非局域超表面微分器的逆向設(shè)計

秦浩然，寇君龍，朱家榮，周子昕，王軍轉(zhuǎn)，陳召憲，陸延青

（1 四川大學(xué) 物理學(xué)院，成都 610065）

（2 南京大學(xué) 集成電路學(xué)院，蘇州 215163）

（3 南京大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210093）

（4 蘇州大學(xué) 機電工程學(xué)院，蘇州 215021）

（5 南京大學(xué) 現(xiàn)代工程與應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，南京 210093）

0 引言

微分器可以視為高通濾波器，能夠濾除信號中的直流分量與低次諧波分量，提取并增強其中的高次諧波分量?？臻g微分器提取和增強的信息對應(yīng)的是入射圖像的邊緣［1］。邊緣提取與增強技術(shù)在數(shù)據(jù)壓縮、缺陷檢測等應(yīng)用中有著不可或缺的作用［2］，在過去幾十年，一直是熱門的研究課題［1-6］。

與電路相比，用光作為傳輸載體的空間微分器在速度、功耗與可靠性方面具有很大的優(yōu)勢［7］。然而，用傳統(tǒng)的光學(xué)介電透鏡構(gòu)成的空間微分器在準確性與邊緣識別效果方面仍然不盡如意，歸根到底是因為它們龐大的體型使得光在反射過程中產(chǎn)生的損耗和球型表面引起的像差不可忽略，此外，光還存在著衍射極限［8］。亞波長尺度的光學(xué)超表面能夠突破傳統(tǒng)光學(xué)透鏡的上述限制。通過定制光在傳播過程中的路徑與振幅和相位等參數(shù)的變化［9］，研究人員設(shè)計了大量能夠精確實現(xiàn)空間微分運算的結(jié)構(gòu)［1-6，10-13］。通過有意地擾動一個過調(diào)制的隨機散射系統(tǒng)，SOL J 等［4］設(shè)計了一種超表面解碼矩陣來執(zhí)行可編程的高階微分，該系統(tǒng)表現(xiàn)出高保真度和靈活性。此外，ZHOU J 等［13］提出了一種基于幾何相位超表面實現(xiàn)空間微分的機制，通過實驗驗證了所設(shè)計結(jié)構(gòu)的高光學(xué)效率和高帶寬。

上述成果具有開創(chuàng)性，特別是在一些性能指標上令人振奮。但這些設(shè)計策略往往只關(guān)注于某個特定的應(yīng)用場景，而忽略了其通用性。為了彌補這一缺點，我們將優(yōu)化算法與光學(xué)非局域超表面的逆向設(shè)計相結(jié)合［14-16］。通過確認目標、優(yōu)化結(jié)構(gòu)、驗證功能等設(shè)計步驟［17］，充分利用超表面各個像素間的相互作用［16］，可以實現(xiàn)各種運算邏輯［16，18-23］。EGOROV V 等［19］利用遺傳算法優(yōu)化圓柱體磁盤的半徑，實現(xiàn)了一個帶寬大，效率高的光偏轉(zhuǎn)器。此外，CAI H 等［16］利用遺傳算法，優(yōu)化圓柱體元透鏡的半徑分布使其相互耦合，擬合對應(yīng)結(jié)構(gòu)的相位輪廓，實現(xiàn)了一個效果好且厚度薄的非局域聚焦透鏡。

受以上研究的啟發(fā)，本文利用遺傳算法完成了兩個超表面光學(xué)器件的逆向設(shè)計，使其分別能夠?qū)崿F(xiàn)一維二階空間微分和拉普拉斯變換。設(shè)計中，對非局域超表面的材料分布進行優(yōu)化，使其傳遞函數(shù)接近設(shè)計目標，即入射角和透過率之間滿足二次函數(shù)關(guān)系，進而實現(xiàn)二維空間微分運算［8］。

一維二階微分器的優(yōu)化效果很顯著，最優(yōu)解與理論解傳遞函數(shù)之間的誤差隨著迭代的進行逐漸下降（從1.16×10-1下降到6.18×10-5）。當入射角小于10°時，兩者高度吻合。在拉普拉斯變換器優(yōu)化過程中，最優(yōu)解的傳遞函數(shù)與理論解之間存在一定的差距。由于算法本身收斂速度快，得到的解可能是局部的最優(yōu)解。驗證發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)仍具有空間微分與邊緣識別的功能，因此，本文提出的逆向設(shè)計方法具有很強的通用性與容錯率。

1 一維二階微分器

1.1 基本原理

在一維情況下，假設(shè)光沿x方向進行空間微分運算，f（x）表示入射波沿x軸的電場分布，g（x）表示光通過超表面后透射波的電場分布。g（x）與f（x）之間的關(guān)系為

式中，（I）FT 代表（逆）傅里葉變換，H（kx）代表超表面的傳遞函數(shù)，即以波矢量（kx）為自變量的透過率。當H（kx）與kx2成正比時，根據(jù)式（1）可知g（x）等于f（x）的二階導(dǎo)數(shù)乘以一個負系數(shù)?？紤]到入射角和波矢量在數(shù)值上相等，傳遞函數(shù)等價于入射角和透過率之間的關(guān)系。因此當傳遞函數(shù)接近二次函數(shù)時，就可以實現(xiàn)二階微分運算［8］。由于此時透過率與波矢有關(guān)，該結(jié)構(gòu)必然要利用超表面各像素間的電磁耦合，因而是非局域超表面［24］。

1.2 建模

整個微分器模型由方形排列的周期性晶胞單元組成，每個晶胞單元如圖1（a）所示，其中藍色代表二氧化硅，紅色代表硅，灰色代表空氣，周期D=400 nm。晶胞單元包括二氧化硅襯底和其上厚度h=160 nm 的超表面。每個超表面包含10×10 個獨立像素，其中每個像素都由空氣或硅構(gòu)成。為提高優(yōu)化效率，我們將超表面的材料分布設(shè)置為關(guān)于y軸對稱，在這樣的約束下得到的傳遞函數(shù)也是對稱的。值得注意的是，仿真時為提高運算速度，將x和y方向的網(wǎng)格尺寸都設(shè)置為10 nm，小于像素的邊長（40 nm）。因此，實際的材料分布需由折射率檢測器確認。將波長為730 nm 的平面波入射到超表面上，功率探測器放置在超表面下方以監(jiān)測透射率。

圖1 不同運算狀態(tài)下的模型Fig.1 Models in different operating states

在初始狀態(tài)下，入射波的偏振方向沿x軸，入射方向沿z軸反方向。然后在xoz平面上以入射波中央為中心順時針旋轉(zhuǎn)θ，使入射角等于θ，如圖1（b）所示，其中θ等于15°。此外，對于在y方向上進行微分的場景，我們只需要將入射平面波的初始偏振方向更改為沿y軸，旋轉(zhuǎn)平面更改為yoz平面，如圖1（c）所示。為了實現(xiàn)二階微分，傳遞函數(shù)應(yīng)接近二次函數(shù)。為了在保證優(yōu)化效果的同時盡可能減少計算時間，我們將目標函數(shù)（用FOM 表示）設(shè)置為

式中，T（θ）是當入射角等于θ時的透過率。FOM 的設(shè)置在簡便性與準確性之間取得了平衡：首先，模型只會有三種狀態(tài)（對應(yīng)θ等于0、5°和10°），相當于在所優(yōu)化的結(jié)構(gòu)對應(yīng)的傳遞函數(shù)和理論曲線上擬合了三個點；其次，為了讓T（0），即垂直入射時的透過率優(yōu)先趨近于0，將其乘以10 作為權(quán)重。只要入射角不是太大，就可以滿足入射角與透過率之間的二次函數(shù)關(guān)系，進而實現(xiàn)入射波和透射波場強分布之間的二階微分關(guān)系。對于入射角超過10°的情況，由于其不滿足傍軸近似的條件，通常不予考慮。此外，改變式（2）中0.1 和0.4 的值，可以擬合出具有不同前置系數(shù)的二次函數(shù)。

1.3 算法與迭代

為了減少迭代次數(shù)，本文選擇收斂速度更快的遺傳算法［25］。其基本流程［17］包括：1）編碼并生成初始種群：每個個體的超表面材料選擇對應(yīng)10×10 的二值化矩陣（其中0 代表空氣，1 代表硅），隨機生成10×10×20 的二值化矩陣作為初始種群（即第一次迭代的父代，其中20 為個體數(shù)）；2）交配：將20 個父代個體兩兩配對，交換其部分取值，生成子代；3）淘汰：計算每個個體的FOM，記錄其中的最小值，將父代和子代中一半適應(yīng)性更強（即FOM 更?。┑膫€體篩選出來，作為下一次迭代的父代。4）結(jié)束：重復(fù)2）和3）兩步，直到迭代次數(shù)達到預(yù)設(shè)值或最優(yōu)解的FOM 小于FOM 的預(yù)設(shè)值。

該算法連續(xù)性好，但多樣性較差，也就是說容易算出局部最優(yōu)解。為了加快迭代速度，這樣的犧牲是值得的。事實上，入射角和透過率之間并不一定要嚴格滿足二次函數(shù)關(guān)系，只要垂直入射時的透過率小于10-2，得到的器件結(jié)構(gòu)就具有一定的微分功能。由于該方法的高容錯率，并不需要算法本身具有很高的智能性。

使用此算法迭代至多50 代，每代包含20 個父代和20 個子代（通過代碼可以記錄下已經(jīng)計算過的結(jié)構(gòu)，避免沒有必要的重復(fù)運算）。每個個體的FOM 是使用時域有限差分法計算得到的。隨著迭代的進行，每個個體的FOM（以10 為底取對數(shù)以提高對比度，用lg（FOM）表示）及每次迭代的最優(yōu)個體的FOM（以10 為底取對數(shù)，用min［lg（FOM）］表示）分別如圖2（a）和圖2（b）所示，其中圖2（a）中每個色塊代表一個個體。

圖2 最優(yōu)解的折射率分布及其傳遞函數(shù)隨迭代次數(shù)增加的演化Fig.2 Evolution of refractive index distribution and transfer function of optimal solution as the iterations increase

在優(yōu)化過程中，某一次優(yōu)化所得最優(yōu)解的FOM 及其對應(yīng)的折射率分布如圖2（c）～（f）和表1 所示?？梢钥吹?，隨著迭代的進行，最優(yōu)解的FOM 從1.16×10-1逐漸下降到6.18×10-5。特別是入射角小于10°時，優(yōu)化后的傳遞函數(shù)更接近理論上的二次函數(shù)。

表1 最優(yōu)解隨迭代次數(shù)增加的演化Table 1 Evolution of optimal solution as the iterations increase

1.4 可靠性評估

實際制造中的誤差不可避免，特別是在周圍材料均與之不同的像素（又稱孤立像素）上，因此可靠性評估是必要的。在進行可靠性評估時，對上節(jié)中迭代次數(shù)為30 次時得到的最優(yōu)解對應(yīng)的材料分布進行適當更改后計算其目標函數(shù)或傳遞函數(shù)，并比較更改前后的結(jié)果。

設(shè)計了兩個可靠性評估。更改后的材料分布（其中更改的部分用紅框標出）及其對應(yīng)的傳遞函數(shù)如圖3所示。從中可以推斷出，在第一種更改下，傳遞函數(shù)仍然有二次函數(shù)的形狀，F(xiàn)OM 上升到了5.29×10-3；在第二種更改下，F(xiàn)OM 上升到了3.23×10-2，此時仍可以實現(xiàn)邊緣檢測的功能。

圖3 一維二階微分器的可靠性評估結(jié)果Fig.3 Reliability assessment of one-dimensional second-order differentiator

圖3（d）是超表面的切換圖分析結(jié)果［20］，其中每個色塊代表對應(yīng)像素單獨發(fā)生轉(zhuǎn)換（從空氣變成硅或反之）時，用轉(zhuǎn)換后的目標函數(shù)（用FOM_tog 表示）減去最優(yōu)解對應(yīng)的FOM（均以10 為底的對數(shù)）。從中可以看出所得結(jié)果均為正數(shù)，這說明轉(zhuǎn)換后的結(jié)構(gòu)均不如本文方法得出的最優(yōu)解。

1.5 功能驗證

為驗證得到的最優(yōu)解能否實現(xiàn)一維二階的空間微分，首先周期性地排列30×30個晶胞單元，并入射沿x方向偏振、沿z軸反方向入射的高斯波。圖4（a）和圖4（b）分別是入射波與透射波電場x分量的分布，圖4（c）是圖4（b）在y=0 處的截線。作為第二個驗證示例，用平面波替換高斯波，入射到30×15 個晶胞單元周期排列的器件結(jié)構(gòu)中間（四周沒有光波入射）。所得透射波的電場x分量分布如圖4（d）所示。

圖4 一維二階微分器的功能驗證Fig.4 Functional verification of one-dimensional second-order differentiator

從圖4（c）中可以看出，仿真得到的實際波形與理論波形，即高斯波的二階導(dǎo)數(shù)乘以一個負系數(shù)（-0.166 3）相似。可以推斷出，該超表面的能量轉(zhuǎn)換率略小于16.63%。此外，從圖4（d）可以看出，透射波在x方向上反映了入射波的輪廓，且一個輪廓對應(yīng)兩個峰值。因此，該結(jié)構(gòu)在x方向上實現(xiàn)了二階空間微分。

2 拉普拉斯變換器

為了證明本文提出的方法具有很強的通用性，本節(jié)采用類似的方式設(shè)計了一個拉普拉斯變換器。迭代時，需要計算入射波沿x軸和y軸極化時的透過率，分別對應(yīng)圖1（b）和圖1（c）中的模型。為了簡化運算，將超表面的材料分布設(shè)置為同時相對于x軸和y軸對稱。與式（2）類似，此時的目標函數(shù)（用FOM_xy表示）設(shè)置為

式中，Ti（θ）表示入射波的偏振方向沿i軸（i=x或y）且入射角等于θ時的透過率。在確定FOM_xy時，我們提高了垂直入射時透過率的優(yōu)先級，同時降低非垂直入射時透過率的目標取值以提高目標曲線的平滑度。我們使用與先前設(shè)計一維二階空間微分器相同的算法和參數(shù)來進行優(yōu)化。所得最優(yōu)解的材料折射率分布和傳遞函數(shù)分別如圖5（a）和圖5（c）所示，其中Tx（0）、Ty（0）和FOM_xy分別等于2.74×10-3、1.05×10-2和8.84×10-3。

圖5 拉普拉斯變換器的最優(yōu)解Fig.5 Optimal solution of Laplace transformer

對該最優(yōu)解進行可靠性評估。將x方向邊界處的孤立像素適當擴大（對應(yīng)工藝中沒有刻蝕完全），并比較更改前后的結(jié)果，如圖5（d）所示。更改后，F(xiàn)OM_xy上升到1.24×10-2，仍能實現(xiàn)邊緣檢測。需要注意的是，這種結(jié)構(gòu)只是一次優(yōu)化得到的最優(yōu)解，而不是算法的極限解。在圖5（b）所示的切換圖中，可以很容易地找到更好的解，其中FOM_xy_tog 表示轉(zhuǎn)換后的目標函數(shù)。

為驗證本文設(shè)計結(jié)構(gòu)確實具有識別圖像輪廓的功能，進行兩個仿真測試。首先，周期排列30×30 個晶胞單元，在整個器件結(jié)構(gòu)的中間入射偏振方向與x軸成45°角的平面波（四周沒有光波入射）。然后，使用鏤空的金屬銀作為入射平面波與50×40 個晶胞單元周期排列成的器件結(jié)構(gòu)之間的阻擋層，阻擋層僅允許一個“N”形狀空間分布的平面波通過。

第一個測試中得到的透射波電場的x和y分量分布分別如圖6（a）和圖6（b）所示，從中可以看出，透射波在入射波邊緣沿偏振方向出現(xiàn)尖峰，且一個邊緣對應(yīng)最大和最小兩個峰值。因此，該結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)拉普拉斯變換。兩個測試的電場強度的分布分別如圖6（c）和圖6（d）所示，從圖6（d）中可以很清晰地看出字母“N”的輪廓，且每一個邊緣對應(yīng)場強中的兩個峰值，其中斜線部分的輪廓是x和y方向上場強的重疊而成的。

圖6 拉普拉斯變換器的可靠性分析與功能驗證Fig. 6 The reliability assessment and functional verification of Laplace transformer

3 結(jié)論

利用遺傳算法優(yōu)化非局部超表面的材料分布，設(shè)計并驗證了一維二階微分器和拉普拉斯變換器。本文設(shè)計的結(jié)構(gòu)可用于識別和增強圖像輪廓，具有小型化和高速化的特點。該方法可以擴展到其他空間運算的設(shè)計，例如積分或空間濾波。考慮到該方法對算法本身和制造過程有著較低的要求和較高的容錯率，該方法在設(shè)計光學(xué)計算單元方面具有巨大的潛力。此外，可以將迭代過程中得到的所有材料分布及其傳遞函數(shù)一一對應(yīng)起來，形成一個數(shù)據(jù)庫，結(jié)合深度學(xué)習(xí)研究結(jié)構(gòu)參數(shù)與其電磁響應(yīng)之間的映射關(guān)系，進而代替時域有限差分法來完成逆向設(shè)計，進一步提高優(yōu)化效率。