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    一元二次方程根的討論

    2023-09-28 02:45:26翟曉麗
    初中生世界 2023年35期
    關(guān)鍵詞:實(shí)根判別式空格

    文/翟曉麗

    一元二次方程的根的情況與根的判別式b2-4ac有關(guān),但在解含有字母系數(shù)的一元二次方程問題時,常常會出現(xiàn)“等根”“實(shí)根”“不等根”等關(guān)鍵詞,正確理解這些關(guān)鍵詞是解決這類問題的關(guān)鍵。

    一、有“等根”

    例1若關(guān)于x的方程x2-4x+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的值為________。

    【點(diǎn)評】一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則根的判別式b2-4ac=0。

    二、有“不等根”

    例2關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+n=0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則n的取值范圍是________。

    【解析】若一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則根的判別式b2-4ac>0,所以(-2)2-4n>0,解得n<1。空格中應(yīng)填n<1。

    【點(diǎn)評】一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則根的判別式b2-4ac>0。

    三、有“實(shí)根”

    例3若關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x+1=0 有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是( )。

    A.m≥-1 B.m≤1

    C.m≥-1且m≠0 D.m≤1且m≠0

    【解析】一元二次方程有實(shí)數(shù)根,分兩種情況:有兩個相等的實(shí)數(shù)根,有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。所以根的判別式b2-4ac≥0,所以解得m≤1 且m≠0。選D。

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    【點(diǎn)評】一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根,則根的判別式b2-4ac≥0 且不能忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0。

    四、有“一根”

    例4已知關(guān)于x的方程kx2-(2k+4)x+k-6=0 有一個實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的值為________。

    【解析】一元二次方程如果有實(shí)數(shù)根則有兩個,只有一元一次方程有一個實(shí)數(shù)根。所以方程是一元一次方程,k=0。空格中應(yīng)填0。

    【點(diǎn)評】只有一元一次方程有一個實(shí)根。當(dāng)根的判別式b2-4ac=0時,一元二次方程是有兩個相等的實(shí)數(shù)根,而不是只有一個實(shí)數(shù)根。

    五、有“負(fù)根”

    例5已知關(guān)于x的方程x2+4x-k=0有一個正實(shí)數(shù)根和一個負(fù)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________。

    【解析】關(guān)于x的方程有一個正實(shí)數(shù)根和一個負(fù)實(shí)數(shù)根,則根的判別式b2-4ac>0,且x1x2<0。所 以解得k>0。空格中應(yīng)填k>0。

    例6已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0 總有一個負(fù)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________。

    【解析】因?yàn)椋▁-1)[(m-1)x-(m+1)]=0,

    所以x-1=0,或(m-1)x-(m+1)=0,即x1=1,或

    【點(diǎn)評】用因式分解法解一元二次方程是一種重要的方法,它可以使復(fù)雜的問題變得簡單。

    六、整數(shù)根

    例7已知實(shí)數(shù)m、x滿足:(mx1-2)·(mx2-2)=4。若m、x1、x2為正整數(shù),則符合條件的有序?qū)崝?shù)對(x1,x2)有______個。

    【解析】當(dāng)m、x1、x2為正整數(shù)時,(mx1-2)、(mx2-2)均為整數(shù),且mx1≥1,mx2≥1,mx1-2≥-1,mx2-2≥-1。而4=1×4=2×2=4×1,因此,分三種情況討論。

    綜上所述,共有7個。空格中應(yīng)填7。

    【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵及難點(diǎn)是正確運(yùn)用分類討論思想。

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