòng)力學(xué)方程的解法最簡(jiǎn)單.關(guān)鍵是在地面參考系中對(duì)3個(gè)物體分別設(shè)置加速度物理量符號(hào),并且能夠確切分析相對(duì)加速度與3個(gè)加速度之間的數(shù)量關(guān)系.在利用整體法對(duì)質(zhì)點(diǎn)組列動(dòng)力學(xué)方程時(shí),要明確選擇研究對(duì)象與正方向,其中在水平方向以3個(gè)物體為研究對(duì)象;在沿繩移動(dòng)方向以兩個(gè)物體為研究對(duì)象.利用整體法對(duì)質(zhì)點(diǎn)組列動(dòng)力學(xué)方程,不必分析系統(tǒng)內(nèi)相互作用的力,可減少未知量與方程的個(gè)數(shù),由此可化繁為簡(jiǎn),顯得巧妙快捷.此外,應(yīng)用系統(tǒng)牛頓第二定律列方程要比應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理列方程簡(jiǎn)便,有助于拓展解題思路和方法,提高解題的效率和效果.