初中數(shù)學(xué)集中思維能力培養(yǎng)的教學(xué)策略

?江蘇省靖江市新港城初級(jí)中學(xué) 朱 淋

集中思維與發(fā)散性思維相對(duì),屬于一種聚合性思維,是將不同角度信息中的本質(zhì)特征提取出來(lái),通過邏輯思考、有序整合,集中解決問題的一種思維方式[1].在學(xué)習(xí)中集中性思維與發(fā)散性思維同樣重要.發(fā)散性思維有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)想象能力和創(chuàng)新意識(shí);集中性思維是推動(dòng)數(shù)學(xué)邏輯思維能力發(fā)展的有效思維形式,有利于在解決問題過程中進(jìn)行抽象和概括,有利于數(shù)學(xué)概念的形成和學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展.如圖1,在解決數(shù)學(xué)問題的思維過程中我們可以有效感知集中思維的價(jià)值.

圖1

本文中結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,闡述在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生集中思維的教學(xué)策略,以促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展,供各位同仁參考!

1 總結(jié)歸納,發(fā)展集中思維能力

教材中的例題和習(xí)題是講授知識(shí)、提升學(xué)生解題能力的重要載體.但例題教學(xué)的作用還不止于此,教師應(yīng)借助例題教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想,提煉數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)和歸納的能力.歸納是數(shù)學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要途徑,引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié),獲得結(jié)論,是符合學(xué)生思維習(xí)慣的一種推理方式,有利于學(xué)生集中思維能力的發(fā)展.

案例1“直線與圓的位置關(guān)系二”例題變式

已知△ABC是圓O的內(nèi)接三角形,∠CAD與∠ABC相等,請(qǐng)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

生1:假設(shè)內(nèi)接三角形ABC為直角三角形,圓心O在三角形的一條邊上,如圖2,AB為圓的直徑,直線AD與圓O相切.

圖2

師:很好,此時(shí)三角形是一種特殊的三角形.如果△ABC為銳角或者鈍角三角形,圓心O與三角形的位置關(guān)系是什么樣的?請(qǐng)嘗試將圖形畫出來(lái).

生2:假設(shè)內(nèi)接三角形為銳角三角形,如圖3,圓心O在△ABC的內(nèi)部;若內(nèi)接三角形為鈍角三角形,如圖4,則圓心O在△ABC的外部.

圖3

圖4

師:很好!觀察這幾個(gè)圖形,我們可以發(fā)現(xiàn)直線AD與圓O都相切.那么,弦切角有什么結(jié)論呢?

生3:因?yàn)椤螩AD與∠ABC相等,所以弦切角與它所夾的弧所對(duì)的圓周角相等.

師:總結(jié)得非常到位!在遇到圓的切線問題時(shí),可以通過弦切角作“切直徑”尋找解決路徑.

本案例主要討論直線與圓的相切問題,教師引導(dǎo)學(xué)生由直角三角形到一般三角形進(jìn)行探討,滲透了從特殊到一般的研究方法,化繁為簡(jiǎn),逐漸明晰解題思路,進(jìn)而解決問題.最后,教師還引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納,獲得一般性的數(shù)學(xué)結(jié)論,這一總結(jié)歸納過程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)猜想、推理和證明的研究方法,是研究數(shù)學(xué)問題的一般過程.由此在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上,更好地發(fā)展學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

2 抽象概括,發(fā)展集中思維能力

抽象與概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵能力,數(shù)學(xué)概念的形成,數(shù)學(xué)定理、命題的發(fā)現(xiàn)都是從具體問題中抽象概括而來(lái)的.抽象是從具體問題中提取本質(zhì)特征,發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律,而將一些非本質(zhì)的和個(gè)性化的特征舍去的思維過程.數(shù)學(xué)概念和定理的學(xué)習(xí),不僅僅要讓學(xué)生記住相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容,更重要的是讓學(xué)生在理論的推導(dǎo)過程中體驗(yàn)知識(shí)的形成過程,使抽象思維與概括能力得到有效鍛煉,從而提升集中思維能力.

案例2“函數(shù)”概念的教學(xué)

師:請(qǐng)大家依次完成以下三道例題.

歐陽(yáng)鋒雙腿發(fā)軟，就差沒跪在地上：“對(duì)不起，大哥，大姐，都怪我，我喝醉了酒，做了不該做的事，可我真的不是故意的，請(qǐng)?jiān)?！?/p>

例1根據(jù)圓的周長(zhǎng)與半徑的關(guān)系式,完成表1.

表1

例2假設(shè)一輛汽車行駛的速度為60 km/h,設(shè)行駛的路程和時(shí)間分別為s(單位:km)和t(單位:h),請(qǐng)寫出s與t的關(guān)系式.

例3圖5是由火柴棒拼出的系列圖形,若第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成,寫出火柴棒的根數(shù)y與正方形個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系式.

圖5

(學(xué)生獨(dú)立完成以上例題.)

師:觀察例1～3的關(guān)系式,可以發(fā)現(xiàn)它們都體現(xiàn)了事物的一個(gè)變化過程,并且每個(gè)關(guān)系式都存在兩個(gè)變量,那么這些變量之間存在什么關(guān)系呢?

生1:如果其中一個(gè)變量的取值發(fā)生變化,另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).

師:很好!這就是一種函數(shù)關(guān)系,由此可以提煉出函數(shù)概念的關(guān)鍵點(diǎn).(1)函數(shù)描述的是一個(gè)變化的過程;(2)存在兩個(gè)變量;(3)變量之間具有對(duì)應(yīng)關(guān)系.

“函數(shù)”概念對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象,倘若將之生硬地輸出,學(xué)生很難真正理解概念的本質(zhì).本案例中通過不同的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析,歸納不同實(shí)例的本質(zhì)屬性,進(jìn)而抽象出函數(shù)的概念,提煉出函數(shù)的本質(zhì)特性.在此基礎(chǔ)上可以通過練習(xí)進(jìn)行鞏固強(qiáng)化,幫助學(xué)生更好地理解和掌握概念.這種抽象與概括數(shù)學(xué)定義的過程不僅使學(xué)生完成了認(rèn)知任務(wù),同時(shí)發(fā)展了思維能力,使學(xué)生的集中思維能力朝著更高層次發(fā)展[2].

3 類比聯(lián)想,發(fā)展集中思維能力

思維的起點(diǎn)在于聯(lián)想,而聯(lián)想產(chǎn)生于類比.數(shù)學(xué)知識(shí)中有許多表面類似而本質(zhì)不同的內(nèi)容,在學(xué)習(xí)過程中可以采用類比和聯(lián)想的方法.教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)將以往類似的問題與新的問題進(jìn)行對(duì)比、分析和聯(lián)想,通過類比,找到共同之處,進(jìn)而尋找解題的路徑,提高學(xué)習(xí)效率,發(fā)展思維能力.

案例3幾何問題

(1)如圖6,在正方形ABCD中,AE與BC相交于點(diǎn)E,作DF與AE垂直并與AB相交于點(diǎn)F,求證:AE=DF.

圖7

圖8

數(shù)學(xué)教材中不同章節(jié)的知識(shí)之間可以相互進(jìn)行類比,如一元一次不等式可以與一元一次方程進(jìn)行類比,相似三角形知識(shí)可以與全等三角形知識(shí)進(jìn)行類比.同一道題的前后問題也能通過類比法進(jìn)行解決.案例3中第(1)問與第(2)(3)問雖然在具體求解上不同,但是解題步驟和思路具有相似性.第(2)問與第(1)問可以進(jìn)行類比,通過平移,第(2)問與第(1)問的圖形是一樣的,設(shè)問看似是從求數(shù)量相等轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟊戎?實(shí)際上仍然是線段之間的數(shù)量關(guān)系;第(3)問可以類比第(2)問的解法,同樣想到平移的方法,只不過將全等圖形變成了相似圖形進(jìn)行求解.本案例通過解題教學(xué)使學(xué)生學(xué)會(huì)分析對(duì)比、聯(lián)想概括,提升解題能力.

綜上所述,集中思維體現(xiàn)了抽象和綜合性的思維過程,有利于促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念,形成理性觀點(diǎn),有效推動(dòng)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展.因此,教師在教學(xué)中要不斷研究實(shí)踐,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析研究,體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論形成的思維過程,發(fā)揮集中思維的積極作用,提升學(xué)生的思維品質(zhì),從而更好地發(fā)展核心素養(yǎng).