意料之外，情理之中

林生

2023年高考是真正地落實新教材的新高考的第一年，試題以新教材為藍本，樸實無華但試題很好地落實了“立德樹人、服務選才，引導教學”的核心功能，突出素養(yǎng)和能力考查，甄別思維品質、展現思維過程.2023年高考卷的很多題目都突出基礎的考查，但彰顯綜合性要求，既體現在知識交匯點處命題的創(chuàng)新原則，又格調清新意境幽，更為重要的是有些題目看起來似曾相識，但有別于“舊題”，很好實現了“反套路、反題海戰(zhàn)術、反機械刷題”等功能，更好地考查了學生的數學核心素養(yǎng).2023年新高考Ⅰ卷數學第22題就是這樣的題目：該試題一改以往考橢圓和雙曲線（2018年到至今，大題考查拋物線的僅在2019年出現）的習慣，考查的是拋物線，并且是非標準的，這是很多老師和考生“出乎意料”的，但該試題考查的雖然拋物線非標準的形式，以平移后也是標準的拋物線，這樣的題目作為考查背景，是比較公平的.在第一問考查拋物線定義，第二問考查弦長公式，涉及最值的運算也是學生最熟悉的，很好地體現了在情景中“反套路”的格調，這也是高考的要求所在，也屬情理之中.不過這也給我們以后的高考備考做了提醒：以后高考要以高考評價體系為標準，以新教材為藍本，要注重知識的傳授，要讓學生掌握的知識必須掌握，不能像以前備考“厚此薄彼”，忽略某種曲線的相關知識.同時我們在備考過程中要守住“本手”（要從基本的法則、定義、定理出發(fā)，明確其道理，知道從哪里來到哪里去；熟練其方法，望文生義，望形得法），要對“本手”理解深刻，這樣我們在解題中方可出現“妙手”（四基的熟能生巧、返璞歸真、靈活運用等），否則，難免出現解題的“俗手”（機械解題、缺乏對全局整體的分析）.因此我們要在解題中守住“本手”，追求“妙手”，拒絕“俗手”，那就要在備考過程中對高考試題研究就要進行深度分析：守住“本手”——尋求解題的思路和突破口，找出最優(yōu)解題思路和方法，從而得到這類題的常規(guī)解法，接著找出其共性的知識和通性通法，對其通法深度挖掘和提煉反思；還要尋求其知識的“源”與“流”，對此基本類型進行變式拓展推廣、舉一反三，開啟思維，縱橫聯系、觸類旁通，探窺其本質，讓考生從題中悟“道”，達到“一覽眾山小”的境界，從而促使解題達到“妙手”.最終實現2024年高考解析幾何的高效備考.下面筆者以2023年新高考Ⅰ卷數學第22題這道題為載體，通過探求其解法、分析這種類型的實質，打開這類問題的“思維重門”，對此種圓錐曲線的類型進行推廣拓展，同時還對圓錐曲線中的常規(guī)題型及常用到的一些解題方法和技巧來進行舉例分析、變式和總結歸納，讓考生掌握這一類題型的基本方法和技巧，實現高效備考，探究出2024年高考圓錐曲線的高效備考的一些建議和策略．

一、平中見生，似曾相識燕歸來——真題回放

（2023年新高考Ⅰ卷數學第22題）在平面直角坐標系xOy中，已知點P到x軸的距離等于點P到（0，?）的距離，記動點P的軌跡為W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．

【點評】本題試題簡約而不簡單，深刻而不深奧.第（1）問考查求軌跡的方程，雖然方程為非標準的拋物線，但可采取直接求解或用拋物線的定義來解題，這樣設置有利于考生思維的展開；第（2）問一改平時聯立直線與圓錐曲線的方法，在這里設置了一個“門檻”——間接考查直線與拋物線的聯立得到的弦長，這里涉及到了多元變量，同時還綜合了代數恒等變形、不等式、利用導數求最值等數學方法，里面還蘊含了絕對值不等式等處理方法，本質屬于求最值問題，但卻將本問設置成與解析幾何融合的問題——矩形ABCD的周長問題.以“生面”的形式展示出來，加上該問綜合性運算量大，放縮的技巧性也強，因此很多考生都會“望而生畏”，但只要認真思考該類問題，還是可以轉化為我們熟悉的“面孔”——最值問題，利用直線與拋物線相交，轉化為弦長問題，再利用扎實的運算功底，所有問題便可迎難而解．

二、多點開花，條條大道通羅馬——解法探幽

三、操千曲而后曉聲，觀千劍后識器——別有洞天

四、居高臨下覓考道，咬定“本手”立根中

通過上面的深度分析與拓展，今年的解析幾何大題高考題重視基礎，突出對數學運算能力的考查.綜合整個過程來看，本題的出現既在意料之外（一改以往命題套路和風格），但又在情理之中（反套路、反猜題），本題的難點不在于運算技巧和方法，而在于如何尋找合適的運算思路與方法，在于克服心理上的怕“繁”.這也為我們以后的備考指明了方向：不單要在加強解析幾何運算思路與方法的尋求，運算的算理和算法以及運算思維的自然與合理，同時還要注重解析幾何的通性通法，要掌握解析幾何典型題的拓展與延伸，要做到筑“本手”（從基本的法則、定義、定理出發(fā)，明確其道理，知道從哪里來到哪里去；熟練其方法，望文生義，望形得法）之基，行“妙手”（對知識理解深刻并達到靈活運用）之遠，脫“俗手”（沒有扎實的基礎，不懂知識的來龍去脈和發(fā)現、生成、生長）之庸，咬住“本手”不放，把握住備考的根，我們才可以做到居高臨下覓悟出“備考之道”，因此我們要實現高考高效備考時要做好以下方面：

1.切實回歸概念和基礎是“正道”，注重通性通法為“上上策”

通過今年的高考題的題目分析可知：注重考查基本的知識，注重考查通性通法，同時“反套路、反猜題、反題海戰(zhàn)術”，因此在以后的備考中一定要重視基礎知識，要注重通性通法，要注重回歸教材，對課本中的概念、定義、定理、公式必須記熟、理解；重視公式的正用、逆用和活用，重視定理的推導，要理清知識發(fā)生的本原（如公式的推導過程等），還要注意挖掘教材中的素材，通過對教材的題目引導考生研究、進行總結歸納，比如對于圓錐曲線定義、合理設值、設而不求、整體代換、消元策略等教材中的基本知識和方法要讓學生知其然，還要其所以然.另外復習時考生還要深入研究教材.以教材中的例、習題素材適當變形，甚至推導衍生得出圓錐曲線一些二級結論（但不能強制學生記憶），在這個過程中不追求數學解題中的所謂“技巧”，不搞“偏題”、“怪題”，而是將最基本的代數數學方法和幾何方法融合還原，在整個過程中側重方法的選取和思維的訓練提升和鞏固，突出思維能力和運算能力，及時引申拓展、培養(yǎng)總結歸納能力，這樣考生在高考中才可以達到融會貫通、高屋建瓴的境界．

2.強化解析幾何認知基礎，突出數學運算能力，注重算理和算法

對于解析幾何的大題，有很多種題型，選擇入手的解題方法或許也有很多種，但是在復習備考中要培養(yǎng)學生學會用代數語言把幾何條件和幾何問題轉化為代數條件和代數問題，能根據具體問題的情景學會甄別方法尋求和選取的“優(yōu)劣”，能自覺按照數學運算的步驟（理解運算對象、明確運算目標、分析運算條件、探尋運算思路、設計運算程序、求得運算結果），真正提升靈活運用解題的能力.因此，我們在備考時，要抓住核心問題——運算能力的提升，要時刻注重強化數學運算，一步一個腳印，在進行計算的時候注重算理、算法和技巧，不斷地在解題中滲透強化，長期不懈地加強數學運算的訓練，只有這樣，考生才可以提升數學運算能力，不再“畏懼”解析幾何的運算，從而達到高效備考．

3.優(yōu)化數學運算的心理和習慣，形成良好的應考素質

對于解析幾何的題目，大部分考生存在運算怕難、怕繁的心理，因此我們在復習備考過程中首先要克服這種心理，并且針對粗心大意、經常犯一些低級錯誤等問題進行嚴謹細致的訓練，不斷培養(yǎng)良好的運算習慣，一步一步地實現有條理、有程序地解決圓錐曲線問題，最終幫助形成良好的應考素質．

總之，我們在復習備考時要注意尋找解析幾何的運算思維，在平時備考中要在運算對象、運算目標上多分析，要學會對解題思路與方法的反思，有意識地積累解題經驗，不能僅僅停留在解該道題，還要在解題后多點總結歸納：該題的解法有“優(yōu)化”嗎？這個問題能夠一般推廣嗎？改變一下條件如何？改變結論又如何？……要知其所以然，何由以知其所以然.要學會在解題中鞏固對知識的理解，積累解題經驗，強化運算能力，發(fā)現解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識，培養(yǎng)堅忍不拔、鍥而不舍的意志品質，從而實現高效備考，最終笑傲2024年高考．

【本文系廣東省教育科學規(guī)劃2022年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目“深度學習視域下高中數學高效課堂的行動研究”研究成果】

責任編輯??徐國堅