初中數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐探究
——以“一次方程與方程組”為例

?合肥市望湖中學(xué) 郭冒強(qiáng) 魏大付

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》明確指出,數(shù)學(xué)教學(xué)要注重知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián),把每堂課的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中,注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系.通過(guò)對(duì)實(shí)際課堂教學(xué)的調(diào)查研究發(fā)現(xiàn),多數(shù)教師以課時(shí)為單位實(shí)施“碎片化”教學(xué).本文中結(jié)合理論對(duì)單元教學(xué)實(shí)際情況進(jìn)行實(shí)踐探究.

1 數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)是在整體思維的導(dǎo)向下,根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),以知識(shí)內(nèi)容、學(xué)科素養(yǎng)、思想方法等為線索,結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維能力,進(jìn)行整體建構(gòu).

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(系統(tǒng))的界定:以教育部教材審定委員會(huì)審定通過(guò)的某一個(gè)版本的教材知識(shí)結(jié)構(gòu)為框架,依據(jù)學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、思維水平和學(xué)生認(rèn)知心理建立的一般性的邏輯聯(lián)系.

結(jié)構(gòu)教學(xué)是以結(jié)構(gòu)為總路徑,以教材的每章、每單元和每節(jié)課的具體知識(shí)結(jié)構(gòu)為主線,以學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)為起點(diǎn),以學(xué)生數(shù)學(xué)思維為銜接形成的符合學(xué)生認(rèn)知水平的邏輯關(guān)系.學(xué)生思維是在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下、在現(xiàn)代信息技術(shù)的促進(jìn)下、在同學(xué)幫助下的即時(shí)“生成”,形成以學(xué)生認(rèn)知的邏輯鏈為路徑的動(dòng)態(tài)而高效的教學(xué).

筆者在該理論的基礎(chǔ)上,結(jié)合單元教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵及課堂教學(xué)的實(shí)際需要,把單元教學(xué)設(shè)計(jì)細(xì)分為如下七個(gè)方面.單元教學(xué)設(shè)計(jì)的一般流程如圖1.

圖1 數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖

2 “一次方程與方程組”單元結(jié)構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)

方程是初中代數(shù)的主要內(nèi)容之一,一次方程與方程組是學(xué)生步入初中之后第一次接觸的方程內(nèi)容,對(duì)奠定學(xué)生的基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)思想有著重要作用.下面以滬科版“一次方程與方程組”為例闡述單元結(jié)構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)的思路和策略.

2.1 知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

(1)教學(xué)內(nèi)容分析

一元一次方程是最簡(jiǎn)單的方程,二元一次方程組是最簡(jiǎn)單的多元方程組,一次方程(組)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和化學(xué)、物理等其他學(xué)科的重要基礎(chǔ).本單元通過(guò)實(shí)際問(wèn)題,建立一次方程(組),體現(xiàn)方程(組)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型.

本單元內(nèi)容是學(xué)生進(jìn)入初中后首次正式接觸方程,對(duì)小學(xué)所學(xué)方程和前兩章內(nèi)容起到“承前”的作用,對(duì)以后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的方程和函數(shù)起到“啟后”的作用.

本單元的重點(diǎn)是一元一次方程和二元一次方程組的解法及它們的應(yīng)用;難點(diǎn)是能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題正確列出方程,用消元法解二元一次方程組.

(2)課標(biāo)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》學(xué)業(yè)要求中指出:能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一次方程,理解一次方程的意義;掌握等式的基本性質(zhì),能根據(jù)等式的基本性質(zhì)解一元一次方程;能根據(jù)二元一次方程組的特征,選擇代入消元法或加減消元法解二元一次方程組;能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)方程的解是否合理.

學(xué)業(yè)質(zhì)量中指出:能從生活情境、數(shù)學(xué)情境中抽象概括出方程的概念,掌握一次方程的求解方法,合理解釋運(yùn)算結(jié)果,形成一定的運(yùn)算能力、推理能力和抽象能力.能從具體的生活與科技情境中,抽象出方程的表達(dá)形式,用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出(或轉(zhuǎn)化為)數(shù)學(xué)問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的思維探索、分析和解決具體情境中的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題,給出數(shù)學(xué)描述和解釋,運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與思想方法,綜合運(yùn)用多個(gè)領(lǐng)域的知識(shí),提出設(shè)計(jì)思路,制訂解決方案.能夠在解決問(wèn)題的過(guò)程中選擇合適的方法進(jìn)行評(píng)估,并對(duì)結(jié)果的實(shí)際意義作出解釋.能夠知道解決問(wèn)題方法的多樣性,具備一定的應(yīng)用意識(shí)和模型意識(shí),初步會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流.能夠從問(wèn)題解決的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

(3)教學(xué)目標(biāo)分析

結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》學(xué)業(yè)要求,初步擬定本單元教學(xué)目標(biāo).經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的分析,感受方程(組)與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系,體會(huì)方程(組)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型;了解一次方程與方程組及其相關(guān)概念,能解一元一次方程和用消元法解方程組,并在此基礎(chǔ)上會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組;能夠根據(jù)具體問(wèn)題,找出數(shù)量關(guān)系,列出方程或方程組,并能根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否合理;在經(jīng)歷建立方程(組)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,體會(huì)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、符號(hào)化思想等,感受數(shù)學(xué)的價(jià)值.

2.2 認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析

學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn),更是進(jìn)行單元教學(xué)的基本前提.首先,在知識(shí)內(nèi)容方面,學(xué)生在小學(xué)已學(xué)過(guò)等式的基本性質(zhì),接觸過(guò)簡(jiǎn)單的方程及解法,所以對(duì)方程并不陌生.同時(shí),在本章之前,學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)、整式的加減等知識(shí),學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有了學(xué)習(xí)方程所需的代數(shù)知識(shí).其次,在思維方面,該階段的學(xué)生思維快速發(fā)展,抽象能力也逐漸增強(qiáng),有一定的探索能力.

2.3 單元課時(shí)安排

根據(jù)班情、學(xué)情,靈活地規(guī)劃本單元具體內(nèi)容與課時(shí)安排,如圖2所示.

圖2 單元教學(xué)內(nèi)容與課時(shí)安排

2.4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一:結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖

在分析教學(xué)要素的基礎(chǔ)上,找到本單元內(nèi)容的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生類比有理數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容構(gòu)建方程的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,讓學(xué)生從整體上建構(gòu)知識(shí).本單元結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖如圖3所示.

圖3 單元結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)構(gòu)建結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖,知道知識(shí)的邏輯聯(lián)系,即了解知識(shí)的“來(lái)龍去脈”,并在頭腦中形成知識(shí)結(jié)構(gòu),從而進(jìn)行有目標(biāo)、有方向的學(xué)習(xí).

環(huán)節(jié)二:問(wèn)題情境

問(wèn)題1猜一猜老師的年齡.

我(老師)年齡的2倍再加上你的年齡(12歲)是120歲,老師年齡為多少?

問(wèn)題2求“代數(shù)學(xué)之父”丟番圖的年齡.

他生命的六分之一是幸福的童年;再活了他生命的十二分之一,兩頰長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的胡須;他結(jié)了婚,又度過(guò)了一生的七分之一;再過(guò)五年,他有了兒子,感到很幸福;可是兒子只活了他父親全部年齡的一半;兒子死后,他在極度的悲痛中度過(guò)了四年,也與世長(zhǎng)辭了.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)用算式與方程兩種方法分別解決問(wèn)題的比較,學(xué)生感受到方程帶來(lái)的直接和便捷,順其自然地得到方程解的概念,從而感受學(xué)習(xí)一元一次方程的必要性和重要性.

環(huán)節(jié)三:建構(gòu)新知

問(wèn)題3嘗試用方程.

根據(jù)下列問(wèn)題 ,設(shè)未知數(shù)并列出方程.

(1)學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì),七(1)班代表隊(duì)中長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員19人,比跳高(遠(yuǎn))運(yùn)動(dòng)員的2倍少1人,參加秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)跳高(遠(yuǎn))運(yùn)動(dòng)員有多少人?

(2)王玲今年12歲,她爸爸36歲,問(wèn)再過(guò)幾年,她爸爸的年齡是她年齡的2倍?

(3)用一根長(zhǎng)12 cm的鐵絲圍成一個(gè)正方形,正方形的邊長(zhǎng)是多少?

(4)某校女生占全體學(xué)生數(shù)的52%,比男生多80人.這個(gè)學(xué)校有多少學(xué)生?

追問(wèn):通過(guò)觀察思考以上問(wèn)題情境中所列方程,你能歸納出一元一次方程的概念嗎?

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這四道小題讓學(xué)生體會(huì)列方程的思考過(guò)程,總結(jié)列方程的步驟.同時(shí),滲透和點(diǎn)明這里和今后一段時(shí)間要體會(huì)的數(shù)學(xué)思想——方程思想.很好地解答了“方程要研究的是什么”這個(gè)問(wèn)題,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察問(wèn)題情境中的方程,根據(jù)它們所具有的共同點(diǎn),總結(jié)歸納出一元一次方程的概念,讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的數(shù)學(xué)化思考過(guò)程.

環(huán)節(jié)四:鞏固應(yīng)用

例1今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問(wèn)雞兔各幾何?

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)對(duì)小學(xué)熟悉的雞兔同籠問(wèn)題的再回顧,再一次體驗(yàn)方程解決問(wèn)題的直接及列方程的過(guò)程,建立二元一次方程,逐步意識(shí)到方程是一個(gè)方便而有效的數(shù)學(xué)工具.

環(huán)節(jié)五:課堂總結(jié)

(1)教學(xué)過(guò)程總結(jié):回顧整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程,如圖4.

圖4

(2)知識(shí)方法總結(jié):總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)和方法以及注意事項(xiàng).

(3)思維思想總結(jié):總結(jié)本節(jié)課用到的思維方式和思想方法.

(4)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖總結(jié):再次回到結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖,提示完成本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容后,從完善單元結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖看已經(jīng)學(xué)習(xí)到什么地方,明天要學(xué)習(xí)什么?學(xué)有余力者,預(yù)習(xí)下節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

環(huán)節(jié)六:課后作業(yè)

(1)基礎(chǔ)性(1～3題)

(2)綜合性(1題)

(3)拓展性(或?qū)嵺`性或創(chuàng)新性)(1題)

2.5 評(píng)價(jià)與反思

單元教學(xué)實(shí)施之前教師應(yīng)編制評(píng)價(jià)量化表,在教學(xué)中與教學(xué)后對(duì)學(xué)生和課堂進(jìn)行評(píng)價(jià)反思,找出存在的問(wèn)題,并對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行調(diào)整改進(jìn).評(píng)價(jià)與反思是提高教學(xué)質(zhì)量以及教師教育教學(xué)能力的重要環(huán)節(jié).