基于“三會(huì)”的“后建構(gòu)”課堂教學(xué)實(shí)踐研究*
——以“二次函數(shù)圖象背景下線段的最值問題”專題復(fù)習(xí)為例

? 無錫市東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校 毛巾鈞 薛 鶯

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出,數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)主要包括三個(gè)方面,即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界(以下簡稱“三會(huì)”).“后建構(gòu)”課堂教學(xué),是指在建構(gòu)主義和后結(jié)構(gòu)主義指導(dǎo)下,在新知教學(xué)結(jié)束后,解構(gòu)學(xué)生已有的知識(shí),使之被學(xué)生重新認(rèn)知和接受,并在新的認(rèn)知情境下進(jìn)行重組和再構(gòu),形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu),建構(gòu)更為完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)、技能結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的課堂教學(xué).

筆者以一節(jié)市級(jí)公開課“二次函數(shù)圖象背景下線段的最值問題”專題復(fù)習(xí)為例,探究基于“三會(huì)”的“后建構(gòu)”課堂教學(xué)模式,以“四基”“四能”為具體目標(biāo),借助幾何直觀抽象研究對象,借助邏輯運(yùn)算推理規(guī)律聯(lián)系,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.

2 課堂實(shí)錄

2.1 開門見山,引入課題

師:如圖1,這是一條什么曲線?

圖1

生:拋物線.

師:它是我們學(xué)過的哪種函數(shù)的圖象?

生:二次函數(shù)的圖象.

師:我們都知道,線由無數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成,如圖1,在拋物線上任取一點(diǎn),該點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)的過程中,會(huì)產(chǎn)生一些特殊的結(jié)論,比如,該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖象的最高處時(shí),如何?

生:函數(shù)值最大.

師:此類最值問題我們在二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究中已經(jīng)解決.我們研究問題往往遵循從簡單到復(fù)雜、從單一到多個(gè)、從特殊到一般的原則.如果動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)從一個(gè)增加到兩個(gè),位置從特殊到一般,那么兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的線段長度是否存在最值?

師:我們以前也研究過線段的最值問題,即線段的兩個(gè)端點(diǎn)一定一動(dòng)時(shí),是如何解決的?

生:看動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.如果軌跡是直線,那么利用垂線段最短就可解決;如果軌跡是圓弧,那么利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決.

師:回答得很好.那么如果兩個(gè)端點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn),該如何解決呢?

生:兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡分別是什么呢?

師:好問題,下面請我們一起來研究一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上,另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在直線上,構(gòu)成的線段的最值問題.

2.2 點(diǎn)線到面,探索新知

【一個(gè)點(diǎn)】

問題1如圖2,請?jiān)趚軸上方拋物線上找一點(diǎn),使它到x軸的距離最大?最大值為多少?

圖2

(小組討論,分組發(fā)言,生生互動(dòng).)

師:回顧解決此問題的過程,你是如何得到這個(gè)點(diǎn)的?

生:觀察,看出來的.

師小結(jié):通過幾何直觀,同學(xué)們找到了二次函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)到x軸的距離最大.問題1是研究一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離的最值,本質(zhì)上是研究兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(一個(gè)點(diǎn)在拋物線上,一個(gè)點(diǎn)在直線上)形成的線段的最值問題.幾何直觀幫助我們確定了數(shù)學(xué)研究對象,也初步讓我們體會(huì)到“當(dāng)點(diǎn)在某些特殊位置時(shí),線段可能產(chǎn)生最值”.

【兩個(gè)點(diǎn)】

問題2如圖3,連接BC,P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PH平行于y軸,交直線BC于點(diǎn)H,求線段PH的最大值.

圖3

出示問題2后,學(xué)生根據(jù)條件獨(dú)立思考.

師:能用解決問題1的方法來解決這個(gè)問題嗎?請大家試試看.

生:可能當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)處時(shí),PH最大.

師:看來很多同學(xué)有不同意見,幾何直觀不是那么容易確定了,怎么辦呢?

生:要證明.

師:很好,這就是我們比較熟悉的邏輯推理.不管是否在頂點(diǎn)處取得最大值,都需要說理,數(shù)學(xué)得有理有據(jù),這就是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

生:如果不在特殊位置,那么怎么確定點(diǎn)P在何處PH最大?

師:推理只有幾何才有嗎?別忘了,函數(shù)本就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合,即代數(shù)與幾何的結(jié)合,同學(xué)們何不試試代數(shù)推理呢?

生:點(diǎn)可以用坐標(biāo)來表示,那么線段長度也可以用代數(shù)方法來表示.

師:聯(lián)想得非常好!請同學(xué)們按照此思路一起試試吧.

…………

師小結(jié):問題2與問題1本質(zhì)上是一樣的,都為兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(一個(gè)點(diǎn)在拋物線上,一個(gè)點(diǎn)在直線上)形成的線段最值問題.不同之處在于,問題1借助幾何直觀就容易解決,而問題2用坐標(biāo)來刻畫點(diǎn),用代數(shù)式來表示線段的長,然后運(yùn)用求二次函數(shù)最值的方法來解決,這就是運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行邏輯推理.類比問題2,你能改變條件“PH平行于y軸”,其余條件不變,提出一個(gè)有關(guān)線段最大值的問題嗎?并嘗試解決.

變式1如圖4,連接BC,P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PG⊥BC,垂足為G,求線段PG的最大值.

圖4

變式2如圖5,連接BC,P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PT平行于x軸,交直線BC于點(diǎn)T,求線段PT的最大值.

圖5

變式3如圖6,連接BC,AC,P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM∥AC,交直線BC于點(diǎn)M,求線段PM的最大值.

圖6

師:我們解決問題往往遵循從簡單到復(fù)雜的原則,遇到新問題時(shí)先想想,是否有解決此類問題的經(jīng)驗(yàn)可以借鑒,或者是否可以將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題……

師小結(jié):通過轉(zhuǎn)化很容易解決這三個(gè)變式問題,即運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理找到線段PG,PT,PM與線段PH之間的關(guān)系,將所有問題都轉(zhuǎn)化為求線段PH的最值問題.當(dāng)然,類比思想也是很重要的數(shù)學(xué)思想方法,通過這三個(gè)變式問題的類比提問和轉(zhuǎn)化解決,更能感受到數(shù)學(xué)的妙不可言.

【三個(gè)點(diǎn)】

問題3如圖7,P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),你能提出一個(gè)與三角形有關(guān)的最值問題嗎?并嘗試解決.

圖7

…………

師:同學(xué)們提的問題都很不錯(cuò),課后可以進(jìn)一步研究.現(xiàn)在我們以求解△PBC面積的最大值為例,探求解決問題的方法.

生齊答:轉(zhuǎn)化為求線段PH的最大值.

師小結(jié):很好,同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化這一方法,線段PH的最值就是解決今天一系列問題的數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用這一模型可以解決很多類似的問題.

2.3 回顧總結(jié),建構(gòu)結(jié)構(gòu)

師生共同完善結(jié)構(gòu)圖,厘清脈絡(luò),建構(gòu)結(jié)構(gòu),如圖8.

求線段最值

師:回顧本節(jié)課所學(xué),你有哪些體會(huì)?

生:本節(jié)課研究的很多問題都可以轉(zhuǎn)化求線段PH的最值問題.

師:是的,這就是數(shù)學(xué)模型的好處,可以用它解決一些未知問題.對于本節(jié)課的結(jié)構(gòu)圖,有什么體會(huì)嗎?

生:通過結(jié)構(gòu)圖明確了求線段最值的方法和本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想.

師小結(jié):很好,這既是知識(shí)結(jié)構(gòu),也是方法結(jié)構(gòu),也蘊(yùn)含了思想結(jié)構(gòu).通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),也擴(kuò)充了線段最值的求解方法,同學(xué)們要及時(shí)整理、歸納、總結(jié)、完善自己原有的知識(shí)方法等,形成新的方法結(jié)構(gòu)體系,以更快速地解決后續(xù)問題.

3 基于“三會(huì)”核心素養(yǎng)的教學(xué)模式

3.1 會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界——借助幾何直觀抽象研究對象

會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界就是通過對基本數(shù)量關(guān)系與空間形式的觀察,學(xué)生能夠直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)研究對象及其所表達(dá)的事物之間的簡單聯(lián)系與規(guī)律.本節(jié)課的定位是專題復(fù)習(xí)課,屬于后建構(gòu)課型之一.本節(jié)課的內(nèi)容選擇了二次函數(shù)圖象背景下線段的最值問題,將線段的最值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的位置的直觀變化或點(diǎn)的坐標(biāo)的數(shù)量變化,實(shí)則函數(shù)圖象上點(diǎn)的位置的“直觀變化”與由函數(shù)表達(dá)式確定的“數(shù)量變化”為內(nèi)在的對應(yīng)關(guān)系.明確此研究方向之后,從點(diǎn)入手,通過幾何直觀抽象出具體的數(shù)學(xué)研究對象,即研究點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的線段的最值.在課堂引入環(huán)節(jié)和“一個(gè)點(diǎn)”的研究中,借助幾何直觀確定當(dāng)點(diǎn)在某些特殊位置時(shí)能夠確定線段的最值,引出本節(jié)課的研究對象——二次函數(shù)圖象背景下線段的最值問題,落實(shí)了會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

3.2 會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界——借助邏輯運(yùn)算推理規(guī)律聯(lián)系

運(yùn)算作為數(shù)學(xué)的一種基本功,是義務(wù)教育階段的核心內(nèi)容.教學(xué)中要幫助學(xué)生感悟代數(shù)運(yùn)算中的數(shù)學(xué)思想,如數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想等.本節(jié)課中問題2“兩個(gè)點(diǎn)”的設(shè)計(jì)與解決過程,形式上與問題1“一個(gè)點(diǎn)”一脈相承,作為本節(jié)課的重難點(diǎn),旨在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理和代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行演繹推理,在此基礎(chǔ)上尋找事物之間的規(guī)律和聯(lián)系,即會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.從合情推理出發(fā)到演繹推理證明,從代數(shù)運(yùn)算求解到邏輯推理轉(zhuǎn)化,都是“思考”的體現(xiàn),數(shù)學(xué)的思維正是體現(xiàn)于此.后建構(gòu)課堂教學(xué),以變式問題為抓手,以思維的拓寬為表現(xiàn),層層深入,打破常規(guī)思維的邊界,重組并建立新的方法結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu),真正達(dá)到“后”建構(gòu)之效,發(fā)展學(xué)生的“四基”和“四能”,從而進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界——借助數(shù)學(xué)模型解釋解決未知問題

數(shù)學(xué)語言由數(shù)學(xué)的基本概念、符號(hào)表達(dá)、運(yùn)算規(guī)則、形式邏輯、模型構(gòu)建等基本元素組成.數(shù)學(xué)語言主要是通過數(shù)學(xué)模型來呈現(xiàn),同時(shí)借助數(shù)學(xué)符號(hào)也可以幫助學(xué)生更好地理解和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,從而揭示數(shù)學(xué)的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.本節(jié)課的問題3“三個(gè)點(diǎn)”的問題,主要研究由三個(gè)點(diǎn)形成的三角形的周長或面積的最值.以開放式的問題展開,借助已學(xué)知識(shí)方法以及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力.會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,即充分運(yùn)用已有數(shù)學(xué)模型解決未知問題,數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)語言的關(guān)鍵體現(xiàn).后建構(gòu)課堂教學(xué)的總結(jié)環(huán)節(jié)尤為重要,以知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)、思想結(jié)構(gòu)為顯性結(jié)構(gòu)進(jìn)行呈現(xiàn),素養(yǎng)結(jié)構(gòu)為隱形結(jié)構(gòu)包含其中,這一結(jié)構(gòu)圖隨著課堂進(jìn)度的推進(jìn)逐步完成并完善,伴隨著方法的優(yōu)化整合、思想的深入體會(huì)以及素養(yǎng)的逐步提升.運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,即借助數(shù)學(xué)模型解釋解決未知問題,讓核心素養(yǎng)真正落地呈現(xiàn).