籃球運(yùn)動(dòng)中的幾個(gè)力學(xué)問題

岳國聯(lián)

(六盤水市教育科學(xué)研究院 貴州 六盤水 553000)

黃紹書

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553004)

籃球可以看成是質(zhì)量均勻分布的球殼,雖然其形變尺度比較顯著,但在一些特定運(yùn)動(dòng)過程中,是可以從剛體或準(zhǔn)剛體的角度進(jìn)行分析的.籃球運(yùn)動(dòng)過程是比較復(fù)雜的,往往既有平動(dòng),又有轉(zhuǎn)動(dòng).籃球運(yùn)動(dòng)是最為普及的體育健身項(xiàng)目之一,這里來討論分析一下籃球運(yùn)動(dòng)中的幾個(gè)力學(xué)問題.

1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

根據(jù)

(1)

可知,求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,關(guān)鍵是結(jié)合實(shí)際剛體模型確定3個(gè)要素[1],即剛體質(zhì)元dm的表示式,質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離r的表示式,積分的下限r(nóng)0和上限r(nóng)s也就是積分范圍.對于如圖1所示的籃球,取其上半部來分析.

圖1 求籃球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

半徑為r處的圓環(huán),有

r=Rsinθ

(2)

(3)

(4)

以上各式中,m均為籃球質(zhì)量(下同),R均為籃球半徑(下同).

順便說明,若對于實(shí)心均勻球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,可以借助均勻圓盤對其對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式并結(jié)合圖1所示的圖示來進(jìn)行分析.這樣,半徑為r處的圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元為

(5)

而

r=Rsinθ

(6)

(7)

所以,實(shí)心均勻球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(8)

說明一下,這里在求解籃球和均勻?qū)嵭那蝮w的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量過程中的積分運(yùn)算時(shí),都直接應(yīng)用了

(9)

這個(gè)重要的數(shù)學(xué)公式.

2 轉(zhuǎn)動(dòng)角速度及其變化

在運(yùn)球行走中,籃球與地面碰撞的瞬間,由于地面的靜摩擦力對籃球的瞬時(shí)切向沖量矩,導(dǎo)致籃球旋轉(zhuǎn)或改變籃球的旋轉(zhuǎn)狀況.如圖2所示,籃球具有水平平動(dòng)速度vc,與地面碰撞瞬間受到地面沿水平方向的靜摩擦力f和豎直方向的作用力Fn(地面彈力和重力的矢量和)的共同作用.若籃球與地面的第一次碰撞使籃球獲得繞水平對稱軸(直徑)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω1,設(shè)籃球與地面的作用時(shí)間為Δt,那么

圖2 切向沖量矩使籃球旋轉(zhuǎn)

fRΔt=Jω1

(10)

即摩擦力對籃球的沖量矩等于籃球的動(dòng)量矩增量.所以

(11)

將式(4)代入式(10),得

(12)

籃球每次與地面碰撞,都會(huì)受到地面靜摩擦力的切向沖量矩.因此,籃球的轉(zhuǎn)速原則上會(huì)隨著運(yùn)球行走過程中(設(shè)手每次對籃球的作用力均保持豎直向下)籃球與地面碰撞次數(shù)的增加而增大.如果籃球每次與地面碰撞過程受力情況都相同,那么,第n次碰撞后籃球的角速度將變?yōu)?/p>

(13)

在實(shí)際情況下,由于空氣阻力作用等多重因素,籃球的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增大到一定程度后就不會(huì)繼續(xù)增大了.

一般地,有

(14)

式中fm為最大靜摩擦力,μm為最大靜摩擦因數(shù).

當(dāng)籃球的水平平動(dòng)速度和豎直平動(dòng)速度都比較大時(shí),籃球與地面碰撞的過程中,地面對籃球豎直方向的作用力Fn和靜摩擦力f都會(huì)很大,且靜摩擦力可達(dá)到最大靜摩擦力fm.這時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)角速度也是最大的,可能達(dá)到最大值.因此,結(jié)合式(14),可將式(13)改寫為

(15)

從式(15)可以看出,運(yùn)球行走過程中,籃球轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度與籃球的質(zhì)量無關(guān).

3 機(jī)械能的轉(zhuǎn)化

假定籃球以平動(dòng)速度vc從某一高度h0處無轉(zhuǎn)動(dòng)地水平拋出,讓籃球只在重力和地面作用力的作用下運(yùn)動(dòng).籃球初始時(shí)刻的機(jī)械能可表示為

(16)

與地面第一次碰撞后獲得轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω1.那么,根據(jù)機(jī)械能守恒定律,這時(shí)的機(jī)械能可表示為

(17)

(18)

根據(jù)前述分析,以后籃球每次碰撞,其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都將增大.仍假定每次碰撞過程籃球的受力情況都相同,那么,根據(jù)式(13),第n次碰撞后籃球的角速度為nω1.因此,籃球第n次反彈達(dá)到某一最高位置hn時(shí),其機(jī)械能表示式為

(19)

隨著碰撞次數(shù)n的逐次增加,反彈最大高度hn將逐次減小,而轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωn將逐次增大.當(dāng)hn減小到零時(shí),ωn達(dá)到最大值ωm,這時(shí)機(jī)械能表示式為

(20)

(21)

從式(21)可以看出,籃球的初始位置越高,籃球的半徑越小,最終獲得的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度就越大.需要說明,式(21)與式(15)的意義是不盡相同的.

綜上可以認(rèn)為:籃球只在重力和地面作用向前自由彈跳的過程,實(shí)際就是重力勢能逐次轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的過程.