周期激勵(lì)下接地雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱的動(dòng)力學(xué)

李雙寶，周新星

（中國(guó)民航大學(xué)a.科技創(chuàng)新研究院；b.理學(xué)院，天津 300300）

機(jī)械系統(tǒng)中不必要的振動(dòng)可能會(huì)損害系統(tǒng)或降低結(jié)構(gòu)的性能。飛行器飛行過(guò)程中，機(jī)翼的顫振會(huì)影響其表面氣流的流動(dòng)方式，從而降低機(jī)翼的升力，進(jìn)而降低飛行器的性能。同時(shí)，航空發(fā)動(dòng)機(jī)的喘振會(huì)導(dǎo)致其核心機(jī)氣流的紊亂，甚至損傷葉片。因此，有效抑制結(jié)構(gòu)中的有害振動(dòng)是航空工程中的一個(gè)重要問(wèn)題。

最初研究的熱點(diǎn)聚焦于線性減振器，其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，但其只能在頻率很窄的區(qū)域產(chǎn)生減振效果。因而很多學(xué)者對(duì)非線性減振器展開研究[1-5]。非線性能量阱[6]（NES，nonlinear energy sink）作為一類特殊的被動(dòng)非線性減振器，因其可以靶向被動(dòng)吸收主結(jié)構(gòu)中振動(dòng)的能量而被廣泛研究[7-10]。這些研究主要考慮非接地類型NES。Jiang 等[11]研究了接地立方NES 在周期激勵(lì)下，穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為，研究指出這類NES 的非線性特性具有良好的寬頻特性。Mcfarland 等[12]實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了接地立方NES 中的靶向能量轉(zhuǎn)移行為。對(duì)于接地立方NES 的研究結(jié)果表明[13]，接地立方NES 可以等效于一個(gè)輕質(zhì)的非接地立方NES，因而對(duì)接地NES 的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)并沒(méi)有進(jìn)一步研究。然而高鐵軌道的振動(dòng)抑制，地面落振實(shí)驗(yàn)臺(tái)的振動(dòng)抑制等工況更適合使用接地的減振器。Yao 等[14]研究了一種對(duì)旋轉(zhuǎn)裝置具有優(yōu)良減振性能的接地NES，這說(shuō)明接地NES 具有廣泛的工程應(yīng)用前景。實(shí)際上，對(duì)接地類型吸振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究較少，王孝然等[15]研究了線性接地式三要素型吸振器的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)于非接地NES 也可以做出類似的研究，NES 的主要缺陷在于其減振特性需要耦合系統(tǒng)的能量高于一定值以后才能發(fā)揮作用。借鑒非接地NES 的研究結(jié)果可知[7-10]，雙穩(wěn)態(tài)特性的引入能很好地解決NES 的能量閾值問(wèn)題。在接地NES 中引入雙穩(wěn)態(tài)特性，并進(jìn)一步研究其動(dòng)力學(xué)行為是目前研究的一個(gè)盲點(diǎn)。

本文主要通過(guò)攝動(dòng)分析和Melnikov 方法，研究接地雙穩(wěn)態(tài)NES 耦合系統(tǒng)在周期激勵(lì)下的松弛振蕩行為和外激勵(lì)閾值曲線對(duì)這類接地雙穩(wěn)態(tài)NES 結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)意義，并進(jìn)一步在理論上給出這類NES的優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

1 力學(xué)模型

本文研究的力學(xué)模型是兩自由度系統(tǒng)，如圖1 所示。由線性振子（LO，linear oscillator）弱耦合一個(gè)接地雙穩(wěn)態(tài)NES。其中，LO 的質(zhì)量、剛度、阻尼分別標(biāo)記為m1，kp和c1。NES 的質(zhì)量記為m2，其雙穩(wěn)態(tài)特性通過(guò)壓縮剛度為k 的彈簧這一幾何非線性的方式實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)子系統(tǒng)通過(guò)彈簧k1和阻尼c2弱耦合。

圖1 力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model

LO 和NES 的位移分別用x1（t）和x2（t）表示。NES結(jié)構(gòu)的原點(diǎn)位置位于接地壓縮彈簧接地的豎直位置，而NES 結(jié)構(gòu)初始時(shí)刻位于平衡位置S，NES 結(jié)構(gòu)壓縮彈簧的原長(zhǎng)為l，而在原點(diǎn)處的長(zhǎng)度為l0。

由于系統(tǒng)中的恢復(fù)力是一個(gè)無(wú)理函數(shù)，采用多項(xiàng)式逼近的方法近似該無(wú)理恢復(fù)力。根據(jù)拉格朗日方程和適當(dāng)?shù)膮?shù)變換得到無(wú)量綱耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程[16]。

結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)特性由式（1）的第2 項(xiàng)杜芬方程所體現(xiàn)，系統(tǒng)存在著兩個(gè)穩(wěn)定和一個(gè)不穩(wěn)定的平衡位置。式中：f 表示無(wú)量綱化以后的外激勵(lì)剛度；τ 和Ω 分別無(wú)量綱的時(shí)間和頻率；y1和y2分別表示LO 和NES 無(wú)量綱化以后的位移。耦合系統(tǒng)的物理參數(shù)和式（1）中的無(wú)量綱參數(shù)如表1 所示。

表1 系統(tǒng)的參數(shù)取值Tab.1 Parameter value of the system

2 動(dòng)力學(xué)分析

2.1 慢不變流形

在式（1）描述的兩自由度耦合系統(tǒng)中，LO 發(fā)生的松弛振蕩依賴不同時(shí)間尺度的運(yùn)動(dòng)。因而分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為就必須綜合考慮不同時(shí)間尺度下，耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。為了刻畫這種動(dòng)力學(xué)行為，可以應(yīng)用復(fù)化平均法。首先在系統(tǒng)引入復(fù)變量

將式（2）代入式（1）中，保留系統(tǒng)的長(zhǎng)期項(xiàng)得到

考慮到外激勵(lì)頻率和LO 固有頻率之間的共振響應(yīng)關(guān)系，引入失諧參數(shù)σ，并滿足Ω=1+εσ，代入式（3）中。引入時(shí)間變量τs=εsτ，其中s=0，1。對(duì)式（3）進(jìn)行多尺度展開，得到ε0階和ε1階尺度下的動(dòng)力學(xué)方程如下

引入極坐標(biāo)變換如下

式中：N1、N1和θ1、θ2均為實(shí)數(shù)，令?φ2/?τ0=0，并代入式（4）的第2 項(xiàng)得到慢不變流形（SIM，slow invariant manifold）描述如下

2.2 外激勵(lì)閾值

分析可知，滿足一定條件時(shí)耦合系統(tǒng)的SIM 存在兩個(gè)奇異值點(diǎn)。對(duì)式（7）右側(cè)變量Z2求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，得到臨界值Z2l方程。通過(guò)Z2臨界值可以得到系統(tǒng)外激勵(lì)閾值。首先定義函數(shù)

并根據(jù)式（4）進(jìn)行變量代換可得

將式（9）代入式（5）第2 項(xiàng)，由鏈?zhǔn)椒▌t得到

式中f1，f2和g 可以通過(guò)式（4）和式（5）偏導(dǎo)關(guān)系求得。由文獻(xiàn)[17]可知，系統(tǒng)存在兩類不動(dòng)點(diǎn)，一類被限制于系統(tǒng)SIM 上，滿足條件f1=f2=0，g≠0；另一類不動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)臨界情況，滿足f1=f2=g=0 這一退化條件，此時(shí)可將式（9）化為式（10）的矩陣形式

式中系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的幅值Ψ1和Ψ2，以及相應(yīng)的相位β1和β2可通過(guò)令式（10）等于0 獲得。非退化條件的滿足，使式（11）的兩個(gè)方程線性相關(guān)，故僅需考慮其中一個(gè)方程即可得到系統(tǒng)外激勵(lì)閾值解析表達(dá)式。將變量Z2臨界值代入就得到外激勵(lì)閾值表達(dá)式

非線性系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，因而外激勵(lì)幅值和耦合系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的關(guān)系也是重要的問(wèn)題，通過(guò)Melnikov 方法可以解析地獲得系統(tǒng)的混沌閾值。

2.3 Melnikov 分析

耦合系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)和各子系統(tǒng)之間的內(nèi)共振響應(yīng)有著密切的聯(lián)系。Melnikov 函數(shù)作為度量擾動(dòng)后雙曲不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形之間距離的工具，能給出系統(tǒng)發(fā)生混沌的判斷條件[18]。

考慮到外激勵(lì)的周期特性，經(jīng)歷充分長(zhǎng)的時(shí)間之后可以假定LO 周期振動(dòng)。此時(shí)可以將LO 的運(yùn)動(dòng)視為NES 結(jié)構(gòu)的外激勵(lì)。因而可以將系統(tǒng)的方程降維成

式中：l1=a1-β，l2=b1，h1=η2/ε。

由于LO 受到外界周期正弦激勵(lì)可以將其運(yùn)動(dòng)近似為如下周期運(yùn)動(dòng)

式中A 表示線性振子運(yùn)動(dòng)振幅。在式（13）中，若ε=0，系統(tǒng)變?yōu)槲磾_動(dòng)系統(tǒng)。存在一對(duì)連接式（13）中雙曲不動(dòng)點(diǎn)的同宿軌道q0（τ），其可以被解析地求解出。圖2 表示不同負(fù)剛度下式（13）中的同宿軌道。

圖2 同宿軌道Fig.2 Homoclinic orbits

由Melnikov 方法，式（13）對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的Melnikov 函數(shù)為

式中：f（u，v）=（v，l1u-l2u3）T；g（u，v）=（0，Acos（Ωτ）-h1v）T。

通過(guò)計(jì)算可得到系統(tǒng)Melnikov 函數(shù)，如果其有簡(jiǎn)單零點(diǎn)，那么擾動(dòng)后的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形橫截相交[14]。得到系統(tǒng)的混沌閾值曲線表達(dá)式如下

不同負(fù)剛度下系統(tǒng)的混沌閾值曲線如圖3 所示。

圖3 不同負(fù)剛度下系統(tǒng)的混沌閾值曲線Fig.3 Chaotic threshold curves under different negative stiffnesses

從圖3 可知，隨著NES 負(fù)剛度上升，系統(tǒng)閾值函數(shù)曲線也上升，這說(shuō)明在一定范圍內(nèi)提升系統(tǒng)負(fù)剛度可抑制正弦外激勵(lì)下系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。但是混沌運(yùn)動(dòng)的發(fā)生意味著耦合系統(tǒng)中發(fā)生了內(nèi)共振，因而設(shè)計(jì)此類接地雙穩(wěn)態(tài)NES 時(shí)，適當(dāng)降低結(jié)構(gòu)的負(fù)剛度是一種提升NES 減振特性的思路。

同樣，如圖4 所示為不同立方剛度下系統(tǒng)的混沌閾值曲線。

圖4 不同立方剛度下系統(tǒng)的混沌閾值曲線Fig.4 Chaotic threshold curves under different cubic stiffnesses

從圖4 可知，隨著系統(tǒng)立方剛度增大，結(jié)構(gòu)的閾值函數(shù)曲線在下降。因而可以適當(dāng)提升結(jié)構(gòu)的立方剛度，使得耦合系統(tǒng)的各子系統(tǒng)在更寬的外激勵(lì)幅值區(qū)域內(nèi)發(fā)生內(nèi)共振。適當(dāng)增大接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的立方剛度可以提高其減振性能。

考慮NES 結(jié)構(gòu)的兩類特殊情況：一種是系統(tǒng)的負(fù)剛度為0，此時(shí)接地雙穩(wěn)態(tài)NES 變?yōu)榻拥亓⒎絅ES；另一種是對(duì)應(yīng)著立方剛度的消失，此時(shí)減振裝置變?yōu)橐粋€(gè)線性結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)比這兩類特殊情況，進(jìn)一步說(shuō)明接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的減振特性。

3 動(dòng)力學(xué)特性

3.1 與接地立方NES 對(duì)比

當(dāng)系統(tǒng)中的負(fù)剛度趨于0 時(shí)，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 變?yōu)榻拥亓⒎絅ES。為了更好地說(shuō)明吸振裝置在外激勵(lì)作用下的減振特性，引入度量NES 阻尼力做功占比的指標(biāo)，NES 系統(tǒng)的能量耗散率可表示為

NES 系統(tǒng)的能量耗散率越高，相對(duì)而言，其減振性能也會(huì)較好。接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES 結(jié)構(gòu)在不同外激勵(lì)下的能量耗散率對(duì)比如圖5 所示。

圖5 接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES 能量耗散率對(duì)比（τ0=100）Fig.5 Energy dissipation rates of the grounded bistable NES and the cubic NES（τ0=100）

從圖5（a）可知，當(dāng)激勵(lì)振幅較低時(shí)，隨著振幅逐漸增大，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的能量耗散率逐漸下降，但是其一直高于84%。當(dāng)外激勵(lì)振幅到達(dá)SIM 的第1 個(gè)閾值后，系統(tǒng)的能量耗散率開始上升，達(dá)到最大值約90%；當(dāng)外激勵(lì)振幅接近SIM 的第2 個(gè)閾值后，系統(tǒng)能量耗散率又開始下降；直到外激勵(lì)幅值接近SIM 的第3 個(gè)閾值，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的能量耗散率恢復(fù)上升。應(yīng)該指出，隨著外激勵(lì)幅值的變化，接地雙穩(wěn)態(tài)NES的能量耗散率總是高于82%。從耦合系統(tǒng)能量耗散率分析，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 在外激勵(lì)變化過(guò)程中一直維持著較高的減振性能。

從圖5（b）可知，由于接地立方NES 中不存在同宿軌道，因而混沌閾值并未給出。接地立方NES 的能量耗散率變化趨勢(shì)和SIM 上計(jì)算出的兩個(gè)閾值相關(guān)。在外激勵(lì)較低時(shí)，接地立方NES 的能量耗散率隨著外激勵(lì)振幅的增大而增加。直到外激勵(lì)振幅到達(dá)SIM 的第1 個(gè)閾值，此時(shí)NES 的能量耗散率達(dá)到局部最大約為82%，然后開始下降；在外激勵(lì)振幅到達(dá)SIM 的第2個(gè)閾值又恢復(fù)上升。

通過(guò)對(duì)比圖5（a）和5（b）可以發(fā)現(xiàn)，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES 的能量耗散率在外激勵(lì)幅值較高時(shí)區(qū)別并不明顯，可是當(dāng)外激勵(lì)幅值較低時(shí)，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的能量耗散率明顯要優(yōu)于接地立方NES。

進(jìn)一步，不同外激勵(lì)下LO 的振幅響應(yīng)曲線如圖6所示。實(shí)線表示系統(tǒng)在τ∈[100，500]區(qū)間內(nèi)LO的平均振幅Ae，而虛線代表這一區(qū)間內(nèi)LO 的最大振幅Am。

圖6 耦合接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES 的主結(jié)構(gòu)振幅響應(yīng)Fig.6 Amplitude response of the main structure for coupled grounded bistable NES and cubic NES

耦合接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的LO 在不同外激勵(lì)振幅下的響應(yīng)曲線如圖6（a）所示。隨著外激勵(lì)的增加，主系統(tǒng)的振幅也隨之增加，不過(guò)增加的速度和外激勵(lì)閾值相關(guān)。當(dāng)外激勵(lì)振幅較低時(shí)，LO 的振幅和外激勵(lì)振幅類似線性增長(zhǎng)。當(dāng)外激勵(lì)幅值達(dá)到混沌閾值，隨著外激勵(lì)振幅增大，振幅增速突然提升，LO 最大振幅和平均振幅之差增大，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生暫態(tài)強(qiáng)調(diào)諧響應(yīng)。繼續(xù)增加外激勵(lì)振幅，LO 最大振幅和平均振幅的差值逐漸降低。

耦合接地立方NES 的振幅響應(yīng)曲線如圖6（b）所示，耦合接地立方NES 的LO 在外激勵(lì)作用下振幅的響應(yīng)方式近似于線性。

對(duì)比圖6（a）和6（b）的振幅響應(yīng)曲線可以發(fā)現(xiàn)，在外激勵(lì)較低時(shí)，耦合接地雙穩(wěn)態(tài)NES 系統(tǒng)的振動(dòng)幅值明顯低于耦合接地立方NES 系統(tǒng)；在外激勵(lì)幅值較高時(shí)，兩者區(qū)別不大。這和非接地的情況類似[19]。

3.2 不同外激勵(lì)下的響應(yīng)方式

3.1節(jié)通過(guò)對(duì)比接地雙穩(wěn)態(tài)NES 和接地立方NES的能量耗散率和LO 振幅以突出接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的減振優(yōu)勢(shì)。本節(jié)具體討論耦合接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的系統(tǒng)在不同外激勵(lì)下的響應(yīng)方式以研究其動(dòng)力學(xué)特性。不同外激勵(lì)幅值下NES 的時(shí)間歷程圖如圖7 所示。

圖7 NES 在不同外激勵(lì)下的響應(yīng)Fig.7 Response of the NES under different external force

從圖7 可知，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的響應(yīng)過(guò)程和耦合系統(tǒng)的兩個(gè)勢(shì)阱相關(guān)。由圖7（a）可知，當(dāng)外激勵(lì)較低時(shí)，NES 只能在初始平衡位置的勢(shì)阱附近來(lái)回振蕩。接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的負(fù)剛度特性使得其能夠吸收LO 的大部分能量，進(jìn)而將其能量耗散率維持在較高的水平。隨著外激勵(lì)的增大，如圖7（b）和7（c）所示，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式轉(zhuǎn)變?yōu)闀簯B(tài)強(qiáng)調(diào)諧響應(yīng)，這時(shí)LO 振動(dòng)的最大振幅和平均振幅之差增大。耦合系統(tǒng)穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，NES 可能跨阱運(yùn)動(dòng)，也可能單阱運(yùn)動(dòng)。由于非線性系統(tǒng)的混沌特性，當(dāng)外激勵(lì)幅值處于特定范圍內(nèi)時(shí)，NES 運(yùn)動(dòng)的方式具有較大的隨機(jī)性。繼續(xù)增大外激勵(lì)振幅后，如圖7（d）所示，耦合系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，NES 做跨阱周期運(yùn)動(dòng)。

不同外激勵(lì)閾值下，系統(tǒng)在SIM 上的投影如圖8所示。從圖8（a）可知，外激勵(lì)閾值較低時(shí)，耦合系統(tǒng)的SIM 投影在系統(tǒng)的SIM 附近小范圍振蕩，不跨越SIM的穩(wěn)定分支和不穩(wěn)定分支。一旦外激勵(lì)超過(guò)混沌閾值時(shí)，如圖8（c）和8（d）所示，系統(tǒng)會(huì)在SIM 的穩(wěn)定分支和不穩(wěn)定分支振蕩，以松弛振蕩的形式轉(zhuǎn)移耦合系統(tǒng)中LO 的能量。當(dāng)外激勵(lì)幅值較大時(shí)，如圖8（d）所示，系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的投影在SIM 穩(wěn)定分支上振蕩。

圖8 耦合系統(tǒng)在慢不變流形上的投影Fig.8 Projection on the SIM of the coupled system

當(dāng)耦合系統(tǒng)能量水平較低時(shí)，NES 系統(tǒng)的負(fù)剛度使得耦合系統(tǒng)各子結(jié)構(gòu)之間發(fā)生明顯的能量轉(zhuǎn)移，和非接地情況類似[15]，這是雙穩(wěn)態(tài)NES 相對(duì)于立方NES的優(yōu)勢(shì)。另一方面，因?yàn)槠淠軌蛟谳^寬的頻帶內(nèi)和LO發(fā)生內(nèi)共振關(guān)系，這類接地雙穩(wěn)態(tài)NES 可以在較寬的頻率范圍內(nèi)吸收LO 的能量以達(dá)到振動(dòng)抑制的效果。

3.3 寬頻特性

通過(guò)之前動(dòng)力學(xué)分析可以發(fā)現(xiàn)，接地雙穩(wěn)態(tài)NES可以在頻率較寬的范圍內(nèi)吸收LO 的能量實(shí)現(xiàn)其真的抑制的特點(diǎn)。不同頻率下NES 的能量耗散率如圖9 所示。

圖9 NES 在不同頻率下的能量耗散率Fig.9 Energy dissipation rates of NES under different frequencies

從圖9 可知，在較寬的頻帶內(nèi)接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的能量耗散率一直都高于82%，因而其減振性能在較寬的頻帶內(nèi)較好。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，在固有頻率附近NES的能量耗散率達(dá)到最低值。這說(shuō)明NES 可在較寬的頻帶內(nèi)，被動(dòng)吸收LO 的能量并在自身將能量耗散。

與相同質(zhì)量與阻尼的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD,turned mass damper）對(duì)比，如圖10 所示，解釋說(shuō)明接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的寬頻特性。

圖10 主結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)曲線Fig.10 Amplitude frequency response of the main structure

當(dāng)外激勵(lì)頻率f 和LO 固有頻率相差較遠(yuǎn)時(shí)（小于0.9 或大于1.1），NES 和TMD 的響應(yīng)曲線類似。當(dāng)外激勵(lì)頻率接近LO 共振帶時(shí)，TMD 的減振性能明顯不如接地雙穩(wěn)態(tài)NES。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外激勵(lì)頻率和LO 固有頻率一致時(shí)，TMD 并沒(méi)有很好的減振效果。耦合TMD 時(shí)LO 的振幅大于0.8，而耦合NES 時(shí)LO 的振幅不超過(guò)0.2。說(shuō)明在這種條件下NES 的減振特性要優(yōu)于TMD。

通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在較寬的頻率范圍內(nèi)NES 都可以保障LO 的振幅低于0.1，這說(shuō)明NES 具有良好的寬頻特性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究一類接地雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱在周期激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)特性。研究結(jié)果表明，該接地雙穩(wěn)態(tài)NES 在外激勵(lì)較低時(shí)，其負(fù)剛度特性使得其減振性能明顯優(yōu)于接地立方NES。進(jìn)一步討論不同外激勵(lì)頻率下，接地雙穩(wěn)態(tài)NES 的動(dòng)力學(xué)特性，以及與相同質(zhì)量和阻尼的TMD 的幅頻響應(yīng)曲線對(duì)比說(shuō)明，這類接地雙穩(wěn)態(tài)NES 具有良好的寬頻特性。