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    讓根“?;丶铱纯础?br/>——運用一元二次方程根的定義解題的兩種途徑

    2023-09-28 02:45:22李長春正高級教師江蘇省特級教師
    初中生世界 2023年35期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)式一元二次方程等式

    文/李長春(正高級教師,江蘇省特級教師)

    我們都知道,若已知方程的一個解,就可以將這個解代入方程。如果將方程比喻為一個家,這個方程就是其解(或根)的“娘家”,讓根“?;丶铱纯础?,就是行之有效的解題思路。

    一、正向運用,直接代入

    如果x0是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,則ax02+bx0+c=0。

    例1若一元二次方程x2+bx+a=0有一個根是-a(a≠0),則代數(shù)式a-b的值是________。

    解:因為一元二次方程x2+bx+a=0有一個根是-a,所以(-a)2+b×(-a)+a=0,即a(a-b+1)=0。又因為a≠0,所以a-b+1=0,則a-b=-1。

    【點評】把根代入方程是解題的關(guān)鍵。運用提公因式法進(jìn)行因式分解是代數(shù)恒等變形的基本功。

    例2已知a、b是方程x2-x-3=0 的兩個根,求代數(shù)式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值。

    解:因為a、b是方程x2-x-3=0 的兩個根,所以a2-a-3=0,b2-b-3=0,即a2=a+3,b2=b+3。所以2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a·a2+b2+3a2-11a-b+5=2a(a+3)+(b+3)+3a2-11a-b+5=5a2-5a+8=5(a+3)-5a+8=23。

    【點評】將方程的根代入方程后,得到a2與a、b2與b之間的關(guān)系,然后將a2和b2反復(fù)代入,達(dá)到降次、消元的效果。

    例3若m、n是一元二次方程x2+3x-1=0 的兩個實數(shù)根,則的值為________。

    解:因為m、n是一元二次方程x2+3x-1=0 的兩個實數(shù)根,所以m2+3m-1=0,則3m-1=-m2。根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得m+n=-3。所以

    【點評】例3 除了運用了例2 達(dá)成目標(biāo)的方法外,還結(jié)合了根與系數(shù)的關(guān)系,整體替換后再約分,從而巧妙求解。

    二、逆向運用,構(gòu)造方程

    如果ax02+bx0+c=0(a≠0),則x0是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根。

    例4已知a-2b+4c=0,則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根為________。

    【點評】為什么將方程兩邊同時除以4 呢?事實上,我們只要善于觀察,就會發(fā)現(xiàn):a-2b+4c=0 與ax2+bx+c=0(a≠0),字母c的系數(shù)不同,只需將前者兩邊同時除以4,即能出現(xiàn)相同的c,再對比一下,未知數(shù)x就顯現(xiàn)出來了。

    例5實數(shù)m、n滿足7m2-7m-1=0,7n2-7n-1=0,且m≠n,求m2n+mn2的值。

    解:因為實數(shù)m、n滿足7m2-7m-1=0,7n2-7n-1=0,且m≠n,所以m、n是方程7x2-7x-1=0 的兩個不等實數(shù)根。由根與系數(shù)的關(guān)系,得于是

    【點評】實數(shù)m、n滿足的關(guān)系“如出一轍”,就似母親“7x2-7x-1=0”生出的一對“雙胞胎”,自然就可以看成這個方程的兩個根。一般地,若實數(shù)x1、x2滿足且x1≠x2,a≠0,則x1、x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0 的兩個不等實數(shù)根。正所謂:“兩個等式一個樣,構(gòu)造方程來相幫?!?/p>

    例6已知實數(shù)s、t分別滿足5s2+5s+1=0,t2+5t+5=0,且st≠1。求的值。

    【點評】我們從所求結(jié)論的化簡變形可以發(fā)現(xiàn):要找的是s與t之間的關(guān)系。那么,我們逆向思維,即如何構(gòu)造一個方程,使其兩根分別為s與。結(jié)合已知條件t2+5t+5=0,即5+5t+t2=0,只需兩邊同時除以t2,即可與等式5s2+5s+1=0“比翼雙飛”!

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