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    探索三角形全等的條件

    2023-09-29 07:34:18趙維坤正高級教師江蘇省特級教師
    初中生世界 2023年34期
    關(guān)鍵詞:三邊高級教師對角

    文/趙維坤(正高級教師、江蘇省特級教師)

    我們知道,如果兩個(gè)三角形全等,那么它們的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。反過來,當(dāng)兩個(gè)三角形有多少組對邊或?qū)欠謩e相等時(shí),這兩個(gè)三角形就全等呢?

    我們先思考兩個(gè)三角形中只有一組元素相等的情況。例如,我們可以分別畫出一條邊AB=3cm 的△ABC和一條邊DE=3cm 的△DEF,或者∠ABC=30°的△ABC和∠DEF=30°的△DEF,我們發(fā)現(xiàn),這兩個(gè)三角形不全等。也就是說,當(dāng)兩個(gè)三角形只有一組對邊或?qū)窍嗟葧r(shí),這兩個(gè)三角形不全等。

    我們再思考兩個(gè)三角形中只有兩組元素相等的情況。例如,我們可以畫出邊AB=3cm、BC=4cm 的△ABC和 邊DE=3cm、EF=4cm 的△DEF,或 者畫出∠ABC=30°、∠BCA=45°的△ABC和∠DEF=30°、∠EFD=45°的△DEF,或者畫出邊AB=3cm、∠ABC=30°的△ABC和邊DE=3cm、∠DEF=30°的△DEF,這兩個(gè)三角形也不全等。因此,當(dāng)兩個(gè)三角形有兩組對邊或?qū)窍嗟葧r(shí),這兩個(gè)三角形也不全等。

    通過畫圖我們發(fā)現(xiàn),三組以下元素分別相等的兩個(gè)三角形不全等。

    那么,在兩個(gè)三角形中,如果有三組元素分別相等,它們就一定全等嗎?

    觀察下圖中的三角形,請你找出其中的全等三角形,并在透明紙上畫出這些三角形,疊合驗(yàn)證。

    這里給出的12 個(gè)三角形,可以分成這樣的四類:三邊分別相等、三角分別相等、兩邊和一角分別相等、一邊和兩角分別相等。

    同學(xué)們可以兩個(gè)人一組,根據(jù)下面6 個(gè)條件,在透明紙片上分別畫出△ABC。

    條件一:AB=2cm,BC=3cm,CA=4cm;

    條件二:∠ABC=30°,∠ACB=100°,∠BAC=50°;

    條件三:AB=2cm,∠BAC=45°,AC=3cm;

    條件四:CB=2cm,∠BAC=30°,AC=3cm;

    條件五:∠ABC=30°,AB=3cm,∠BAC=45°;

    條件六:∠ACB=100°,AB=3cm,∠BAC=45°。

    通過操作,我們發(fā)現(xiàn),三邊分別相等的兩個(gè)三角形是全等的,只有三角分別相等的兩個(gè)三角形是不全等的。事實(shí)上,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,“三角分別相等”實(shí)質(zhì)上就是“兩角分別相等”,這樣不能判定兩個(gè)三角形全等。

    “兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形”有兩種情形:兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形是全等的,只有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個(gè)三角形不全等。

    “一邊和兩角分別相等的兩個(gè)三角形”中,兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形是全等的,兩角和其中的一組等角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形也是全等三角形。還有其他情形嗎?同學(xué)們可自行畫圖解決。

    在兩個(gè)三角形中,如果有4 對(或5 對)元素分別相等,那么這兩個(gè)三角形一定全等嗎?這就留給同學(xué)們自己動手操作證明了。

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