燃數(shù)學(xué)思想之火,升核心素養(yǎng)之華
——以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊解題教學(xué)為例

福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈

2023年度高考藍(lán)皮書《中國高考報(bào)告(2023)》指出:未來高考命題將以“三線(核心價(jià)值金線、能力素養(yǎng)銀線、情境載體串聯(lián)線)”為框架,命題呈現(xiàn)出“無價(jià)值,不入題;無思維,不命題;無情境,不成題”的典型特征.由此觀之,新高考命題將會(huì)更加關(guān)注對學(xué)生數(shù)學(xué)思維、學(xué)科素養(yǎng)的考查.

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略,是數(shù)學(xué)的靈魂[1].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是我們教育教學(xué)的終極培養(yǎng)目標(biāo)[2].所以,面對“三新”背景下的高考,我們應(yīng)轉(zhuǎn)變自身的教學(xué)理念和教學(xué)方式,在傳授學(xué)生課本知識(shí),習(xí)得解題方法的同時(shí),更應(yīng)該關(guān)注他們數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、學(xué)科思想的浸潤、核心素養(yǎng)的發(fā)展,只有這樣,才能最大限度的發(fā)揮課堂教學(xué)的實(shí)效,才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維從學(xué)生的腦海中自然的流淌出來,才能從容應(yīng)對未來高考的新挑戰(zhàn).

本文以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊的若干典型試題為例,闡述在解題教學(xué)過程中,教師若能將數(shù)學(xué)知識(shí)與方法和數(shù)學(xué)思想有機(jī)地結(jié)合在一起,引領(lǐng)學(xué)生站在數(shù)學(xué)思想的高度去分析和解決問題,就可以在深化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟的同時(shí),優(yōu)化解題過程,降低解題難度,實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升[3].

1、立意函數(shù)與方程思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

函數(shù)與方程思想包括函數(shù)思想與方程思想.函數(shù)思想主要是通過函數(shù)相關(guān)知識(shí)來求解問題,方程思想是把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組進(jìn)行求解.函數(shù)與方程思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題時(shí),應(yīng)該關(guān)注到函數(shù)與方程之間可以實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化,從而在問題獲解的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生綜合性的問題分析和問題解決能力,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

例1 (2021年八省聯(lián)考第8題)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則( ).

A．c

C．a(chǎn)

分析：本題涉及到三個(gè)方程的根的大小比較,直接求解顯然無法奏效,故需要引導(dǎo)學(xué)生將題設(shè)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,以尋求解題的突破口.在教學(xué)過程中,筆者設(shè)置了如下三個(gè)問題,讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的過程.

問題1 題設(shè)條件能否做適當(dāng)?shù)淖冃?

問題2 變形后的條件具有什么特征?這些特征給你怎樣的啟示?[4]

問題3 你能根據(jù)這種啟示,將問題進(jìn)行簡潔求解嗎?

圖1

2、立意數(shù)形結(jié)合思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“數(shù)”與“形”及它們的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)研究永恒的主題.通過“以數(shù)助形,以形輔數(shù)”有利于分析題中數(shù)量之間的關(guān)系,強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的感知,把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),在優(yōu)化解題過程的同時(shí),提升學(xué)生的分析問題和解決問題的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2 (2022年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

分析：對于問題(1),立意于數(shù)形結(jié)合思想,可以猜測出a的取值為1.當(dāng)然,具體的解題過程還需要進(jìn)行分類討論求解f(x)與g(x)的最小值,建立方程來完成.對于問題(2),筆者引導(dǎo)學(xué)生畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,觀察兩個(gè)圖象之間的關(guān)聯(lián).

由于a=1,得函數(shù)f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx,借助導(dǎo)數(shù)研究兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,可畫出二者的圖象(由(1)可得兩個(gè)函數(shù)的最小值均為1),如圖2.

圖2

筆者設(shè)置如下問題引發(fā)學(xué)生進(jìn)行形與數(shù)轉(zhuǎn)化的思考.

問題觀察兩個(gè)函數(shù)圖象,形的特征是什么?你能否得到相關(guān)的數(shù)的特征?

形的特征1：函數(shù)f(x)=ex-x在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;函數(shù)g(x)=x-lnx在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增;f(0)=g(1)=1.

數(shù)的特征1：對于函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值從最小值1逐漸增大到+∞;對于函數(shù)g(x),當(dāng)0

形的特征2：當(dāng)b=f(x0)=g(x0)時(shí),直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn).

數(shù)的特征2：只需證明當(dāng)f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)時(shí),有x1+x2=2x0即可.

由f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)得ex1-x1=ex0-x0=x0-lnx0=x2-lnx2.由ex0-x0=x0-lnx0得ex0+lnx0=2x0;由ex1-x1=x0-lnx0得ex1-ln(ex1)=x0-lnx0,即g(ex1)=g(x0),關(guān)注到ex1,x0∈(0,1),則x0=ex1,或x1=lnx0;由ex0-x0=x2-lnx2得ex0-ln(ex0)=x2-lnx2,即g(ex0)=g(x2),關(guān)注到ex0,x2∈(1,+∞),則x2=ex0.結(jié)合上述,有x1+x2=lnx0+ex0=2x0,得證x1,x0,x2三者成等差數(shù)列.

評析：在問題(2)的解題教學(xué)活動(dòng)中,學(xué)生經(jīng)歷了“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)與g(x)的形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律,利用圖形描述、分析直線y=b與兩條曲線共有三個(gè)不同的交點(diǎn)這一數(shù)學(xué)問題,建立形與數(shù)的聯(lián)系,探索出只需研究f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)時(shí),x1+x2=2x0這一解決問題的思路”,進(jìn)而能夠“從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題:如何利用所得結(jié)果驗(yàn)證x1+x2=2x0成立”,“收集數(shù)據(jù)得到ex0+lnx0=2x0、g(ex1)=g(x0)、g(ex0)=g(x2),整理數(shù)據(jù)得到x1=lnx0、x2=ex0,提取信息得到x1+x2=lnx0+ex0=2x0”的整個(gè)過程,將直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

3、立意化歸與轉(zhuǎn)化思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將未知解法或難以解決的問題,通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換,化歸為在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的數(shù)學(xué)思想[5].該思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)萬變不離其宗的特性,讓數(shù)學(xué)問題回歸本質(zhì),提升學(xué)生問題解決能力的同時(shí),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例3 (2020年新高考山東卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

分析：對于問題(2),因參數(shù)居于兩個(gè)位置,利用分離參數(shù)法無法奏效,利用直接求導(dǎo)法無法求出極值點(diǎn),從而無法實(shí)現(xiàn)對f(x)單調(diào)性的討論.問題(2)比較流行的解法是同構(gòu)法和必要性探路法,但同構(gòu)法要求技巧比較高,筆者在教學(xué)過程中主要引導(dǎo)學(xué)生利用必要性探路法來求解.

在教學(xué)過程中,筆者立意于化歸與轉(zhuǎn)化思想,設(shè)計(jì)如下三個(gè)問題,引導(dǎo)學(xué)生對整個(gè)求解過程進(jìn)行探究,實(shí)現(xiàn)問題由生入熟、由繁至簡的轉(zhuǎn)化.

問題1 本題中,取什么值代入表達(dá)式進(jìn)行探路較為簡潔?(將參數(shù)a的研究范圍從(-∞,+∞)轉(zhuǎn)化為[1,+∞))

探究結(jié)果1:根據(jù)f(x)=aex-1-lnx+lna的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征(指數(shù)對數(shù)并存),故考慮令x=1代入其中.由f(x)≥1得a+lna≥1,由于g(a)=a+lna關(guān)于a單調(diào)遞增,且g(1)=0,由函數(shù)g(a)的圖象特點(diǎn),可得a≥1.

問題2 探路得到的a≥1,對f(x)≥1的證明能夠起到什么作用?(將含參不等式的驗(yàn)證轉(zhuǎn)化為無參數(shù)不等式的驗(yàn)證)

探究結(jié)果2:當(dāng)a≥1,由于aex-1-lnx+lna≥1中ex-1>0,lna的系數(shù)為1,故aex-1≥ex-1,lna≥0,得aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx,從而只需驗(yàn)證ex-1-lnx≥1成立,達(dá)到消參的目的.

問題3 如何證明不等式ex-1-lnx≥1成立?(將指數(shù)、對數(shù)并存的不等式的驗(yàn)證轉(zhuǎn)化為兩個(gè)更為簡潔的不等式的驗(yàn)證)

探究結(jié)果3:根據(jù)不等式ex-1≥lnx+1左右兩端函數(shù)的圖象特點(diǎn),兩個(gè)圖象被y=x所分隔開,故嘗試驗(yàn)證ex-1≥x,x≥lnx+1同時(shí)成立,問題或能有效求解.

評析：在問題(1)的解決中,學(xué)生經(jīng)歷了“針對研究對象獲取數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)f(x)≥1中存在ex-1及l(fā)nx,為了令得到的關(guān)于a的不等式形式簡潔,可以嘗試令x=1代入.接著運(yùn)用求導(dǎo)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和推斷,通過研究g(a)的圖象特征,求得a≥1”,無疑,在這個(gè)過程中,學(xué)生的數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

在問題(2)的解決中,學(xué)生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出基本關(guān)系,發(fā)現(xiàn)可以利用a≥1實(shí)現(xiàn)不等式放縮,得到aex-1≥ex-1、lna≥0,從而將問題轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證ex-1-lnx≥1”,無疑,在這個(gè)過程中,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

在問題(3)的解決中,學(xué)生經(jīng)歷了“利用ex-1≥lnx+1兩邊函數(shù)的圖象分析數(shù)學(xué)問題,建立形與數(shù)的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象被y=x所隔開,探索出可以嘗試驗(yàn)證ex-1≥x及x≥lnx+1同時(shí)成立,以達(dá)到解決問題的目的”,進(jìn)而“借助導(dǎo)數(shù)工具,從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出ex-1≥x及x≥lnx+1,最終實(shí)現(xiàn)f(x)≥1的證明”,無疑,在這個(gè)過程中,學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)得到了較好的培養(yǎng)和發(fā)展.

4、立意特殊與一般思想發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊,高考命題者常有意設(shè)計(jì)一些體現(xiàn)特殊與一般思想的試題,突出體現(xiàn)特殊化方法在解題中的應(yīng)用,如通過特殊值、特殊位置、特殊函數(shù)等來研究解決一般問題、不確定問題、抽象問題等.解題時(shí)若能注意到問題的特殊性,則可大幅度降低思維難度和運(yùn)算量,實(shí)現(xiàn)問題的輕松求解,在彰顯解決數(shù)學(xué)問題方法靈活性的同時(shí),提升學(xué)生邏輯思維能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

A．-3 B．-2 C．0 D．1

分析:本題的常規(guī)解法需要對f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)進(jìn)行適當(dāng)代換,再將代換后的多個(gè)等式進(jìn)行關(guān)聯(lián),得到函數(shù)f(x)的周期為6,再通過計(jì)算前6個(gè)函數(shù)值及周期,求得最終的結(jié)果.整個(gè)過程較為繁雜,需要學(xué)生有較強(qiáng)的恒等變換能力.關(guān)注到本題是一道單選題,題設(shè)條件具有一般性,但是結(jié)果具有恒定性,立意于特殊與一般思想,可以嘗試將f(x)的解析式特殊化.

在教學(xué)過程中,筆者設(shè)置了如下三個(gè)問題,讓學(xué)生經(jīng)歷特殊與一般的認(rèn)知過程.

問題1 由題設(shè)條件你能確定出函數(shù)f(x)的表達(dá)式嗎?

問題2 關(guān)系式“f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)”你以前是否遇到過,它給你怎樣的啟示?

問題3 你能根據(jù)這種啟示,將問題進(jìn)行簡潔求解嗎?

另外,在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊試題解題過程中,若能夠合理利用有限與無限的相互轉(zhuǎn)化,則可快速尋得問題解決的突破口,避開抽象復(fù)雜的演算,優(yōu)化解題過程,提升學(xué)生的問題求解能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).限于篇幅,此處不再舉例詳細(xì)闡述.

當(dāng)然,數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟,核心素養(yǎng)的發(fā)展,并非靠幾道題目的講解,幾節(jié)課的學(xué)習(xí)就能夠?qū)崿F(xiàn)的.這需要長期的時(shí)間積累,需要教師們在教學(xué)中要充分發(fā)掘教材中的知識(shí)點(diǎn)和典型例子中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法,依靠數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)問題求解,讓學(xué)生在“潤物細(xì)無聲”中去領(lǐng)悟,并用其作為指導(dǎo)來引領(lǐng)問題的解決[6],進(jìn)而逐步內(nèi)化為自身的思維品質(zhì),促使他們能力的提升,日積月累的積淀,就形成了數(shù)學(xué)素養(yǎng).