基于剪切波變換和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的遙感圖像去噪

成麗波, 陳鵬宇, 李 喆, 賈小寧

(長春理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 長春 130022)

遙感圖像目前已成為人們觀察、 分析世界的一種有效工具, 在各領(lǐng)域均廣泛應(yīng)用[1-3]. 遙感圖像在成像過程中會受隨機(jī)噪聲的干擾[4-6]. 為獲取盡可能真實(shí)、 清晰的遙感圖像, 滿足工程實(shí)踐的需要, 如何在盡量不影響遙感圖像原始信息的情況下有效對其進(jìn)行去噪具有重要意義.

遙感圖像去噪的目的是抑制和消除隨機(jī)噪聲, 保持圖像的細(xì)節(jié)信息及良好的視覺效果. 遙感圖像的稀疏表示和去噪也是對其進(jìn)一步處理的基礎(chǔ). 經(jīng)典的遙感圖像去噪方法如小波變換[7-9]和復(fù)小波變換[10-11]是將噪聲視為高頻信號, 過濾較大的變換系數(shù)[12-13], 進(jìn)而實(shí)現(xiàn)去噪, 但高頻系數(shù)中的圖像細(xì)節(jié)部分通常會與噪聲一起被去除[14]. 為克服上述問題, 近年來, 剪切波變換(shearlet transform, ST)[15-16]作為一種新的多尺度分析[17-18]技術(shù)已成為該領(lǐng)域研究的焦點(diǎn). 在頻域中, 剪切波變換是逐層細(xì)分的. 因此, 剪切波是性能較優(yōu)的多維函數(shù)稀疏表示方法[19], 使它在圖像去噪領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景. 剪切波變換具有良好的各向異性, 可以很好地識別和分析圖像的邊緣和紋理信息[20]. 遙感圖像含有大量的細(xì)節(jié)信息, 因此, 在遙感圖像去噪中, 剪切波是一種理想的工具. 遙感圖像噪聲的主要來源是空氣中的微小粒子, 粒子對光的透射率及其空間分布均呈高斯分布[21]. 基于擬合優(yōu)度(goodness of fit, GOF)檢驗(yàn)的圖像去噪方法[22-23]利用高斯白噪聲及變換系數(shù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性估計(jì)去噪閾值, 該方法能有效去除高斯噪聲. 相比于其他檢驗(yàn)方法, Anderson-Darling(AD)檢驗(yàn)[24]能在較小的樣本條件下, 保持穩(wěn)健的檢驗(yàn)性能. 因此, 本文使用AD檢驗(yàn)進(jìn)行遙感圖像的噪聲識別.

針對遙感圖像去噪問題, 本文提出一種基于剪切波和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的遙感圖像去噪算法(shearlet transform and goodness of fit test, ST-GOF), 先使用剪切波變換分解含噪遙感圖像, 將高頻系數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn), 再通過計(jì)算剪切波系數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(empirical distribution function, EDF)和模擬高斯噪聲的累積分布函數(shù)(cumulative distribution function, CDF)的統(tǒng)計(jì)距離獲得AD檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量, 將統(tǒng)計(jì)量與閾值進(jìn)行對比實(shí)現(xiàn)去噪. 與其他相關(guān)算法進(jìn)行仿真對比實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明了本文算法在視覺和性能上的優(yōu)越性.

1 剪切波變換

二維圖像函數(shù)f∈L2(2)的連續(xù)剪切波變換定義為

SHψf(a,s,t)=〈f,ψa,s,t〉,

(1)

(2)

其中ψa,s,t是一個(gè)尺度、 方向及位置參數(shù)分別為a,s,t的局部性函數(shù)集合, 此時(shí)a稱為尺度參數(shù),s為剪切參數(shù),t為平移參數(shù).每個(gè)ψa,s,t的頻域支撐區(qū)間在一個(gè)梯形對內(nèi), 該梯形對在不同的尺度參數(shù)a下關(guān)于原點(diǎn)對稱, 其方向由剪切參數(shù)s確定.通過減小尺度參數(shù)a, 剪切波能很好地捕捉圖像的輪廓與邊緣信息.每個(gè)剪切波ψa,s,t在頻域的支撐區(qū)間為

(3)

ψa,s,t的頻域支撐區(qū)間如圖1所示.

圖1 剪切波水平(A)和垂直(B)頻域支撐Fig.1 Horizontal (A) and vertical (B) frequency domain support of shearlet

對于給定的一張不含噪聲的圖像P, 基于剪切波變換對加噪圖像Pnoisy的閾值去噪算法實(shí)現(xiàn)過程為

Pdenoise=ST-1TσSTPnoisy,

(4)

其中ST為剪切波正變換,Tσ為閾值算子,ST-1為剪切波逆變換.剪切波正變換后獲得圖像的高頻和低頻系數(shù), 而噪聲主要分布在高頻系數(shù)中, 因此需對高頻系數(shù)選取合適的閾值算法進(jìn)行處理, 對處理后的全部系數(shù)進(jìn)行剪切波逆變換得到去噪圖像Pdenoise.

2 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

檢驗(yàn)一個(gè)指定的樣本與一套給定結(jié)果的吻合程度稱為擬合優(yōu)度檢驗(yàn), 通常通過計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并與臨界值進(jìn)行比較判斷樣本分布是否與假設(shè)分布一致.若樣本分布與假設(shè)理論分布一致, 即將觀測值或數(shù)據(jù)符合指定模型或分布的情況稱為零假設(shè), 把觀測值拒絕指定模型或分布的情況稱為替代假設(shè).不同方法定義了不同的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量作為量化觀測值與指定分布下預(yù)期值之間差異的衡量標(biāo)準(zhǔn).

2.1 Anderson-Darling檢驗(yàn)

(5)

其中ψ(Fr(t))是為分布函數(shù)Fr(t)的尾部賦予更多權(quán)重的加權(quán)函數(shù), 定義為

ψ(Fr(t))=(Fr(t)(1-Fr(t)))-1,

(6)

其目的是提高檢驗(yàn)時(shí)的靈活性.

實(shí)際計(jì)算過程中式(5)統(tǒng)計(jì)距離的數(shù)值表達(dá)式可簡寫為

τAD=-L-q,

(7)

其中:L表示給定觀測值xt的大小或在擬合優(yōu)度檢驗(yàn)時(shí)分塊(窗口)的大小;q定義為

(8)

在擬合優(yōu)度檢驗(yàn)框架內(nèi), 錯(cuò)誤拒絕候選分布的概率稱為虛警概率Pfa, 定義為

(9)

其中H0表示與噪聲檢測相對應(yīng)的零假設(shè).文獻(xiàn)[25-26]給出了虛警概率Pfa對應(yīng)閾值的表格.

2.2 本文算法

本文利用剪切波變換對噪聲圖像的剪切波子帶系數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn), 提出一種剪切波擬合優(yōu)度檢驗(yàn)去噪算法, 在多尺度上將信號和噪聲分離為單獨(dú)的系數(shù).

令TGOF表示閾值算子, 則尺度j處的閾值Tj為

(10)

(11)

(12)

并通過

(13)

(14)

本文算法的去噪二元假設(shè)表示如下:

(15)

2.3 算法流程

本文提出的ST-GOF算法實(shí)現(xiàn)過程主要分為7個(gè)步驟. 圖2為ST-GOF算法的實(shí)現(xiàn)流程.

圖2 ST-GOF算法流程Fig.2 Flow chart of ST-GOF algorithm

算法1ST-GOF算法.

步驟1) 輸入含噪遙感圖像Pn;

步驟2) 對Pn進(jìn)行剪切波變換Pn←ST(X)得到高頻和低頻系數(shù)矩陣;

步驟7) 輸出去噪遙感圖像Pd.

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文算法的有效性, 選擇灰度遙感圖像進(jìn)行主觀和客觀指標(biāo)的評價(jià).主觀上, 通過視覺觀察遙感圖像的邊緣顯示能力, 并對比細(xì)節(jié)恢復(fù)程度等對本文算法的去噪效果進(jìn)行評價(jià); 客觀上, 使用峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)衡量本文算法的去噪效果.

3.1 圖像質(zhì)量評價(jià)指標(biāo)

PSNR值作為圖像去噪問題中的重要衡量指標(biāo), 數(shù)值越大表示去噪程度越好. 本文采用PSNR作為評價(jià)指標(biāo)驗(yàn)證算法的優(yōu)越性:

(16)

其中p(i,j)表示原始無噪聲圖像,d(i,j)表示去噪圖像,X,Y表示圖像尺寸.

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文從遙感數(shù)據(jù)集RSSCN7中選取6張大小為400×400的遙感圖像Forest,Parking,Resident,Playground,Industry,Mountains作為仿真實(shí)驗(yàn)圖像, 如圖3所示. 將本文算法與離散小波擬合優(yōu)度算法(DWT-GOF)、 雙樹復(fù)小波擬合優(yōu)度算法(DTCWT-GOF)、 曲波閾值去噪算法(Curvelet)、 剪切波閾值去噪算法(Shearlet)進(jìn)行對比, 5種算法均使用MATLAB R2018b實(shí)現(xiàn), 計(jì)算平臺為內(nèi)存16 GB的計(jì)算機(jī), 搭載處理器為Intel(R) Core(TM) i7-8750H CPU@2.20 GHz.

圖3 實(shí)驗(yàn)采用的無噪聲遙感圖像Fig.3 Noise-free remote sensing images used in experiment

對比發(fā)現(xiàn), 添加了標(biāo)準(zhǔn)差約為20的高斯白噪聲的遙感圖像接近含有真實(shí)隨機(jī)噪聲的遙感圖像. 因此, 對實(shí)驗(yàn)圖像分別添加標(biāo)準(zhǔn)差為10,15,20,25的高斯白噪聲. 實(shí)驗(yàn)所得5種算法的PSNR值分別列于表1～表4. 由表1～表4可見, 本文算法在不同噪聲強(qiáng)度下的去噪圖像PSNR值均優(yōu)于其他4種算法, 其中與曲波閾值算法相比平均提高2.15 dB, 與DWT-GOF算法相比平均提高1.04 dB, 與剪切波閾值算法相比平均提高0.33 dB, 與DTCWT-GOF算法相比平均提高0.23 dB.

表1 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為10時(shí)不同算法的PSNR值Table 1 PSNR values of different algorithms when standard deviation of noise is 10 dB

表2 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為15時(shí)不同算法的PSNR值Table 2 PSNR values of different algorithms when standard deviation of noise is 15 dB

表3 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20時(shí)不同算法的PSNR值Table 3 PSNR values of different algorithms when standard deviation of noise is 20 dB

表4 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為25時(shí)不同算法的PSNR值Table 4 PSNR values of different algorithms when standard deviation of noise is 25 dB

圖4為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為25時(shí), 實(shí)驗(yàn)所得5種算法的去噪圖像及局部細(xì)節(jié)放大結(jié)果. 由圖4可見, 本文算法的去噪效果明顯優(yōu)于其他4種算法, 能更好地保持遙感圖像的邊緣、 輪廓和特征信息. 在對局部細(xì)節(jié)進(jìn)行放大時(shí), 本文算法去噪圖像的紋理更細(xì)膩, 視覺效果最優(yōu).

圖4 不同算法對遙感圖像的去噪及細(xì)節(jié)效果Fig.4 Denoising and detail effects of different algorithms on remote sensing images

綜上所述, 針對遙感圖像中的高斯白噪聲, 本文提出了一種基于剪切波變換和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的遙感圖像去噪算法, 將遙感圖像的去噪轉(zhuǎn)換成了一個(gè)二元假設(shè)檢驗(yàn)問題. 首先, 利用剪切波變換在頻域分解含噪遙感圖像, 對分解得到的高頻子帶進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn); 其次, 通過對比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與去噪閾值分類系數(shù), 保留期望信號系數(shù), 實(shí)現(xiàn)去噪; 最后, 對系數(shù)矩陣逆歸一化, 通過剪切波逆變換進(jìn)行圖像重建. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 與剪切波閾值去噪等算法相比, 本文算法能顯著提升峰值信噪比, 有較強(qiáng)的細(xì)節(jié)留存和邊緣保持能力, 主觀上也有較好的視覺效果.