帶電粒子在等邊三角形分界勻強磁場中周期性運動軌跡分析*

李 崢

(重慶求精中學 重慶 400015)

黃海洋

(復旦大學自然科學試驗班 上海 200433)

1 問題的提出

帶電粒子在勻強磁場中的運動往往涉及圓心、半徑及運動時間的確定,通常的解題思路為根據(jù)速度方向或入射點、出射點的情況確定圓心,根據(jù)圓心確定運動軌跡,根據(jù)幾何關(guān)系確定半徑,根據(jù)偏轉(zhuǎn)的圓心角確定運動時間.由于帶電粒子在磁場中運動的約束條件,其運動往往具有對稱性和周期性[1].

【例題】如圖1所示,邊長為L的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強磁場,三角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向外,兩磁場的磁感應強度大小均為B[2].頂點A處有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子,粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為+q,不計粒子重力及粒子間的相互作用力,則發(fā)射速度v0為哪一值時粒子能通過B點( )

圖1 例題情境圖

粒子通過B點以后在洛倫茲力的作用下將繼續(xù)運動,那么具體的情況又如何呢?筆者對粒子運動情況及運動軌跡做了初步的分析.

2 粒子的運動軌跡分析

2.1 從A點出發(fā)的帶電粒子軌跡分析

通過分析計算,筆者發(fā)現(xiàn)通過B點的粒子經(jīng)過一定時間后均能回到A點,利用GeoGebra作出其運動的軌跡,分別如圖2至圖9所示.

圖2 r=L的粒子軌跡

圖3的粒子軌跡

圖4的粒子軌跡

圖5的粒子軌跡

圖6的粒子軌跡

圖7的粒子軌跡

圖8的粒子軌跡

圖9的粒子軌跡

通過運動軌跡分析,我們可以初步得到以下結(jié)論:

(1)所有通過B點的帶電粒子之后的運動軌跡一定過A點.

(2)所有的運動軌跡都是關(guān)于過入射點A點的豎直軸線軸對稱.

(3)所有的運動軌跡在從A點出發(fā)到回到A點的過程中不重復.

(4)粒子回到A點時速度方向與入射速度方向相反.

進一步討論分析,我們發(fā)現(xiàn)其運動時間及對應的路程存在以下的遞推關(guān)系:

(1)當n=2k+1(k=0,1,2,3,…)時,對應的運動時間

即

將n=2k+1(k=0,1,2,3,…)代入得

整理可得

(2)當n=2k(k=1,2,3,…)時,對應的運動時間

即

整理可得

對應的運動路程

整理可得

綜上可得

帶電粒子回到A點之后會繼續(xù)運動且具有周期性,其完整的運動情況又如何呢?筆者通過分析,作出了該情況下對應軌跡,如圖10至圖17所示.

圖10 r=L的粒子軌跡

圖11的粒子軌跡

圖12的粒子軌跡

圖13的粒子軌跡

圖14的粒子軌跡

圖15的粒子軌跡

圖16的粒子軌跡

圖17的粒子軌跡

圖18 與回到A點相比軌跡增加部分

圖19 時的完整運動軌跡

2.2 從BC中點出發(fā)的帶電粒子軌跡分析

若帶電粒子從BC中點垂直于邊界進入三角形磁場,那么運動情況又如何呢?

圖20 的粒子軌跡

圖21 的粒子軌跡

圖22 的粒子軌跡

圖23 的粒子軌跡

圖24 的粒子軌跡

圖25 的粒子軌跡

通過分析,軌跡具有以下特點:

(1)運動軌跡具有高度的對稱性,且運動具有周期性.

(3)設其運動的周期為T0,則

3 結(jié)束語

帶電粒子在勻強磁場中的周期性運動通?？梢岳脤ΨQ性進行分析和求解,特別是針對分界磁場,通過計算在某邊界兩邊的運動時間,通過對稱性找到對應的總時間,但這個過程中需要特別注意其具有軸對稱還是中心對稱的性質(zhì).其運動的周期通?？梢圆捎脝芜吔鐑蓚?cè)運動時間乘以對應邊數(shù),再減去重復情況進行處理.