數(shù)學思想方法在中學地理教學中的應用探析*

李 敏，顧永剛

（昆明市官渡區(qū)第六中學，昆明 650213）

推進跨學科綜合教學是我國基礎教育改革的重要方向和中小學新課程標準調整的重要內容。2019年，中共中央、國務院在關于深化基礎教育教學改革的舉措中提出要“探索基于學科的課程綜合化教學”。目前，在現(xiàn)實教育教學過程中仍然普遍存在學科間割裂、學科整合不夠的問題，導致學生在面對真實世界和情境時難以融合運用各學科知識綜合分析、解釋和解決問題，究其原因在于教師跨學科教學意識和方式缺失、跨學科能力不足、跨學科內容整合度不夠、跨學科思維和技巧方法缺乏。如何進行跨學科教學是當今基礎教育改革面臨的重要課題，基于學科的跨學科教育實踐是實現(xiàn)學科“大融合”的基礎和關鍵環(huán)節(jié)。為此很多教育科研人員和一線教師都進行了有益嘗試，《普通高中地理課程標準（2017 年版2020 年修訂）》中提到要“注重地理學科與其他學科的融合”，本文探討在中學地理教學中滲透數(shù)學思想方法的必要性、可能性、功用和策略，以期促進地理和數(shù)學學科教學的有機融合。

一、中學地理教學運用數(shù)學思想方法的必要性和可行性

1.必要性

就地理學科的發(fā)展而言，定量分析是現(xiàn)代地理學發(fā)展的重要方向和趨勢，定量化方法是現(xiàn)代地理學重要的方法論基礎?，F(xiàn)代地理學采用定性和定量相結合的方法對各種地理現(xiàn)象加以系統(tǒng)研究，以更好地解釋其內在機制和運行規(guī)律，并分析和預測未來演變，從而更好地為社會、經濟和人類發(fā)展服務。定量化可以用精確的判斷來彌補定性描述地理事象的不足，可以用抽象且反映本質的數(shù)學模型刻畫和推導具體的、復雜的地理現(xiàn)象和地理規(guī)律，可以通過對過程的模擬和預測替代僅對現(xiàn)狀的說明和分析［1］。20世紀60年代興起的計量運動對地理學的發(fā)展產生了深刻的影響，數(shù)學、計算機技術的應用極大地解決了地理“大數(shù)據(jù)”的存儲、系統(tǒng)分析和智能化等問題，為解決復雜的地理問題提供了強有力的支撐，也是GIS技術等地理信息技術的重要基礎。在中學地理教學中滲透數(shù)學思想方法可為學生以后深入學習和地理研究提供可持續(xù)性基礎。

就學生發(fā)展和人才培養(yǎng)而言，跨學科交叉融合是發(fā)展核心素養(yǎng)的新途徑，有利于發(fā)現(xiàn)新的探究方向、思路和方法，有助于激發(fā)創(chuàng)新活力［2］。數(shù)學是其他學科進行系統(tǒng)研究和開拓新理論的有效工具，應用數(shù)學知識分析地理問題、探究地理規(guī)律，既可增強學生綜合分析地理問題的能力和地理實踐力，又可培養(yǎng)其數(shù)學抽象、數(shù)學建模的能力和高階思維能力。例如，通過查閱文獻的方式獲取昆明城區(qū)面積、人口變化和各產業(yè)產值的數(shù)據(jù)，利用數(shù)學統(tǒng)計方法進行科學統(tǒng)計分析，通過數(shù)學運算、構造數(shù)列、取對數(shù)等數(shù)學手段將其轉化為各種需要的數(shù)據(jù)（如人口增長率、城區(qū)面積增長率），并繪制成各種統(tǒng)計圖表，使數(shù)據(jù)可視化；通過分析了解城區(qū)面積變化率、城區(qū)人口變化率以及各產業(yè)比重變化等地理要素之間的關聯(lián)程度；通過統(tǒng)計圖對比昆明建成區(qū)面積變化和城區(qū)人口數(shù)量變化的一致性，分析昆明市城市化的合理性，同時根據(jù)資料并結合實際調查，分析變化不一致年份出現(xiàn)的原因及影響；通過最小二乘法，算出城市化水平與非農業(yè)生產活動的線性回歸方程［3］，根據(jù)回歸方程可預測今后昆明市城市化水平和非農業(yè)比重的變化。通過讓學生完整參與整個探究過程，創(chuàng)新了地理教學中研究、探討問題的方法，使得學生在地理實踐中對城市化知識有更加深刻的理解。

另外，借助數(shù)學知識和邏輯推理可有效減少機械刷題，減輕記憶負擔，提高學習效率，契合“雙減”精神。例如，在等值線圖中計算任意兩點的值差（如等高線圖中兩地的高差和陡崖高度問題）只需要借助不等式同向相加的性質就能很好地避免記憶各種繁瑣公式。

2.可行性

數(shù)學與地理有著天然的“不解之緣”，在人類文明早期，數(shù)學主要是研究地表事物和現(xiàn)象的。數(shù)學是自然科學的語言，是研究自然規(guī)律的基本工具，對于具有自然科學屬性的自然地理而言，數(shù)學的工具性和重要性不言而喻，這在中學地理有關時間的計算、最短航距、等值線的特征、地圖比例尺、降水量的統(tǒng)計等知識中都有重要體現(xiàn)?！叭宋目茖W更應該奔向自然科學”，就是希望人文科學重視自然科學的科學邏輯嚴謹性和數(shù)學等方法論的運用［4］，人文地理借助數(shù)學思想方法能有效地探究地理要素之間的關系、地理要素的時間演化規(guī)律等問題。自然地理和人文地理要素的時空狀態(tài)都是基于特定地理空間、時間而言的，經緯度是地理學中應用的基本空間語言，經緯度—時間體系構成了討論地理事件空間分布及分析其之間關系和隨時間變化狀況的空間—時間語言，任何地理事象的空間和時間位置都可以用數(shù)學化的四維坐標系（x，y，z，t）來描述［5］，加之將地理屬性進行數(shù)學化處理后，可以用幾何和函數(shù)等數(shù)學語言、數(shù)學模型對地理要素分布、地理要素間的聯(lián)系、地理要素演變規(guī)律進行刻畫與分析。因此，中學生具備必要的數(shù)學基礎和思維能力，利用數(shù)學思想方法探究地理問題是可行的。

二、中學地理教學中數(shù)學思想方法的運用領域

1.獲取和處理地理數(shù)據(jù)

地理事象可以用地理數(shù)據(jù)表征，包括空間數(shù)據(jù)和屬性數(shù)據(jù)。在地理實踐過程中通常難以獲取地理對象的所有數(shù)據(jù)，需要針對地理對象的特征采用合理的抽樣方法獲取樣本數(shù)據(jù)，以保證樣本數(shù)據(jù)能科學、準確地反映總體狀況。例如，要了解游客對云南民族村旅游產品的需求，可采用簡單隨機抽樣的方式進行現(xiàn)場訪問；要獲取某晴日的太陽高度變化數(shù)據(jù)，可采用系統(tǒng)抽樣的方式在相等時間間隔進行測量；要調查昆明西山植被高度與水熱條件、土層深度的關系，需要根據(jù)不同海拔的植被類型采用分層抽樣的方法進行。地理數(shù)據(jù)為地理事實和抽象的數(shù)學之間搭建起了橋梁，地理數(shù)據(jù)經過數(shù)學化處理后通過統(tǒng)計整理、計算和數(shù)學分析可獲得某些地理特征或規(guī)律，如利用方差等統(tǒng)計數(shù)值特征，利用坐標圖等可視化統(tǒng)計圖或數(shù)學相關分析反映地理事象的分布、變化或關系。通過獲取和處理地理數(shù)據(jù)的過程，可有效培養(yǎng)學生的地理實踐力和數(shù)學運用等關鍵能力。

2.表達和解釋地理事象

首先，地理學中很多概念是可以用數(shù)學來定義的，如用二面角的平面角定義經度，用線面角定義緯度和太陽高度，用集合定義等值線或等值面，用韋恩圖表示自然資源、自然災害的概念和特性等。其次，有些地理事物、地理現(xiàn)象和地理規(guī)律可用簡潔、精準的數(shù)學式表達，如正午太陽高度的計算公式、時間的相關計算、人口自然增長率等。這些表達式可通過構建一定的數(shù)學模型進行推導得出，并能夠解釋相關的許多地理事物或現(xiàn)象。例如，太陽直射點的移動規(guī)律可通過五點法作圖繪制出的正弦函數(shù)表示，相關聯(lián)的很多地理現(xiàn)象和規(guī)律又可比照三角函數(shù)的性質（值的分布、單調性、周期性、對稱性）進行解釋：Y 軸正半軸表示太陽直射北半球、Y 軸負半軸表示太陽直射南半球；增區(qū)間表示太陽直射點向北移動、減區(qū)間表示太陽直射點向南移動；太陽直射點回歸運功的最小正周期為一回歸年；關于軸對稱（夏至日、冬至日）的兩個日期太陽直射在同一半球同一條緯線，關于中心對稱（春分日、秋分日）的兩個日期太陽直射在不同半球緯度相同的緯線等（圖1）。這為理解和解決晝夜長短、正午太陽高度、日出日落方位等問題提供了便利。另外，借助數(shù)學知識和思維可幫助學生理解和解釋地理事物或現(xiàn)象，例如，等太陽高度線呈同心圓分布以及等值線的分布與地理實體之間的轉換可以用數(shù)學中的投影和三視圖進行呈現(xiàn)和解釋。

圖1 太陽直射點的回歸運動

3.歸納和演繹地理規(guī)律

歸納法和演繹法是研究、推導地理規(guī)律和地理原理的常用方法，也是數(shù)學中基本的邏輯方式。借助數(shù)學思維方法采用歸納法和演繹法可豐富地理探究的手段、拓展探究的廣度及深度。例如，利用數(shù)學歸納法可得到時區(qū)中央經線經度的計算公式。再如，根據(jù)正午太陽高度的計算公式H=90°-｜φ地-φ直｜（規(guī)定地表任意一點φ地和太陽直射點的緯度φ直北半球為正，南半球為負；φ地表示空間—緯度，φ直表示時間—季節(jié)）演繹推導正午太陽高度的空間和時間變化規(guī)律：當｜φ地-φ直｜=0°時，即φ地=φ直時H 取得最大值，由此可知，地表離太陽直射點越近或太陽直射點離地表某地越近，正午太陽高度越大；φ直固定，即時間確定時，H=90°-｜φ地-φ直｜表示H 關于φ地函數(shù)（絕對值函數(shù)，可寫成分段函數(shù)的形式），進而可從一次函數(shù)的視角研究正午太陽高度的空間（緯度）變化規(guī)律，并根據(jù)函數(shù)表達式繪制出二分二至日正午太陽高度的緯度分布圖；φ地固定，即地點確定時，H=90°-｜φ地-φ直｜表示H關于φ直函數(shù)，進而可從一次函數(shù)的視角研究正午太陽高度的時間（季節(jié)）變化規(guī)律，并且可根據(jù)數(shù)學中的分類討論思想分熱量帶繪制出正午太陽高度的年變化圖。利用數(shù)學歸納法、演繹法和傳統(tǒng)定性分析相結合的方法更加有利于學生探究地理問題和培養(yǎng)學生的高階思維能力。

4.分析和解決地理問題

利用數(shù)學思想方法解決地理問題在中學階段主要表現(xiàn)為兩方面：①直接運用數(shù)學思想方法分析地理問題，常見的有地理計算、地理圖表分析等；②采用構建數(shù)學模型的方式解決地理問題，常用于較復雜的地理情境、較深入的地理探究和地理實踐中。從數(shù)學視角解決地方時的計算、太陽高度的計算、經緯度定距、比例尺、地理估算等問題能讓思維更開闊、問題更簡化，如利用分類討論思想分析不同緯度地區(qū)正午太陽高度的變化幅度問題會讓人豁然開朗。地理圖表實質是將地理數(shù)據(jù)進行數(shù)學化圖像表達，其中往往隱含著豐富的地理知識，用數(shù)學視角審視這些圖表有助于挖掘出豐富的信息和規(guī)律，可通過運用函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、線性規(guī)劃、概率與統(tǒng)計等數(shù)學知識分析圖表中的最值、極值、拐點、變化趨勢、變化率等特征并聯(lián)系、映射地理現(xiàn)象來實現(xiàn)。

運用數(shù)學建模的方式探究、解決地理問題是高層次的思維活動，也是地理和數(shù)學跨學科有機融合的上佳方式和較為精彩的內容，對于創(chuàng)新地理探究方法和思維有著重要意義。不同的地理問題可通過選擇合適的數(shù)學知識建模處理（表1），例如，分析兩個地理要素的相關性及關聯(lián)程度可用相關系數(shù)知識構建反映兩者數(shù)量關系的數(shù)學（線性回歸）模型，對于指數(shù)型、冪函數(shù)型、對數(shù)型等非線性關系的地理要素可通過取對數(shù)、整體代換、倒數(shù)代換等方式將其轉化為線性關系構建線性模型。

表1 常見高中地理問題的數(shù)學處理方法

三、中學地理教學中運用數(shù)學思想方法的路徑

1.以大概念為統(tǒng)領，注重思維邏輯的鏈接

大概念是能反映知識結構、學科本質和核心思想方法的概念，具有抽象性、概括性、普遍性、統(tǒng)攝性、可遷移性等特點，在整個知識體系和概念體系中居于上位［6］。大概念根據(jù)概括程度從高到低可分為哲學大概念、跨學科大概念和學科大概念等層級。哲學大概念抽象程度和概括程度最高，它將客觀世界看作一個整體和系統(tǒng)，為我們提供基本的世界觀、價值觀、方法論和認識論，指導我們的思想觀念和思維活動；跨學科大概念是各個學科共通的大概念，它建立了學科之間的聯(lián)系，有利于打破學科之間的界線，也為學科鏈接和融合提供了思維紐帶和邏輯結點；學科大概念聯(lián)結學科內的基本概念，融通學科內知識，揭示學科基本規(guī)律及探究世界的基本思維方法。大概念的層級關系有利于自上而下厘清問題邏輯線路，為跨學科融合掃清思維障礙和提供方法路徑。以太陽高度的教學為例，要深入探究其變化規(guī)律應以“世界是運動變化的”這一基本宇宙觀、“運動變化是有規(guī)律的，規(guī)律是可認識的”這一認識論、“我們要尊重規(guī)律，善用規(guī)律改造世界”這一價值觀以及“從特殊到一般，從一般到特殊”這一方法論的哲學大概念為邏輯起點和思維指引，然后以“對應、關系、變化”和“歸納法、演繹法”等跨學科大概念為紐帶找出與太陽高度、正午太陽高度（變化）相關的因素，并用“函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中運動變化現(xiàn)象最基本的數(shù)學語言和工具”等數(shù)學大概念對相關地理要素構建函數(shù)模型進行表征（即用函數(shù)表征“地理分布”“地理聯(lián)系”“地理過程”），最后用函數(shù)圖像、函數(shù)的性質（定義域、值域、單調性、對稱性、周期性）、函數(shù)類型等數(shù)學基本概念探究太陽高度、正午太陽高度的變化規(guī)律（圖2）。

圖2 大概念的層級關系（以函數(shù)與太陽高度為例）

2.以知識融合為基礎，強化學科間的關聯(lián)

不同學科是對同一客體從不同角度或對同一系統(tǒng)的不同構成部分進行認識和刻畫的，它們都指向我們生活的真實世界。學科知識從某個角度或領域對真實世界進行詮釋和經驗總結，跨學科的視角更有利于認識這個真實世界。對于高中階段而言，實現(xiàn)跨學科思維培養(yǎng)的起點和關鍵點就在于以學科為基礎的學科間知識的有機融合。中學地理學科和數(shù)學學科的知識融合主要表現(xiàn)為知識內容的融合和思想方法的滲透，自然地理很多知識直接和數(shù)學知識相關聯(lián)，如地球運動和地圖（表2）；人文地理則主要是將數(shù)學作為一種工具，利用其思想方法對地理要素進行處理、分析、趨勢模擬與預測，如利用數(shù)學方法分析人口相關圖表或構建數(shù)學模型分析人口增長、人口遷移的規(guī)律和趨勢。地理和數(shù)學學科知識融合的主陣地在課堂，實現(xiàn)方式主要有兩種：①在地理課堂中應用數(shù)學知識和數(shù)學思想方法，這需要地理教師具有較強的應用數(shù)學的意識和能力；②在數(shù)學課堂中將地理問題設置成數(shù)學情境進行解決，這需要加強學科協(xié)同合作。前者主要是針對概念性、原理性和應用性且不需要復雜的數(shù)學知識和耗時不多的地理問題，如正午太陽高度計算公式的推導及應用、地理統(tǒng)計圖的分析；后者主要是針對拓展性的、需要運用復雜數(shù)學知識方法解決、思維層次要求高、耗時較長的地理問題，如最短航距的計算公式、晝長的計算公式（用緯度表達）等。

表2 地球的運動（含地圖）知識與數(shù)學知識的關聯(lián)

3.以問題解決為導向，掌握探究世界的科學方法

學生在教育教學中的主體性地位反映在學生應成為生活世界的探索者，而不僅僅是知識的接納者。學生在感知、認識和探究生活世界的過程中，往往是將世界作為一個整體，不斷構建生活世界的內在模型，這需要將各科知識融為一個有機整體不斷地建構指向他們生活的意義世界［9］，即在探究世界的過程中需要不同學科有機融合、穿插使力。就知識水平和思維層次而言，中學生還難以獨自深入探索世界，因此，需要針對明確的主題和目標設計階梯性、導向性的問題幫助他們掌握探究世界的科學方法。問題的設計需要情景化，搭建溝通生活世界和科學世界的橋梁；需要情感化，在探究和解決問題的過程中健全人格品質和形成正確的價值觀念；要有指引性和層次性，通過由淺入深、由具體到抽象、由生活到理論再到實踐的問題鏈構建問題解決的思維路徑，感悟探究世界的方法和意義，最終達成知識結構化和思維進階。在整個問題解決的過程中要注意跨學科知識的運用，做到按需所取、按需所用、適時而用，達到“無招（學科差別）勝有招”的境界。探究世界的科學方法可分為“有什么”“怎么辦”“怎么樣”和“怎么用”等問題（圖3）。“有什么”是對現(xiàn)實生活世界的體驗、觀察和關注，進而引發(fā)思考；“怎么辦”是采用適切的手段、方法對我們所關注的世界進行探究，對探究對象構建合適的模型進行合理表征；“怎么樣”是根據(jù)構建的模型探究內在規(guī)律，達成認識升華；“怎么用”是深刻認識探究對象對自然和人文環(huán)境的影響，利用規(guī)律對世界進行合理改造，從而為人類的生產生活服務，并從中感知探究世界的現(xiàn)實意義，增強探究世界的成就感。

圖3 探究世界的科學方法（以正午太陽高度為例）

以探究“正午太陽高度的變化”為例，可進行如下思路設計：感受每日太陽光照（太陽輻射）強弱變化帶來的氣溫暖涼變化和一年中太陽光照強弱變化帶來的氣候冷熱變化（有什么），思考太陽光照強弱日變化和年變化的原因和規(guī)律；在田徑場讓學生觀察人、影和太陽的關系及其變化，引導學生發(fā)現(xiàn)光照強弱可用太陽光線與影子（地平面）的夾角（線面角）這一數(shù)學概念表征（表征的方式很多，選擇最好、最能揭示本質的），進而引出太陽高度與正午太陽高度的概念，這樣一日光照強弱的變化可用太陽高度表征，一年光照強弱的變化可用正午太陽高度表征，然后根據(jù)定義在太陽光照圖上畫出正午太陽高度（相當于圖紙），并制作出正午太陽高度的演示模型（圖4），制作時需要用到平行四邊形判定定理保證演示過程中太陽光線平行），通過演示模型觀察正午太陽高度角的變化與地表緯度位置和太陽直射點的緯度位置有關，據(jù)此讓學生利用數(shù)學知識推出正午太陽高度與地表緯度和太陽直射點的緯度的關系式，從而構建出正午太陽高度的函數(shù)模型，注意這里并不是直接給出正午太陽高度的計算公式，而是引導學生自己探究（怎么辦）；根據(jù)正午太陽高度的函數(shù)模型和函數(shù)的相關知識，分析、演繹推理正午太陽高度的緯度變化和時間變化規(guī)律（怎么樣），這個過程可結合定性演示的方法進行；通過分析我國冬、夏季南北溫差差異產生的原因（大尺度）和陰陽坡因地面太陽高度的差異造成的熱量差異、一日中太陽高度變化引起的溫涼變化（微觀尺度）理解太陽高度的影響，通過分析日晷原理、傳統(tǒng)民居飛檐采光、太陽能板傾角等問題了解太陽高度在生活中的廣泛運用，通過2022 年全國高考甲卷“杭蓋草原緩丘牧草生長較好”和2020 年全國高考Ⅰ卷“順坡壟利用光照的優(yōu)勢”等高考試題進一步深入感受太陽高度的影響和應用（怎么用）。在上述教學設計中，學生不僅具有學習者的身份，更有科學家和探索者的身份，在此過程中數(shù)學思想方法的滲透和跨學科思維的運用貫穿始終。

圖4 正午太陽高度變化演示模型

在中學地理教學中滲透數(shù)學思想方法是對“基于學科的課程綜合化教學”的有益探索和嘗試，在遵循地理學科基本規(guī)律的基礎上，使不同學科知識、方法、理論和思想相互滲透，為地理課程的教與學提供了新途徑，加強了學科的綜合性，優(yōu)化了學科之間的關系，有利于提升學生綜合運用多學科視角、方法和思維探索世界和解決重大復雜問題的能力。