巖石力學(xué)課中軟巖地基極限承載力計(jì)算方法的推演與教學(xué)設(shè)計(jì)

周曉軍

（西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031）

巖石力學(xué)是西南交通大學(xué)面向土木工程專業(yè)、城市地下空間工程專業(yè)和工程地質(zhì)專業(yè)本科生而開設(shè)的一門必修專業(yè)基礎(chǔ)課程。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生能夠了解和掌握巖石力學(xué)中的基本概念、基本理論和計(jì)算方法，為學(xué)生今后從事土木工程、城市地下空間工程中與巖石力學(xué)相關(guān)的工程設(shè)計(jì)和施工以及學(xué)術(shù)深造奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。巖石力學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容較多，其中軟巖地基承載能力的計(jì)算是課程教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，如何使學(xué)生能夠較好地理解和掌握軟巖地基承載力的計(jì)算方法，是巖石力學(xué)課程教學(xué)設(shè)計(jì)和講授方法中需要探討和研究的問(wèn)題之一。就國(guó)內(nèi)目前使用的巖石力學(xué)教材[1]而言，對(duì)軟巖地基極限承載力計(jì)算方法的講解并不完整和詳實(shí)，僅在教材中簡(jiǎn)要列出了巖石地基承載力的計(jì)算表達(dá)式[2-5]。在對(duì)本內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生無(wú)法了解具體的力學(xué)模型和詳盡的推演過(guò)程，因而不能明確理解和掌握軟巖地基承載力的計(jì)算方法，給課程內(nèi)容的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)均帶來(lái)不便，難以實(shí)現(xiàn)和達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。本文結(jié)合巖石力學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐，就軟巖地基極限承載力計(jì)算方法的推演過(guò)程和相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行總結(jié)與分析，通過(guò)對(duì)課程講授內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐，取得了良好的教學(xué)效果。

一 巖石基地承載力計(jì)算模型的建立

為便于本科生理解和掌握軟巖地基極限承載能力的計(jì)算方法，在課堂講授此部分內(nèi)容時(shí)主要從軟巖地基剪切破壞的力學(xué)模型、基本假設(shè)、應(yīng)力與作用力轉(zhuǎn)換與分析、二維坐標(biāo)系中靜力平衡以及Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則的應(yīng)用等開展。首先需要建立分析軟巖地基承載能力的力學(xué)模型，而模型的建立需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用已經(jīng)講授過(guò)的Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則。為便于學(xué)生理解和掌握，建立如圖1 所示的計(jì)算和分析軟巖地基承載力的力學(xué)模型。

圖1 軟巖地基極限承載力的力學(xué)模型

結(jié)合圖1 的力學(xué)模型，需要向?qū)W生講解軟巖地基發(fā)生破壞的模式和相關(guān)的計(jì)算參數(shù)，為便于推演軟巖地基的極限承載能力，主要設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容如下。

巖石地基的寬度為b，其所承受的均布荷載為ql。臨近地基的附加荷載為qs。當(dāng)軟巖地基在均布荷載ql作用下發(fā)生剪切破壞時(shí)，地基內(nèi)的巖石則會(huì)形成兩個(gè)相互垂直的平直剪切面AB 和BC，而AC 平面即為巖石地基所在的地面。由此△ABC 所包圍的巖石即為受剪切破壞的巖石地基，而此時(shí)的均布荷載值ql即為巖石地基的極限承載力，也是需要求解的未知量。在△ABC 中AC 邊上的高h(yuǎn) 即為巖石地基發(fā)生剪切破壞的垂直深度。

為便于分析，將△ABC 所包圍的巖石塊體以AC邊上的高所在的邊BD 劃分為△ABD 和△BCD 2 個(gè)區(qū)域，并將△ABD 視為主動(dòng)破壞區(qū)，而△BCD 則視為被動(dòng)破壞區(qū)，△ABD 所包圍的巖石的黏聚力和內(nèi)摩擦角分別為c1和φ1，其容重為γ1，對(duì)應(yīng)的巖石塊體重量為W1，而△BCD 所包圍的巖石的黏聚力和內(nèi)摩擦角分別為c2和φ2，其容重為γ2，所對(duì)應(yīng)的巖石塊體重量為W2。

△ABC 內(nèi)的巖石沿剪切面AB 和BC 走向上的厚度遠(yuǎn)大于剪切面AB 和BC 所在邊的長(zhǎng)度，因而巖石地基屬于彈性力學(xué)中的平面應(yīng)變問(wèn)題，在分析中可取其單位厚度進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)可將△ABC 內(nèi)的巖石視為均質(zhì)巖石，且在平面AC 上無(wú)剪應(yīng)力，在DB 面上也無(wú)剪應(yīng)力。

巖石地基的剪切破壞面AB 與水平面AC 之間的夾角為α。

根據(jù)上述力學(xué)模型和采用的相關(guān)參數(shù)即可對(duì)巖石地基中主動(dòng)區(qū)和被動(dòng)區(qū)巖石的靜力平衡狀態(tài)以及巖石承載力的計(jì)算方法進(jìn)行分析與推演。

二 巖石地基極限平衡狀態(tài)及其應(yīng)力分析

根據(jù)圖1 所建立的巖石地基剪切破壞力學(xué)模型，當(dāng)?shù)鼗暮奢dql達(dá)到地基極限承載能力時(shí)，主動(dòng)區(qū)△ABD內(nèi)的巖石受壓沿剪切面AB 破壞后擠壓被動(dòng)區(qū)△BCD內(nèi)的巖石，并且使被動(dòng)區(qū)△BCD 內(nèi)的巖石沿剪切面BC發(fā)生剪切破壞。由此，主動(dòng)區(qū)巖石會(huì)對(duì)被動(dòng)區(qū)巖石施加水平擠壓應(yīng)力σm，而被動(dòng)區(qū)巖石又會(huì)對(duì)主動(dòng)區(qū)巖石施加水平頂推應(yīng)力σm，兩者數(shù)值相等，方向相反，均以法向應(yīng)力的方式作用于BD 面上，如圖1 所示。由于巖石地基AC 面和BD 面上無(wú)剪應(yīng)力，因此這2 個(gè)平面為主平面，且其上的法向應(yīng)力即為巖石地基的最大或最小主應(yīng)力。

為便于學(xué)生理解，首先以主動(dòng)區(qū)△ABD 為研究對(duì)象，對(duì)其在各個(gè)面上的應(yīng)力進(jìn)行分析。AD 面上承受的應(yīng)力即為地基的極限承載力ql，也是需要求解的未知量。BD 面上的應(yīng)力即為被動(dòng)區(qū)△BCD 的頂推應(yīng)力σm，剪切破壞面AB 上則有法向壓應(yīng)力σAB和剪切應(yīng)力τAB，由此可得到主動(dòng)區(qū)△ABD 各面上巖石所承受的應(yīng)力及其分布狀態(tài)如圖2 所示。

圖2 主動(dòng)區(qū)巖石的應(yīng)力狀態(tài)

為便于在課堂講授，并使學(xué)生理解和掌握應(yīng)力的分析方法，先分析主動(dòng)區(qū)△ABD 所包圍的巖石靜力平衡狀態(tài)。為此，在圖2 所示的主動(dòng)區(qū)△ABD 中建立平面二維坐標(biāo)系Oxy，并將剪切面AB 上的法向應(yīng)力σAB和剪切應(yīng)力τAB所對(duì)應(yīng)的法向和切向作用力沿x 軸和y 軸方向進(jìn)行力的矢量分解，即可得到主動(dòng)區(qū)△ABD 內(nèi)巖石的靜力平衡關(guān)系式。在此，需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)的是剪切面上的應(yīng)力和作用力是不同的概念。需要將剪切面上的應(yīng)力換算成相應(yīng)的作用力。經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換主動(dòng)區(qū)△ABD 中各個(gè)面上引起應(yīng)力的作用力如圖3 所示。圖3 中，F(xiàn)1代表AD面上的作用力，F(xiàn)2代表BD 面上的作用力，剪切面AB 上的法向作用力為N，其在x 軸和y 軸方向上的分量分別為Nx和Ny，剪切面AB 上的剪切力為T，其在x 軸和y軸方向上的分量分別為Tx和Ty。

圖3 主動(dòng)區(qū)巖石受力

在Oxy 坐標(biāo)系中法向作用力N 與其在x 軸和y 軸方向分量之間的關(guān)系式為

而切向作用力T 與其在x 軸和y 軸方向分量之間的關(guān)系式為

主動(dòng)區(qū)△ABD 各面上的作用力和應(yīng)力之間的換算關(guān)系為

對(duì)于式（3）而言，在講授時(shí)需要向?qū)W生說(shuō)明，式（3）中的SAD、SBD和SAB分別代表各面的面積。此處的面積實(shí)際上分別為△ABD 各邊的邊長(zhǎng)與巖石地基沿其走向上單位厚度的乘積。

將主動(dòng)區(qū)△ABD 各面上的應(yīng)力轉(zhuǎn)換為作用力后，即可在Oxy 二維平面坐標(biāo)系中進(jìn)行靜力平衡分析，并分別沿x 軸和y 軸方向建立靜力平衡關(guān)系式，即ΣFx=0 和ΣFy=0，由此得到

式（4）中W1為△ABD 包圍的巖石重量，根據(jù)直角△ABD 的幾何關(guān)系，可求得其重量W1為

將式（1）、式（2）、式（3）和式（5）分別代入式（4）中，并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后得到以應(yīng)力表示的主動(dòng)區(qū)△ABD 內(nèi)巖石的靜力平衡方程為

由式（6）即可求得剪切破壞面AB 上的法向應(yīng)力σAB和剪應(yīng)力τAB的表達(dá)式為

對(duì)于主動(dòng)區(qū)△ABD 內(nèi)的巖石而言，其發(fā)生剪切破壞時(shí)破壞面AB 上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力應(yīng)當(dāng)滿足Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則，即

將式（7）代入式（8）可得

從式（9）可以看出，軟巖地基的極限承載力ql水平擠壓應(yīng)力σm、主動(dòng)區(qū)△ABD 內(nèi)巖石的黏聚力c1、內(nèi)摩擦角φ1、巖石容重γ1、剪切面AB 與水平面之間的夾角α以及巖石剪切破裂深度h 的影響。

由于式（9）中尚未求出水平擠壓應(yīng)力σm，因此還需要借助被動(dòng)區(qū)△BCD 來(lái)進(jìn)行分析。設(shè)被動(dòng)區(qū)△BCD 所包圍的巖石受主動(dòng)區(qū)擠壓而沿剪切面BC 發(fā)生剪切破壞，則剪切破壞面BC 上的法向應(yīng)力為σBC而剪切應(yīng)力為τBC。主動(dòng)區(qū)△ABD 內(nèi)的巖石施加在被動(dòng)區(qū)△BCD 巖石中BD 面上的水平擠壓應(yīng)力為σm，由△BCD 所包圍的巖石重量為W2。為便于分析，在△BCD 區(qū)域內(nèi)建立Oxy二維平面坐標(biāo)系，如圖4 所示。

圖4 被動(dòng)區(qū)巖石的極限應(yīng)力狀態(tài)

與前文中分析主動(dòng)區(qū)△ABD 內(nèi)的巖石靜力平衡關(guān)系式的方法相同，將被動(dòng)區(qū)△BCD 內(nèi)剪切面BC 上的法向應(yīng)力σBC和剪應(yīng)力τBC換算成相應(yīng)的作用力，并對(duì)其沿x 軸和y 軸方向上分別進(jìn)行力的矢量分解，由此可得到被動(dòng)區(qū)△BCD 中以應(yīng)力表示的巖石靜力平衡方程式為

由式（10）即可求得剪切面BC 上的法向應(yīng)力σBC和剪切應(yīng)力τBC，即

對(duì)于被動(dòng)區(qū)△BCD 內(nèi)的巖石而言，其黏聚力和內(nèi)摩擦角分別為c2和φ2，當(dāng)其沿剪切面BC 發(fā)生剪切破壞時(shí)，剪切面上的法向應(yīng)力σBC和剪應(yīng)力τBC也應(yīng)當(dāng)滿足Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則，即

將式（11）代入式（12）可得

由此便得到了主動(dòng)區(qū)和被動(dòng)區(qū)之間的相互間的水平擠壓應(yīng)力σm。將式（13）代入式（9）即可得到巖石地基的極限承載力ql的表達(dá)式為

式（14）就是完整軟巖中巖石地基極限承載力的計(jì)算表達(dá)式。根據(jù)式（14）分析，軟巖地基極限承載力受被動(dòng)區(qū)地面上的附加荷載、巖石黏聚力與內(nèi)摩擦角、巖石容重和巖石剪切破壞深度等因素的影響。

就式（14）而言，其中涉及的參數(shù)較多，在實(shí)際計(jì)算中較為繁瑣。為便于工程應(yīng)用，可設(shè)主動(dòng)區(qū)△ABD 和被動(dòng)區(qū)△BCD 所包圍的巖石黏聚力相同，即c1=c2=c；兩者的內(nèi)摩擦角相同，即φ1=φ2=φ；使巖石的容重也相同，即γ1=γ2=γ，由此式（14）可簡(jiǎn)化為

根據(jù)Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則，巖石發(fā)生剪切破壞時(shí)破壞面AB 與最大主平面AD 之間的夾角α 應(yīng)滿足

將式（16）代入式（15）可得

再利用主動(dòng)區(qū)△ABD 中角α 的正切關(guān)系式可得 h=btanα，將其代入式（17）可得

為便于實(shí)際應(yīng)用，可將式（18）改寫為

式（19）中的3 個(gè)系數(shù)分別為λr，λc和λq將其稱為巖石地基的承載力系數(shù)，3 個(gè)系數(shù)分別為

至此，經(jīng)過(guò)上述的推演所得到的式（19）即為完整軟巖地基極限承載力的計(jì)算公式。為便于在實(shí)際工程中應(yīng)用，可在極限承載力計(jì)算值的基礎(chǔ)上考慮一定的安全系數(shù)Fs，便可得到完整軟巖中地基承載力的容許值qa，即

式（21）中的安全系數(shù)Fs一般可取為2～3。當(dāng)巖石地基考慮地震和風(fēng)荷載時(shí)安全系數(shù)取2，當(dāng)基礎(chǔ)承受最大活荷載時(shí)安全系數(shù)取3。

三 討論與分析

在得到軟巖地基極限承載力計(jì)算表達(dá)式以后，為使學(xué)生更深入地掌握其用法，還可結(jié)合實(shí)際對(duì)計(jì)算公式在特殊工程條件下的應(yīng)用進(jìn)行討論與分析。主要討論的內(nèi)容包括2 個(gè)方面。

當(dāng)被動(dòng)區(qū)巖石在AC 面上無(wú)附加荷載即qs=0 時(shí)，則式（19）即可簡(jiǎn)化為

由式（22）可得，此時(shí)軟巖地基的極限承載力受巖石內(nèi)摩擦角、黏聚力、巖石容重和巖石地基的寬度控制。

當(dāng)被動(dòng)區(qū)巖石在AC 面上無(wú)附加應(yīng)力即qs=0，且不考慮巖石塊體的自重時(shí)，則式（19）可簡(jiǎn)化為

此時(shí)，軟巖地基的極限承載力僅由巖石的黏聚力和內(nèi)摩擦角提供。由式（23）可使學(xué)生進(jìn)一步明確巖石黏聚力c 和內(nèi)摩擦角φ 對(duì)巖石地基工程的實(shí)際意義。

通過(guò)以上對(duì)軟巖地基極限承載力計(jì)算過(guò)程的推導(dǎo)和教學(xué)設(shè)計(jì)，使巖石地基承載力的概念和計(jì)算方法的分析思路更加清晰和明確，有利于學(xué)生理解和掌握所講授的知識(shí)點(diǎn)和推演方法。將上述推演方法和教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)2020—2022 年間西南交通大學(xué)開設(shè)巖石力學(xué)課程中的教學(xué)實(shí)踐表明，選修該課程的本科生中經(jīng)考核約90%的學(xué)生均能理解和掌握軟巖地基承載力的計(jì)算方法，教學(xué)效果良好，達(dá)到和實(shí)現(xiàn)了課程教學(xué)大綱中對(duì)學(xué)生應(yīng)掌握軟石地基承載力計(jì)算方法的教學(xué)目標(biāo)和要求。

四 結(jié)束語(yǔ)

軟巖地基極限承載力的計(jì)算一直是巖石力學(xué)課程中重要的講授內(nèi)容，但現(xiàn)有的教材和參考文獻(xiàn)中對(duì)推演過(guò)程和計(jì)算方法的講解并不明確與詳實(shí)，不便于學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解。本文結(jié)合對(duì)此內(nèi)容的具體教學(xué)實(shí)踐，給出了軟巖地基極限承載力及其容許值的推演過(guò)程和計(jì)算方法的教學(xué)設(shè)計(jì)。通過(guò)對(duì)軟巖地基剪切破壞的力學(xué)模型、主動(dòng)區(qū)和被動(dòng)區(qū)巖石應(yīng)力、剪切面應(yīng)力與作用力之間的換算、巖石發(fā)生剪切破壞的極限平衡條件以及巖石Mohr-Coulomb 剪切強(qiáng)度的講解和推演，使學(xué)生更容易理解和掌握相應(yīng)的力學(xué)原理與計(jì)算方法，因而可實(shí)現(xiàn)良好的教學(xué)效果。