妙用質(zhì)心巧解高考?jí)狠S題

程志強(qiáng)

(山東省濟(jì)鋼高級(jí)中學(xué) 山東 濟(jì)南 250100)

1 質(zhì)心知識(shí)回顧

設(shè)N個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置分別為x1、x2、x3、…、xN,我們定義此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置xc為

質(zhì)心速度為

質(zhì)心加速度為

系統(tǒng)的合動(dòng)量是質(zhì)心的動(dòng)量

系統(tǒng)的牛頓第二定律可以寫成

F=Mac

此式告訴我們:質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)行為可以代替質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)行為,質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)量等于質(zhì)心的質(zhì)量,作用在此質(zhì)心的力等于系統(tǒng)所受到的外力矢量總和.這個(gè)結(jié)論稱為系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理[1-2].

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表明,牛頓定律具有一種獨(dú)特的性質(zhì),即如果它在某一小尺度范圍內(nèi)是正確的,那么在大尺度范圍內(nèi)也將是正確的.鑒于此,實(shí)驗(yàn)室中證實(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一切實(shí)驗(yàn),利用多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)(例如小球)去實(shí)現(xiàn)才成為可能.在解決有多個(gè)物體相互作用的問題時(shí),如果在質(zhì)心系中解決問題,會(huì)給人以柳暗花明又一春的感覺,會(huì)將很復(fù)雜的問題變得十分簡(jiǎn)單[3],將壓軸題快速破解.

2 應(yīng)用比較

2.1 巧解高考?jí)狠S題1

【例1】(2014年高考安徽理綜卷第22題)在光滑水平地面上有一凹槽A,中央放一小物塊B.物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖1所示,L為1.0 m,凹槽與物塊的質(zhì)量均為m,兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.05,開始時(shí)物塊靜止,凹槽以v0=5 m/s初速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)物塊與凹槽槽壁碰撞過程中沒有能量損失,且碰撞時(shí)間不計(jì),g取10 m/s2,求:

圖1 物體與凹槽位置圖

(1) 物塊與凹槽相對(duì)靜止時(shí)的共同速度;

(2) 從凹槽開始運(yùn)動(dòng)到兩者相對(duì)靜止物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù);

(3) 從凹槽開始運(yùn)動(dòng)到兩者剛相對(duì)靜止所經(jīng)歷的時(shí)間及該時(shí)間內(nèi)凹槽運(yùn)動(dòng)的位移大小.

方法1：一般解法

解：(1)B在A中左右運(yùn)動(dòng),與左右邊碰撞及兩者間摩擦力都是內(nèi)力,系統(tǒng)動(dòng)量守恒,最后達(dá)到共同速度,由動(dòng)量守恒得

mv0=2mv1

解得

(2)A和B間的滑動(dòng)摩擦力f=μmg,系統(tǒng)動(dòng)能的減少等于產(chǎn)生的熱量,即

代入數(shù)據(jù)得

s相對(duì)=12.5 m

考慮到L=1 m,物塊最后停在凹槽左側(cè),兩者達(dá)到共同速度,物塊與前邊碰撞6次.設(shè)A、B碰前的速度分別為v1、v2,碰撞后的速度分別為v′1、v′2,因?yàn)槭菑椥耘鲎?所以

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

m1=m2

解得

v′1=v2v′2=v1

即A、B兩個(gè)物體不斷碰撞,每碰一次兩者交換速度一次,以地面為參考系畫出兩者的v-t圖像,由于加速度大小都為μg,圖像具有對(duì)稱性,且兩者圖像不斷轉(zhuǎn)換,根據(jù)碰撞次數(shù)可以分成13段,如圖2所示.

圖2 物體與凹槽碰撞速度時(shí)間圖

對(duì)凹槽

所以

t=5 s

凹槽的v-t圖像與時(shí)間軸所圍面積即為凹槽的位移,也就是圖中陰影的面積,上面等腰三角形面積被分割成13份,第一份陰影面積0.5L,其余均為L(zhǎng).

由以上解法可知:本題難在兩個(gè)物體的不斷碰撞,不斷交換速度,過程復(fù)雜,即使借用圖像也不易畫對(duì),面積也不易算對(duì),本題是典型的壓軸難題.

方法2：在質(zhì)心系中的解法

(1)設(shè)A和B的質(zhì)量均為m,由于系統(tǒng)不受水平方向外力作用,因此系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒.系統(tǒng)動(dòng)量為2mvc,其中質(zhì)心速度vc等于A和B相對(duì)靜止時(shí)的共同速度.由動(dòng)量守恒可求得

A和B間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析:第一階段,B從A中央右行,B受摩擦力加速,A受摩擦力減速,A快于B;第二階段,B與A左端互碰,交換速度(彈性碰撞,A和B質(zhì)量又相等),A以B碰前的速度運(yùn)動(dòng),并受摩擦力加速,B以A碰前的速度運(yùn)動(dòng),并受摩擦力減速.因此,可以認(rèn)為B由第一階段的加速運(yùn)動(dòng),在第二階段中被A取代.如此繼續(xù)下去,直至A和B相對(duì)靜止,以共同的質(zhì)心速度向右前進(jìn).

從以上分析,就B相對(duì)A運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路程可以等價(jià)地看成B在足夠長(zhǎng)的A內(nèi)運(yùn)動(dòng),直至相對(duì)靜止為止,設(shè)所經(jīng)歷的路程為s相.

因?yàn)樽鳛橐粚?duì)作用力和反作用力的摩擦力做功的大小等于摩擦力與相對(duì)路程的乘積

Af=-μmgs相

根據(jù)動(dòng)能定理

由于s相是B相對(duì)A運(yùn)動(dòng)的相對(duì)路程,所以B可與A碰撞12次(L=1.0 m),最后停在箱A與右壁接觸處(只接觸,不碰撞).

(2)為考查從B開始運(yùn)動(dòng)到A和B相對(duì)靜止經(jīng)歷的時(shí)間,仍然采用上面的等價(jià)法,即B在足夠長(zhǎng)的A內(nèi)運(yùn)動(dòng).

仍采用這種等價(jià)法,以物體B 為研究對(duì)象,采用動(dòng)量定理,求出A和B 相對(duì)運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間,即

-μmgt=mvc-mv0

解得

(3)因過程中系統(tǒng)質(zhì)心速度vc不變,質(zhì)心位移為

又因初態(tài)時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心在A中央,末態(tài)時(shí)B相對(duì)A靜止在A左側(cè),系統(tǒng)質(zhì)心在凹槽中點(diǎn)左側(cè)0.25 m處,位置圖如圖3所示,所以A的位移(以A中央處為代表)為

圖3 碰撞前后物體與凹槽位置圖

xA=xc+0.25 m=12.75 m

可以看出:利用系統(tǒng)質(zhì)心概念避免了復(fù)雜的計(jì)算,方便簡(jiǎn)潔.

2.2 巧解高考?jí)狠S題2

【例2】(2015年高考安徽理綜卷第12題)由3顆星體構(gòu)成的系統(tǒng),忽略其他星體對(duì)它們的作用,存在著一種運(yùn)動(dòng)形式:3顆星體在相互之間的萬有引力作用下,分別位于等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上,繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖4所示為A、B、C3顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況)．若A星體質(zhì)量為2m,B、C兩星體的質(zhì)量均為m,三角形的邊長(zhǎng)為a,求:

圖4 三星轉(zhuǎn)動(dòng)位置圖

(1)A星體所受合力大小FA;

(2)B星體所受合力大小FB;

(3)C星體的軌道半徑RC;

(4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T．

方法1：一般解法

分析:3個(gè)星體分布在等邊三角形頂點(diǎn)上,可以求出相互間的萬有引力,夾角成60°,可以用余弦定理求得合力,B與C是對(duì)稱的,共同圓心應(yīng)在B、C連線中垂線上.

(1)由萬有引力定律,寫出三星體間的萬有引力

(1)

(2)

(3)

根據(jù)余玄定理

(2)同上,B星受到的A、C施加的萬有引力分別為

(4)

(5)

根據(jù)余玄定理

(6)

(3)如圖5所示,△ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)為a,通過對(duì)B的受力分析可知,合力的方向經(jīng)過BC的中垂線AD的一點(diǎn),記作O點(diǎn),所以3個(gè)圓的圓心O一定在BC的中垂線AD上,從D點(diǎn)做AB的平行線交BO延長(zhǎng)線于P,連接AP.

圖5 三星受力分析圖

由圖5中的幾何關(guān)系可得

由式(4)、(5)得

即

DP=2BD=a(D為中點(diǎn))

由圖5中的幾何關(guān)系同理可得

即

故O為平行四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn).由圖得

(4)由題可知C的受力大小與B的受力相同,對(duì)C星

整理得

方法2:利用質(zhì)心概念,結(jié)合對(duì)稱性

因?yàn)橄到y(tǒng)不受外力,質(zhì)心加速度、速度都為零,3個(gè)星體將繞質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)質(zhì)心一定在BC邊垂線AD的中點(diǎn)上,即圖中的O點(diǎn),A、B、C3個(gè)星體轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑分別是OA、OB、OC,如圖6所示.

(1)根據(jù)對(duì)稱性知∠BAD=30°,A星體受到B、C的萬有引力的合力為

FA=FBAcos 30°+FCAcos 30°=

(2)由圖可知

(4)對(duì)A有

解得

可以看出:在上面的解法中,利用質(zhì)心概念快速解出3個(gè)星體轉(zhuǎn)動(dòng)的共同圓心,進(jìn)而解出運(yùn)動(dòng)半徑,很快將所有問題方便地解出.

3 總結(jié)

質(zhì)心概念在物體系中是非常重要的概念,在一些高考題,尤其強(qiáng)基計(jì)劃考試和物理競(jìng)賽中如果在質(zhì)心系中解決問題,在宏觀上進(jìn)行研究,將對(duì)問題大大地簡(jiǎn)化,避免了復(fù)雜的過程運(yùn)算,起到意想不到的效果.

下面看一道清華大學(xué)某年自主招生題.

【試題】質(zhì)量相同的兩個(gè)小球,質(zhì)量都是m,用長(zhǎng)2L輕繩相互連接,然后靜止放在光滑水平面上,繩處于伸直狀態(tài),如圖7所示,現(xiàn)在用恒力F作用于繩的中央,F方向水平,并且垂直于繩的初始長(zhǎng)度方向,兩球從靜止開始運(yùn)動(dòng).試問:在兩球第一次相碰前的瞬間,小球在垂直于F作用線方向上的分速度v⊥的值為多大?

圖7 清華自由招生試題附圖

方法1:在質(zhì)心系中求解

應(yīng)用動(dòng)能定理,F相對(duì)質(zhì)心做功W=FL.每個(gè)小球相對(duì)質(zhì)心碰撞前的速度為v⊥,根據(jù)質(zhì)心系的動(dòng)能定理

所以

方法2:在桌面參考系中求解

設(shè)小球在桌面上運(yùn)動(dòng)了s距離小球即將相碰,速度沿繩方向分量為vx,垂直于繩方向分量為v⊥,根據(jù)動(dòng)能定理

對(duì)其中一個(gè)小球水平方向應(yīng)用牛頓二定律

聯(lián)立以上幾式得

顯然:利用質(zhì)心系解決問題,更方便、更簡(jiǎn)潔.