代數(shù)式恒等變形的利器
——配方法

文／竇年春

把一個(gè)一元二次方程變形為（x+h）2=k（h、k為常數(shù)）的形式，當(dāng)k≥0 時(shí)，運(yùn)用直接開平方法求出方程的解。這種解一元二次方程的方法叫作配方法。配方法不僅僅是解一元二次方程的一個(gè)重要的基本方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論依據(jù)是完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，用x代替公式中的a，則有x2+2bx+b2=（x+b）2。應(yīng)用時(shí)要注意“關(guān)于x的二次三項(xiàng)式”的特征：二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。在把二次三項(xiàng)式中二次項(xiàng)系數(shù)化為1 和常數(shù)項(xiàng)化為平方形式時(shí)，要注意恒等變形。

一、在比較大小中的應(yīng)用

例1比較代數(shù)式x2+2y2與2xy+4y-8的大小。

【分析】將x2+2y2與2xy+4y-8 作差，根據(jù)差的正負(fù)做出判斷。

解：x2+2y2-（2xy+4y-8）=x2+2y2-2xy-4y+8=x2-2xy+y2+y2-4y+4+4=（x-y）2+（y-2）2+4。

因?yàn)椋▁-y）2≥0，（y-2）2≥0，所以（x-y）2+（y-2）2+4≥4。所以x2+2y2＞2xy+4y-8。

【點(diǎn)評(píng)】要比較a與b的大小，就是算a-b與0的大小。因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以我們利用“配方法”將式子整理為“平方+常數(shù)”的形式，再做出判斷。需要注意的是，在變形的過(guò)程中不要改變式子的值。

二、在因式分解中的應(yīng)用

例2因式分解：（1）a2-12a+35；（2）x4+4。

【分析】（1）將35 拆成36-1，前三項(xiàng)配成完全平方式，再利用平方差公式因式分解；

（2）中間添加4x2，配成完全平方式，再減去4x2，利用平方差公式因式分解。

解：（1）a2-12a+35=a2-12a+36-1=（a-6）2-1=（a-6+1）（a-6-1）=（a-5）（a-7）。

（2）x4+4=x4+4+4x2-4x2=（x2+2）2-4x2=（x2+2+2x）（x2+2-2x）。

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)完全平方公式的特征，在欲因式分解的代數(shù)式中通過(guò)“湊平方”等手段，得到一個(gè)局部完全平方式是解題的關(guān)鍵。

三、在化簡(jiǎn)二次根式中的應(yīng)用

例3化簡(jiǎn)二次根式：

【點(diǎn)評(píng)】二次根式化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是把被開方數(shù)配成完全平方的形式，配方的突破口是中間項(xiàng)2ab。

四、在證明等式中的應(yīng)用

例4已知：a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，求證a=b=c。

【分析】配方，嘗試從完全平方公式中的中間項(xiàng)的系數(shù)2 入手，在等式的兩邊同乘2，拆分組合成三個(gè)完全平方式的和，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明。

解：因?yàn)閍2+b2+c2-ab-bc-ac=0，所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0。所以（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0。所以a-b=0，b-c=0，a-c=0。所以a=b=c。

【點(diǎn)評(píng)】已知三個(gè)未知量，一個(gè)等式，要找出未知量之間的等量關(guān)系，這個(gè)問題一定有其特殊性。解題的依據(jù)是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)皆為0。

五、在求最值中的應(yīng)用

例5（2023·江蘇連云港）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x、y為實(shí)數(shù)），則W的最小值為________。

【思路一】觀察式子特點(diǎn)，湊完全平方式。

因?yàn)閤、y均為實(shí)數(shù)，所以（2x-y+1）2≥0，（x+2）2≥0。所以W≥-2，即W的最小值為-2。

【思路二】看成等式，移項(xiàng)，整理成關(guān)于x的一元二次方程5x2+（8-4y）x+（y2-2y+3-W）=0。

因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，所以方程一定有實(shí)數(shù)根，所以（8-4y）2-20（y2-2y+3-W）≥0。整理，得5W≥y2+6y-1。

配方，得5W≥（y+3）2-10≥-10。所以W≥-2。所以W的最小值為-2。

【點(diǎn)評(píng)】本題利用配方法把式子整理為“平方+常數(shù)”的形式是解題的關(guān)鍵。