數(shù)學(xué)建模視角下與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題妙解路徑*

福建省永春縣教師進(jìn)修學(xué)校 (362600) 鄭堅(jiān)幟

第一類 構(gòu)造F(x)=xnf(x)(n∈Z,且n≠0)函數(shù)模型

(1)若F(x)=xnf(x),則F′(x)=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)]．若題干出現(xiàn)形如nf(x)+xf′(x)的條件,可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);

例1 (2021春·贛縣區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)>xf′(x),則不等式的解集為f(x2-1)>(x-1)f(x-1)．

例2 (2022春·鄒城市期中)已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),當(dāng)x<0時(shí),有2f(x)+xf′(x)<0,則不等式(x+2021)2f(x+2021)+4f(2)<0的解集為．

解析：當(dāng)x<0時(shí),2f(x)+xf′(x)>0,符合F(x)=xnf(x)模型.構(gòu)造g(x)=x2f(x),當(dāng)x<0時(shí),g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)<0,∴g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減①;∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴g(x)=x2f(x)在R上為奇函數(shù)②,∴f(0)=0,g(0)=0,由①②得g(x)在R上單調(diào)遞減,∴(x+2021)2f(x+2021)+4f(2)<0(2)?(x+2021)2

評(píng)注：抓住2f(x)+xf′(x)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造F(x)=xnf(x)型函數(shù)模型．構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2f(x),求導(dǎo)分析g(x)為單調(diào)遞減函數(shù),將所求不等式轉(zhuǎn)化為g(x+2021)

第二類 構(gòu)造F(x)=enxf(x)(n∈Z,且n≠0)函數(shù)模型

(1)若F(x)=enxf(x),則F′(x)=n·enxf(x)+enxf′(x)=enx[f′(x)+nf(x)]．若題干出現(xiàn)形如f′(x)+nf(x)的條件,可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x);

評(píng)注：抓住f′(x)+2f(x)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造F(x)=enxf(x)型函數(shù)模型．構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)e2x,結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)關(guān)系可得F(x)單調(diào)遞增,然后結(jié)合函數(shù)圖象的平移及對(duì)稱性可求F(2),將不等式f(x)<2e-2x轉(zhuǎn)化為F(x)

例4 (2022春·遂寧期末)定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f(x)>f′(x),且f(0)=3,則不等式f(x)<3ex的解集為．

(1)若F(x)=f(x)sinx,則F′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx．若題干出現(xiàn)形如f′(x)sinx+f(x)cosx或f′(x)tanx+f(x)的條件,可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)sinx;

(3)若F(x)=f(x)cosx,則F′(x)=f′(x)cosx-f(x)sinx．若題干出現(xiàn)形如f′(x)cosx-f(x)sinx或f′(x)-f(x)tanx的條件,可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)cosx;

A．a(chǎn)

C．b

與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式的客觀題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法總結(jié)的三個(gè)模型,不僅加深考生對(duì)不等式與導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)與理解,又使其在構(gòu)建模型時(shí)更加全面地考慮問(wèn)題,避免其在以后的解題中走彎路,提高解題的正確性.因此,高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)該重視經(jīng)典例題剖析,從明確問(wèn)題、合理假設(shè)、搭建模型、求解模型、分析檢驗(yàn)、模型解釋基本步驟滲透數(shù)學(xué)建模.在教學(xué)實(shí)踐中,不斷強(qiáng)化模型應(yīng)用的條件,把握構(gòu)建不同數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵點(diǎn),解題少走彎路,達(dá)到化繁為簡(jiǎn),學(xué)以致用的目的.