變換視角 眾口能調(diào)
——一節(jié)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的實(shí)踐與思考

? 河南省體育中學(xué) 王亞敏

? 鄭州市第一中學(xué) 崔亞利

解題教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ),其意義在于幫助學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí).作為學(xué)校教育實(shí)踐者的一線教師,應(yīng)從自身鮮活的教育實(shí)踐出發(fā),在數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生思維獨(dú)創(chuàng)性、深刻性與靈活性,養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣.針對(duì)中考?jí)狠S題中常出現(xiàn)二次函數(shù)與角度結(jié)合的問(wèn)題,提高復(fù)習(xí)效率讓不同層次的學(xué)生皆有收獲是我們追求的目標(biāo).本文中筆者以一節(jié)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課“二次函數(shù)中的角度問(wèn)題”為例,展示專(zhuān)題復(fù)習(xí)課能有效地讓學(xué)生喚醒并保持記憶,同時(shí)進(jìn)一步深化思維,使不同特色的學(xué)生均有收獲和進(jìn)步,實(shí)現(xiàn)眾口能調(diào)的教學(xué)過(guò)程.

1 例題呈現(xiàn)

(1)如圖1,P是二次函數(shù)圖象上在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠POA=∠POB,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

圖1

(2)如圖2,如果一次函數(shù)圖象與y相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在線段AC上,與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點(diǎn)E,∠CDO=∠OED,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

圖2

2 例題分析

重點(diǎn)：初中數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有提到解析幾何這樣的名詞,但是解析幾何的基本思想——以數(shù)解形、以形助數(shù)——已經(jīng)為學(xué)生所接受和習(xí)慣.中考數(shù)學(xué)壓軸題往往與解析幾何有關(guān),此類(lèi)題型中的角度問(wèn)題也是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題.綜合運(yùn)用簡(jiǎn)單的解析幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)解決問(wèn)題成為大勢(shì)所趨.

難點(diǎn)：這道例題綜合考查學(xué)生對(duì)函數(shù)、方程等初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的掌握和運(yùn)用情況.第(1)問(wèn)的解決,最樸素的思路是直接設(shè)坐標(biāo)直接求.但是這樣困難重重,突破并不容易.那么換種思路,轉(zhuǎn)向間接求,想辦法先求出直線OP的表達(dá)式,再與拋物線表達(dá)式聯(lián)立求點(diǎn)P的坐標(biāo).

3 學(xué)生的課堂反饋

3.1 第一類(lèi)解法

直接求解,這也是多數(shù)同學(xué)思考的方向,但是能堅(jiān)持下來(lái)并突破的人并不多.直接求解也分兩個(gè)方向.

學(xué)生2:我能突破.

如圖3,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交OA于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N.

圖3

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)方法用到的角平分線性質(zhì)定理教材中沒(méi)有,屬于補(bǔ)充內(nèi)容,所以有一部分同學(xué)從這個(gè)方向突破有難度.

學(xué)生3:我千方百計(jì)寫(xiě)出OP的表達(dá)式,想通過(guò)聯(lián)立OP的表達(dá)式和二次函數(shù)的表達(dá)式求出點(diǎn)P的坐標(biāo).而由∠POA=∠POB知∠POB=22.5°,我知道tan22.5°就是kOP,但是,這不是特殊角怎么辦?

學(xué)生4:tan 22.5°可以通過(guò)構(gòu)造法求出來(lái).

圖4

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)方法思路直接,但需要突破非特殊角的正切值,有些同學(xué)解決起來(lái)有困難.不過(guò),對(duì)提出問(wèn)題的同學(xué)仍要提出表?yè)P(yáng),畢竟在黑暗中摸索了一段距離,有了強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突,再得到解決辦法,不僅印象深刻,思維也得到了延伸.

3.2 第二類(lèi)解法

放眼射線OP乃至直線OP,只要直線OP上能夠出現(xiàn)一個(gè)特殊點(diǎn)(方便求出其坐標(biāo)),就能定位OP.這一類(lèi)方法應(yīng)該是命題者的本意.此類(lèi)方法也有兩種.

學(xué)生5:我注意到OA⊥CB,設(shè)直線AB與PO交于點(diǎn)G,如圖5,過(guò)點(diǎn)Q作QG垂直于x軸,垂足為G,則△OAQ≌△OGQ.

圖5

圖6

點(diǎn)評(píng)：這兩個(gè)同學(xué)的思路非常好,變換視角,不是緊盯著點(diǎn)P不放,而是放眼望去,尋找直線OP上更好求的點(diǎn),曲線救國(guó).這類(lèi)辦法綜合運(yùn)用了解析幾何與平面幾何的知識(shí),很好地考查了初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí),這兩種方法也是出題人的本意.

3.3 第三類(lèi)解法

學(xué)生得到的第三類(lèi)解法如下.

圖7

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)方法雖然超出了初中課標(biāo)范圍,但事實(shí)上班級(jí)中至少有三分之一的同學(xué)能夠掌握,并且很好用.學(xué)有余力的同學(xué)應(yīng)該掌握.

事實(shí)上,在十幾年前的初中教學(xué)中,高中的兩點(diǎn)間距離公式、斜率計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、互相垂直的兩條直線(斜率存在)的斜率之積等于-1等知識(shí)是直接滲透給初中生的,這是心照不宣的事實(shí).負(fù)責(zé)中考命題的團(tuán)隊(duì)與一線教師團(tuán)隊(duì),如同設(shè)置密碼和破譯密碼的對(duì)臺(tái)戲似的,在中考實(shí)踐中往往能碰撞出意想不到的思維火花.了解一線教師真實(shí)的教學(xué)情況,知道實(shí)踐中已經(jīng)走得有多遠(yuǎn),負(fù)責(zé)中考命題的團(tuán)隊(duì)才能準(zhǔn)確定位翻新花樣的中考題應(yīng)該帶我們到哪里去.教材改革、新課程標(biāo)準(zhǔn)、中考導(dǎo)向等合力之下,一線教師課堂的真實(shí)狀態(tài)也應(yīng)有其參考價(jià)值.

4 利用思維導(dǎo)圖,整理第(2)問(wèn)解題思路

思維導(dǎo)圖是理清思路和加深記憶的工具,能夠激發(fā)創(chuàng)意、節(jié)省時(shí)間,讓學(xué)生有序地去學(xué)習(xí).通過(guò)思維導(dǎo)圖(如圖8)整合學(xué)生的解法,讓眾多解法條理清晰、可視化,歸類(lèi)整理.解題教學(xué)中的這個(gè)環(huán)節(jié)充分展示了思維過(guò)程,關(guān)注各類(lèi)學(xué)生的思維生長(zhǎng)點(diǎn),對(duì)不同層次的學(xué)生拓展思維、提升解題能力大有裨益.

圖8

第(1)問(wèn)的思維導(dǎo)圖略,第(2)問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖8所示.

5 教學(xué)總結(jié)與反思

解題教學(xué)中教師的精講和點(diǎn)評(píng)很重要,這需要教師精心備課.學(xué)生給出的解法多種多樣,教師隨時(shí)都要把握學(xué)生解法的精髓.教學(xué)中,針對(duì)學(xué)生的第一類(lèi)解法,通過(guò)點(diǎn)撥,幫助和鼓勵(lì)他們把問(wèn)題解決徹底.很顯然第一類(lèi)解法不是出題人的本意,于是引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換視角.第二類(lèi)解法,不是盯著點(diǎn)P不放,而是放眼望去,讓特殊點(diǎn)躍入眼簾,以形助數(shù)得到直線OP上特殊點(diǎn)的坐標(biāo),然后得到直線OP的表達(dá)式,再聯(lián)立方程組以數(shù)解形,這是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一.第三類(lèi)解法是針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生,兩條直線的夾角正切值公式在解決角度問(wèn)題往往舉重若輕,比如第(2)問(wèn)的解決就可用到.第三類(lèi)解法與第二類(lèi)解法是殊途同歸,最后都是聯(lián)立方程組以數(shù)解形.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升是一個(gè)過(guò)程,它需要在多角度的深切體驗(yàn)中深化.具體知識(shí)與問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維的載體,變換視角解決同一問(wèn)題并發(fā)現(xiàn)這些方法間的關(guān)聯(lián)與統(tǒng)一是提升思維品質(zhì)常用的策略——通俗來(lái)說(shuō)就是辦法總比困難多.變換視角,經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法的過(guò)程,體驗(yàn)解決問(wèn)題的多樣性,掌握分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的一些基本方法.解題教學(xué)中,教師的升華總結(jié)、視角歸類(lèi)可以讓不同層次的學(xué)生都打開(kāi)思路,選擇適合自己的方法走下去,同時(shí)使學(xué)生感受換一種眼光看問(wèn)題,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了提升,思維的深刻性、廣泛性與創(chuàng)新性得到拓展.如果真對(duì)提高學(xué)生思維能力有所幫助,則它不僅僅是一種方式和技巧,說(shuō)它是一種智慧也并不為過(guò).變換視角解題,改變課堂上有人吃不飽、有人消化不了的現(xiàn)象,各層次學(xué)生博采眾長(zhǎng)均有收獲,使眾口難調(diào)的課堂變得眾口能調(diào).