多邊形內(nèi)角和問題之化繁為簡

夏明

求解多邊形內(nèi)角和問題，可將其轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和的知識，使復雜問題簡單化．

真題呈現(xiàn)

例1 （2022·四川·攀枝花）同學們在探索“多邊形的內(nèi)角和”時，利用了“三角形的內(nèi)角和”. 請你在不直接運用結(jié)論“n邊形的內(nèi)角和為（n - 2）·180°”計算的條件下，利用“一個三角形的內(nèi)角和等于180°”，結(jié)合圖形說明：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為540°．

解析：如圖1，連接AD，AC，把五邊形ABCDE的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為△AED，△ADC，△ABC的內(nèi)角和即可，則五邊形ABCDE的內(nèi)角和為540°．

變式演練

例2 閱讀材料：多邊形上或內(nèi)部的一點與多邊形各頂點的連線，將多邊形分割成若干個小三角形. 圖2給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個、3個、4個小三角形. 請你按照上述方法將圖3中的六邊形進行分割，并寫出得到的小三角形的個數(shù)．試把這一結(jié)論推廣至n邊形．

解析：圖2①是從一個頂點出發(fā)作所有對角線，對其進行分割；圖2②是連接其中一邊上的一個點和各個頂點，對其進行分割；圖2③是連接內(nèi)部的任意一點和多邊形的各個頂點，對其進行分割. 根據(jù)上述方法對圖3分別進行分割，如圖4所示，所分割成的三角形的個數(shù)分別是4個、5個、6個．

結(jié)合兩組特殊圖形，可以發(fā)現(xiàn)：第一種分割法把n邊形分割成了（n - 2）個三角形；第二種分割法把n邊形分割成了（n - 1）個三角形；第三種分割法把n邊形分割成了n個三角形．

例3 如圖5①所示，已知一個五角星ABCDE．（1）求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度數(shù)．（2）如圖5②所示，如果點B向下移動到AC上，求∠A + ∠EBD + ∠C + ∠D + ∠E的度數(shù)．（3）如果點B繼續(xù)向下，移到AC的另一側(cè)，如圖5③所示，（2）中的結(jié)果還成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出它的值． [A][B][G][C][H][F][E] [1][2][A][B][C][H][F][D][G][E][B][C][G][I][F][H][D][E][A][D][圖5][①][②][③]

解析：（1）如圖5①，∵∠BJF = ∠C + ∠E，∠BFJ = ∠A + ∠D，

又∵∠B + ∠BFJ + ∠BJF = 180°，∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°.

（2）如圖5②，∵∠A + ∠C = ∠DFH，∠EBD + ∠E = ∠DHF，

又∵∠DFH + ∠D + ∠DHF = 180°，∴∠A + ∠C + ∠EBD + ∠E + ∠D = 180°.

（3）結(jié)果仍成立.

理由：如圖5③，∵∠B + ∠D = ∠2，∠A + ∠C = ∠1，∠1 + ∠2 + ∠E = 180°，∴∠B + ∠D + ∠A + ∠C + ∠E = 180°.故結(jié)論都成立．

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：2分鐘

數(shù)學課上，老師在組織同學們探索多邊形的內(nèi)角和公式時，同學們提出了將此問題轉(zhuǎn)化為已學的三角形內(nèi)角和知識進行探索的思路. 圖6是四名同學探索多邊形內(nèi)角和公式時運用的不同的分割方法，將多邊形轉(zhuǎn)化為多個三角形，并得出了相同的結(jié)論. 這四名同學在探索過程中主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是（ ）．

A. 建模思想? B.分類討論思想? ? C.數(shù)形結(jié)合思想 D. 轉(zhuǎn)化思想

（作者單位：大連市第七十一中學）