基于數(shù)據(jù)包絡(luò)法和向量夾角余弦的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)

劉 萍，張 楠

（1.河南建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，河南 鄭州 450064；2.黃河水利科學(xué)研究院，河南 鄭州 450003）

近幾十年來，我國城市下墊面硬化面積急劇增加，加之極端天氣事件時(shí)有發(fā)生，使得一二線城市經(jīng)常出現(xiàn)“城中看海”“小區(qū)孤島”災(zāi)害情景［1］。據(jù)相關(guān)材料統(tǒng)計(jì)，1990—2019 年我國年均洪澇災(zāi)害直接損失高達(dá)1 522 億元［2］。為降低洪澇災(zāi)害損失，打造自然蓄水、自然滲透、自然凈化的海綿城市，提高城市抗洪澇能力，2015 年我國提出建設(shè)海綿城市，并選擇近30 個(gè)城市作為試點(diǎn)［3］。隨著首批海綿城市項(xiàng)目結(jié)束，開展海綿城市建設(shè)績效評價(jià)，總結(jié)海綿城市建設(shè)經(jīng)驗(yàn)，對于后續(xù)海綿城市建設(shè)具有重要指導(dǎo)意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)術(shù)界在海綿城市概念及規(guī)劃設(shè)計(jì)領(lǐng)域開展了深入討論。Pickett 等［4］重點(diǎn)討論前期設(shè)計(jì)階段對海綿城市排水的影響；Loperfido 等［5］研究了分布式雨水管理和集中式雨水管理對城市雨水徑流的影響，認(rèn)為分布式雨水管理更能改善城市雨水徑流，提升海綿城市排水能力。關(guān)于海綿城市建設(shè)績效評價(jià)，翟慧敏等［6］以鶴壁市海綿城市建設(shè)為例，提出層次分析法和物元可拓模型的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法；張涵等［7］詳細(xì)分析美國景觀績效評價(jià)中關(guān)于雨洪管理的成果，并結(jié)合國內(nèi)《海綿城市建設(shè)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》，整理匯總適合國內(nèi)海綿城市建設(shè)績效評價(jià)的指標(biāo)體系；盧金山等［8］分析了6 種常見的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法，并指出每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍；吳京戎等［9］以DPSIR 模型為基礎(chǔ)構(gòu)建海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)，采用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)動(dòng)態(tài)評價(jià)和預(yù)測海綿城市建設(shè)績效。為解決層次分析法賦權(quán)主觀性對評價(jià)結(jié)果的不利影響，付永飛等［10］提出層次分析法和熵權(quán)法組合賦權(quán)的方式確定指標(biāo)重要性，結(jié)合物元可拓模型評價(jià)海綿城市建設(shè)績效。為解決指標(biāo)模糊性問題，丁琨等［11］提出集對分析和可變模糊集的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法。綜合以上研究可知，德爾菲法、層次分析法、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)法、物元可拓法等常用的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法計(jì)算過程簡單，適用范圍廣，但評價(jià)結(jié)果較多建立在專家主觀評判合理、指標(biāo)信息充分的基礎(chǔ)上，評價(jià)過程缺乏數(shù)形結(jié)合，缺少直觀性。此外，海綿城市建設(shè)在我國起步較晚，缺乏實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)且理論體系不夠完善，增加了評價(jià)過程的不確定性和模糊性，使得其績效評價(jià)結(jié)果的客觀性不夠。已有研究成果表明［12－13］，海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)具有一定的灰色性，指標(biāo)信息不完整且以定性為主，而受制于專家主觀認(rèn)知能力差異和指標(biāo)信息不完整等因素，造成現(xiàn)有海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法難以解決專家主觀評判任意性、指標(biāo)灰色性對評價(jià)結(jié)果的干擾且評價(jià)過程不直觀等問題，無法確定影響海綿城市建設(shè)績效評價(jià)的敏感性指標(biāo)。因此，為了在指標(biāo)信息不充分、專家決策主觀性強(qiáng)的情況下提升指標(biāo)賦權(quán)的客觀性，更加真實(shí)地反映指標(biāo)重要性，需解決指標(biāo)信息不完整對指標(biāo)權(quán)重的干擾。數(shù)據(jù)包絡(luò)法作為生產(chǎn)效率評價(jià)模型，起初在效率評價(jià)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，王玲［14］將其引入指標(biāo)賦權(quán)領(lǐng)域，通過C2R 模型充分識(shí)別指標(biāo)完整信息，可在指標(biāo)信息不完整的情況下相較于層次分析法等主觀打分法更客觀地得到指標(biāo)權(quán)重。向量夾角余弦以空間幾何向量的形式描述目標(biāo)向量與理想向量的貼近度，通過計(jì)算兩者的夾角余弦值得到評價(jià)目標(biāo)等級，使得相對抽象和復(fù)雜的評價(jià)數(shù)據(jù)經(jīng)幾何模型轉(zhuǎn)換跳出數(shù)理模型本身，相較于數(shù)理方法評價(jià)過程更直觀、簡潔且契合人類思維邏輯，適用于多目標(biāo)、復(fù)雜性問題評價(jià)［15］。

基于此，本文提出基于數(shù)據(jù)包絡(luò)法（Data Envelopment Analysis，DEA）和向量夾角余弦（Vector Angle Cosine，VAC）的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法，試圖利用數(shù)據(jù)包絡(luò)法中C2R 模型計(jì)算指標(biāo)權(quán)重，降低主觀因素和指標(biāo)灰色性對權(quán)重的影響；同時(shí)利用向量夾角余弦方法計(jì)算評價(jià)目標(biāo)向量與理想向量的夾角余弦值，得到海綿城市建設(shè)績效等級，運(yùn)用單因素敏感性分析求得敏感性指標(biāo)。最后，以鶴壁市海綿城市建設(shè)為例進(jìn)行績效評價(jià)，并將評價(jià)結(jié)果與常見的績效評價(jià)方法所得結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文提出方法的科學(xué)適用性，以期為海綿城市建設(shè)績效管理提供可行性建議。

1 評價(jià)指標(biāo)的構(gòu)建

海綿城市建設(shè)是指城市能夠像海綿一樣，在發(fā)生內(nèi)澇災(zāi)害時(shí)能充分發(fā)揮吸水、滲水、蓄水等功能并將儲(chǔ)存的水釋放和利用。從海綿城市定義中不難看出，其包括雨水吸收調(diào)蓄和釋放利用2 個(gè)方面［16］。雨水吸收調(diào)蓄是指通過城市排水系統(tǒng)和雨水處理系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)雨水徑流總量和城市面源污染的源頭控制、過程傳輸、末端管理。在源頭控制方面，主要與水生態(tài)、水環(huán)境指標(biāo)相關(guān)，比如年徑流總量控制率、年均地下水位穩(wěn)定率等指標(biāo)；在過程傳輸方面，主要考慮供水管網(wǎng)漏損控制率、河流管渠溢流污染控制率；在末端管理方面，主要與污水控制率、飲用水達(dá)標(biāo)率、水環(huán)境質(zhì)量達(dá)標(biāo)率等關(guān)聯(lián)。雨水釋放利用指的是借助海綿城市建設(shè)為城市提供足量的水資源，主要包括水量和水質(zhì)2 個(gè)方面，與河湖水質(zhì)達(dá)標(biāo)率、水環(huán)境質(zhì)量達(dá)標(biāo)率、飲用水達(dá)標(biāo)率等相關(guān)。此外，海綿城市的建設(shè)制度及執(zhí)行情況關(guān)乎海綿城市建設(shè)資金來源、政策支持和建設(shè)質(zhì)量控制等方面，是不容忽視的指標(biāo)。結(jié)合《海綿城市建設(shè)績效評價(jià)與考核辦法（試行）》相關(guān)規(guī)定和文獻(xiàn)［1－10］成果以及已建成海綿城市情況，從水生態(tài)、水環(huán)境、水資源、水安全、制度建設(shè)與執(zhí)行、顯示度6 個(gè)維度構(gòu)建海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)體系?？紤]到各指標(biāo)量綱不同，對指標(biāo)值進(jìn)行歸一化處理，結(jié)合文獻(xiàn)［7］中關(guān)于海綿城市建設(shè)績效等級劃分的原則，本文將其劃分為5 個(gè)等級，詳見表1。

表1 海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)體系及其分級標(biāo)準(zhǔn)

2 評價(jià)方法

2.1 數(shù)據(jù)包絡(luò)法賦權(quán)

數(shù)據(jù)包絡(luò)法作為效率評價(jià)方法，主要應(yīng)用于投入和產(chǎn)出領(lǐng)域，用來評價(jià)投入效率［17］。經(jīng)過學(xué)者亢磊磊等［18］、李孟剛等［19］深入研究和改進(jìn)，將其創(chuàng)新運(yùn)用在指標(biāo)賦權(quán)方面，以決策單元輸入、輸出的權(quán)重為變量，利用線性規(guī)劃方法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重，權(quán)重的確定取決于客觀數(shù)據(jù)本身，相對于層次分析法、專家打分法等主觀賦權(quán)方法更具客觀性。此外，數(shù)據(jù)包絡(luò)法無須決策者對指標(biāo)信息深入了解，能夠巧妙解決指標(biāo)灰色性、不透明性難題，提高專家評估結(jié)果的準(zhǔn)確性［14］?？紤]海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)的主觀性和灰色性，采用數(shù)據(jù)包絡(luò)法求解指標(biāo)權(quán)重，可以在一定程度上解決指標(biāo)灰色性、決策數(shù)據(jù)主觀性對權(quán)重的干擾。

設(shè)指標(biāo)ai（1 ≤i≤n）的決策單元為DMUi（Decision Making Unit，DMU），組成矩陣MA。每一個(gè)決策單元DMUi有g(shù)個(gè)輸入變量和l個(gè)輸出變量，即xi＝（x1i，x2i，…，xgi）＞0，yi＝（y1i，y2i，…，yli）＞0。xij和yij分別表示DMUj的輸入和輸出變量。根據(jù)評價(jià)目標(biāo)對象不同，數(shù)據(jù)包絡(luò)法衍生出C2R、BC2、FG、ST 等若干種模型。其中，C2R 模型相對于其他幾種模型在整體有效性方面更具優(yōu)勢［20］，借鑒文獻(xiàn)［21-22］將C2R 模型轉(zhuǎn)化為顯性線性規(guī)劃模型。

式中：hi為指標(biāo)ai的權(quán)重向量；μT為μi的置換向量，μi為ai的剩余變量；pT為pi的置換向量，pi為ai的松弛變量；p為松弛變量，p＝th，h為指標(biāo)權(quán)重，t表示線性變換函數(shù)，t＝1/（hTxi），hT為權(quán)值的置換向量；μ為剩余變量。

C2R 模型作為多目標(biāo)效率評價(jià)模型，有嚴(yán)格的輸入和輸出變量區(qū)分，比如可將本金作為投入，利潤作為產(chǎn)出，而海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)難以嚴(yán)格劃分輸入和輸出兩種變量。參考文獻(xiàn)［19］中輸入和輸出變量劃分原則，令輸出變量為1，輸入變量為指標(biāo)規(guī)范化處理后的結(jié)果，得到輸出變量為1 的C2R 模型。

2.2 向量夾角余弦

海綿城市建設(shè)績效評價(jià)的主要目的是明確海綿城市建設(shè)績效等級，確定海綿城市建設(shè)績效的敏感性指標(biāo)，其本質(zhì)是計(jì)算評價(jià)目標(biāo)向量與理想目標(biāo)向量的貼近度。向量夾角余弦方法通過計(jì)算空間向量的余弦值大小，判定兩個(gè)主體的差異性，通過敏感性分析確定敏感性指標(biāo)，被廣泛運(yùn)用在效益和安全評價(jià)領(lǐng)域［23］。此外，作為一種檢驗(yàn)一致性的純數(shù)學(xué)方法，利用數(shù)學(xué)幾何思維，通過空間非零向量的夾角余弦值確定兩者的貼近度，相對于灰色關(guān)聯(lián)和TOPSIS 等方法，在直觀性和簡潔性方面具有突出優(yōu)勢［15］。因此，將向量夾角余弦引入海綿城市建設(shè)績效評價(jià)，兩者在方法論上具有一定的相通性。

利用向量夾角余弦將海綿城市建設(shè)績效評價(jià)問題從代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成空間幾何問題，通過數(shù)和形的轉(zhuǎn)化，可巧妙解決海綿城市建設(shè)績效評價(jià)的多指標(biāo)、多層級問題，并可從根本上克服因數(shù)據(jù)線性相關(guān)而難以計(jì)算的困難［24］。

1）設(shè)評價(jià)目標(biāo)向量Xi＝［xi1，xi2，…，xin］，理想目標(biāo)向量，評價(jià)目標(biāo)與理想目標(biāo)的夾角余弦為

2）考慮到海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)較多，為快速確定影響建設(shè)績效的敏感性指標(biāo)，為決策者提供可行性建議，提高決策效率，參考文獻(xiàn)［24］在向量夾角余弦計(jì)算中引入單因素敏感性分析，通過敏感性系數(shù)確定指標(biāo)敏感性。單因素敏感性分析指的是通過單一指標(biāo)變化而其他指標(biāo)均保持不變，來分析該指標(biāo)對評價(jià)目標(biāo)的影響程度［20］，常用敏感性系數(shù)α表示，其計(jì)算公式為

式中：ρi－Vj為去掉指標(biāo)Vj后的余弦值。

若α＞0，則指標(biāo)對評價(jià)目標(biāo)具有負(fù)向作用，構(gòu)成敏感性指標(biāo)；若α＜0，則對目標(biāo)具有正向作用，不構(gòu)成敏感性指標(biāo)。

3）對定性和定量指標(biāo)進(jìn)行初步處理，得到?jīng)Q策向量Xi＝［xij］。

4）指標(biāo)歸一化處理。將海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)劃分為成本型和效益型兩類（成本型指標(biāo)值越小越好，效益型指標(biāo)則相反），然后按照式（6）進(jìn)行無量綱化處理，得到新的向量＝［］。

結(jié)合數(shù)據(jù)包絡(luò)法得到的指標(biāo)最優(yōu)權(quán)重對新向量加權(quán)處理，得到加權(quán)矩陣Y。

5）確定理想目標(biāo)。令理想目標(biāo)為加權(quán)矩陣Y的最優(yōu)解，即取值1。

3 案例分析

以我國首批海綿城市建設(shè)試點(diǎn)之一的鶴壁市為例，運(yùn)用數(shù)據(jù)包絡(luò)法和向量夾角余弦對其進(jìn)行績效評價(jià)。按照規(guī)劃要求，鶴壁市2015—2017 年需建設(shè)落地317 個(gè)海綿城市項(xiàng)目，項(xiàng)目內(nèi)容包括河道整治、道路提升、雨污水分流改造等。通過對已建成的鶴壁市海綿城市建設(shè)績效評價(jià)，確定影響海綿城市建設(shè)績效的敏感性指標(biāo)，為后續(xù)其他海綿城市建設(shè)項(xiàng)目績效管理提供可行性建議。

3.1 指標(biāo)轉(zhuǎn)化

1）定性指標(biāo)。對于定性指標(biāo)采用專家投票打分法，參考五級評定原則確定重要性?？紤]到不同指標(biāo)的量綱不同造成無法計(jì)算，利用滿分為1 分制，根據(jù)重要性排序，每降低一個(gè)等級減少0.25 分，所有專家打分均值即指標(biāo)i最終得分εi。五級評定等級及對應(yīng)的分值見表2。

表2 五級評定等級及對應(yīng)的分值

2）定量指標(biāo)。對于定量指標(biāo)，按照等寬度區(qū)間法進(jìn)行無量綱化處理，即把最大值Tmax和最小值Tmin之間均分5 個(gè)區(qū)間L，則定量指標(biāo)區(qū)間為［Tmin，Tmin＋L），［Tmin＋L，Tmin＋2L，），［Tmin＋2L，Tmin＋3L），［Tmin＋3L，Tmin＋4L），［Tmin＋4L，Tmax］。

3.2 指標(biāo)權(quán)重計(jì)算

以A2維度的4 個(gè)指標(biāo)為例，參考經(jīng)典的9 標(biāo)度打分規(guī)則，得到判斷矩陣MA。

利用式（1）計(jì)算權(quán)重：

maxh41＝0.231，maxh42＝0.387，maxh43＝1，maxh44＝0.277，其值均小于等于1，表明專家決策數(shù)據(jù)科學(xué)，無須重新測算。

同理，一級指標(biāo)最優(yōu)權(quán)重：h?＝（0.173，0.235，0.217，0.203，0.168，0.094）。二級指標(biāo)最優(yōu)權(quán)重：h?1 ＝（0.311，0.283，0.185，0.311）；＝（0.326，0.238，0.279，0.157）；h?3 ＝（0.423，0.346，0.231）；＝（0.189，0.267，0.174，0.235，0.135）；＝（0.195，0.193，0.323，0.289）。

3.3 向量夾角余弦

1）利用式（6）處理指標(biāo)初始數(shù)據(jù)，得到向量X′i；然后與指標(biāo)最優(yōu)權(quán)重合成，利用式（7）得到加權(quán)矩陣Y。Y＝［0.654，0.324，0.543，0.658，0.973，0.695，0.735，0.485，0.864，0.694，0.684，0.853，0.749，0.925，0.848，0.849，0.863，0.784，0.736，0.698，0.465，0.439，0.563，0.764］T。

2）利用向量夾角余弦方法計(jì)算評價(jià)目標(biāo)與理想目標(biāo)相似度之前，應(yīng)明確理想向量X?，參考文獻(xiàn)［23］中理想向量選擇的原則，結(jié)合項(xiàng)目實(shí)際情況，取各指標(biāo)值為1，則有：X?＝［1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1］T。

3）計(jì)算向量夾角余弦值。利用式（4）計(jì)算向量夾角余弦值：ρ＝cos〈X，X?〉＝0.512。參考表1 得出鶴壁市海綿城市建設(shè)績效等級為Ⅲ級，屬于中等。該結(jié)論與鶴壁市海綿城市建設(shè)中期國家發(fā)展改革委考核結(jié)果基本一致。

4）為進(jìn)一步挖掘海綿城市建設(shè)績效的敏感性指標(biāo)，為管理者提供更具針對性的決策參考依據(jù)，利用式（5）計(jì)算指標(biāo)敏感性系數(shù)，結(jié)果見圖2。

圖2 指標(biāo)敏感性系數(shù)

5）結(jié)果分析。由圖2 可知：A14城市熱島效應(yīng)緩解情況、A21河湖水質(zhì)達(dá)標(biāo)率、A31污水再生利用率、A43污水控制率、A52藍(lán)線綠線劃定合理性等5 個(gè)指標(biāo)的敏感性系數(shù)大于0，表明這5 個(gè)指標(biāo)對海綿城市建設(shè)績效影響較大，構(gòu)成敏感性指標(biāo)。

6）不同方法對比驗(yàn)證分析。為驗(yàn)證本文提出的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法的優(yōu)勢和評價(jià)結(jié)果的合理性，在賦權(quán)方法上選擇與層次分析法對比，在結(jié)果直觀性方面選擇與灰色關(guān)聯(lián)法對比，同時(shí)采用績效評價(jià)領(lǐng)域經(jīng)典的模糊數(shù)學(xué)理論綜合評價(jià)鶴壁市海綿城市建設(shè)績效，結(jié)果見表3（其中實(shí)際值取自國家發(fā)展改革委對鶴壁市海綿城市建設(shè)績效考核的結(jié)果）。

表3 不同績效評價(jià)方法的評估結(jié)果及誤差對比

由表3 可知：4 種評價(jià)方法結(jié)論基本一致，驗(yàn)證了數(shù)據(jù)包絡(luò)和向量夾角余弦方法運(yùn)用于海綿城市建設(shè)績效評價(jià)是可行的。從相對誤差來看，數(shù)據(jù)包絡(luò)和向量夾角余弦方法相對誤差僅為1.73%，小于其他3 種方法的相對誤差值，表明該方法的計(jì)算結(jié)果與鶴壁市海綿城市建設(shè)績效實(shí)際情況更為貼近，且向量夾角余弦相對于灰色關(guān)聯(lián)法更加直觀和簡潔地展示了計(jì)算過程，數(shù)據(jù)包絡(luò)法能有效規(guī)避專家決策的主觀性和指標(biāo)信息不完整帶來的結(jié)果失真，提升了評價(jià)結(jié)果的科學(xué)性。另外，層次分析法認(rèn)為城市熱島效應(yīng)緩解情況、河湖水質(zhì)達(dá)標(biāo)率、污水再生利用率、污水控制率、藍(lán)線綠線劃定合理性在同級別指標(biāo)中所占權(quán)重較大，與單因素敏感性分析結(jié)果相符，證明了單因素敏感性分析結(jié)果的科學(xué)性。

4 結(jié)論

1）本文建立了基于數(shù)據(jù)包絡(luò)法和向量夾角余弦的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法，對鶴壁市海綿城市建設(shè)績效進(jìn)行評價(jià)，并與模糊層次分析法、灰色關(guān)聯(lián)法、層次分析和向量夾角余弦法所得的評價(jià)結(jié)果對比分析。實(shí)例證明，本文提出的方法與常用的海綿城市建設(shè)績效評價(jià)方法所得結(jié)論基本一致，且相對誤差值較另外3 種方法更小，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)包絡(luò)法和向量夾角余弦運(yùn)用在海綿城市建設(shè)績效評價(jià)中具有可行性，且結(jié)果更合理。

2）利用向量夾角余弦方法計(jì)算評價(jià)目標(biāo)向量與理想目標(biāo)向量的貼近度，通過空間幾何的形式更加直觀地確定目標(biāo)等級。結(jié)果表明，鶴壁市海綿城市建設(shè)績效等級為Ⅲ級，屬于中等水平。根據(jù)敏感性分析結(jié)果可知：城市熱島效應(yīng)緩解情況、河湖水質(zhì)達(dá)標(biāo)率、污水再生利用率、污水控制率、藍(lán)線綠線劃定合理性5 個(gè)指標(biāo)構(gòu)成海綿城市建設(shè)績效評價(jià)敏感性指標(biāo)。

3）利用數(shù)據(jù)包絡(luò)法中C2R 模型計(jì)算指標(biāo)權(quán)重，相對于層次分析法較好地降低了專家主觀因素和指標(biāo)灰色性對權(quán)重計(jì)算的不利影響，提升了指標(biāo)賦權(quán)的科學(xué)性。但是，考慮到海綿城市建設(shè)績效評價(jià)指標(biāo)的復(fù)雜性，單一賦權(quán)方法難免偏頗，在后續(xù)指標(biāo)賦權(quán)時(shí)可根據(jù)指標(biāo)情況，適當(dāng)采取組合賦權(quán)的方式，進(jìn)一步提升賦權(quán)的合理性。