基于圖示構建的數(shù)學內(nèi)容結構化設計：要義、特征與路徑

張香

隨著《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的落地、實施，“新課標”突出的變化是課程內(nèi)容的組織強調(diào)“重點是對內(nèi)容進行結構化整合，探索發(fā)展學生核心素養(yǎng)的路徑”。小學數(shù)學知識橫、縱交錯，關聯(lián)性強，內(nèi)容結構化設計應立足于整體視域，基于圖示構建實現(xiàn)課時內(nèi)容之間的關聯(lián)性與遞進性，有效支持學生將頭腦中的碎片化知識遞進化、結構化、體系化，促進知識遷移、聯(lián)結、推理、應用等，進而形成知識網(wǎng)絡體系架構，以此增強學生對數(shù)學知識的理解。那么，如何在圖示構建下進行內(nèi)容結構化設計，掌握基本教學策略呢？下面筆者從透視問題、要義解析、表現(xiàn)特征、圖示構建的實施路徑等關鍵點進行闡述。

一、內(nèi)容結構化設計存在的問題

在近年來的小學數(shù)學教學中，為了凸顯教學的“結構化”，教師往往會將教學內(nèi)容進行簡單的結構化設計，通過不同的學習過程建立學習內(nèi)容之間的關聯(lián)，以此幫助學生形成數(shù)學知識發(fā)展的體系。但在內(nèi)容結構化的設計上卻存在著以下問題。

（一）內(nèi)容結構化設計流于形式，“結構”缺乏深度

在課堂教學中，教師通常把一系列相關的知識羅列在一起，讓學生比較它們之間的關系。這種做法看似進行了結構化學習，但學生對于知識點之間的聯(lián)結點是什么，為什么這些知識點之間會有這樣的關聯(lián)，其背后蘊含的數(shù)學內(nèi)涵、定義、道理等都沒有進行系列思考，學生對數(shù)學知識的聯(lián)系缺乏多層次的感悟與提煉。

例如，教學人教版小學數(shù)學教材六年級上冊“百分數(shù)的認識”時，為了突出內(nèi)容結構化設計，教師在黑板上書寫了一個百分數(shù)，讓學生思考這個百分數(shù)寫成的分數(shù)、小數(shù)分別是什么，學生在舉例說明后，教師及時在百分數(shù)左右兩邊分別畫上箭頭并書寫分數(shù)、小數(shù)，強調(diào)它們之間的關系。這樣的教學，學生雖被喚醒了原有的認知經(jīng)驗，但仍停留于形式、表面，無法在認知沖突中理解百分數(shù)與分數(shù)、小數(shù)、倍、比等之間的關系。教師未能對百分數(shù)便于比較、統(tǒng)計的特點挖掘出來，失去了內(nèi)容結構化設計的意義。

（二）內(nèi)容結構化設計缺乏主動建構過程，“結構”停留于點狀拼接

多項實驗研究表明，學生學習數(shù)學的過程是一個不斷再創(chuàng)造的過程。基于先前認知經(jīng)驗而逐步形成自我意識樣態(tài)，經(jīng)歷從具體到抽象再回到具體的認知發(fā)展進程。這里的學習發(fā)展路徑其實就是通過具體與抽象之間的相互促進、協(xié)同來反映學習的內(nèi)在認知發(fā)展規(guī)律，通過具體、抽象之間的順向、逆向聯(lián)結，體現(xiàn)出一個自然的認知發(fā)展過程，學生在此基礎上建構、形成數(shù)學知識網(wǎng)絡。內(nèi)容結構化設計應與此相適應，需要留足時間給學生探究、思考、理解，讓學生在經(jīng)歷經(jīng)驗感悟、挑戰(zhàn)任務的過程中主動建構知識。

例如，教學人教版小學數(shù)學教材五年級上冊“植樹問題”時，教師為了讓學生在結構化內(nèi)容中感知化繁為簡的數(shù)學思想方法，進一步培養(yǎng)模型意識，將原有的三個例題整合為一個開放性的植樹問題，讓學生根據(jù)“兩端種、兩端不種、只種一端”的情況進行探究。需要說明的是，植樹問題的關鍵在于找到點與間隔數(shù)之間的模型關系，將棵數(shù)與長度轉化為生活中的其他數(shù)學模型。這就需要教師留足時間給學生探究，引導學生思考、體驗與理解植樹問題隱藏的規(guī)律。但由于教師忽略了內(nèi)容結構化設計，在學生各自完成三種植樹情況的解答后就匆忙進行歸納、總結，導致內(nèi)容結構化設計的意義缺失。

二、厘清基于圖示構建的要義

（一）數(shù)學內(nèi)容結構化的價值

小學數(shù)學內(nèi)容突出知識本質(zhì)的內(nèi)涵，指向的是各部分知識內(nèi)容間的整體協(xié)同、相互滲透，呈現(xiàn)出較為豐富、多元的思維路徑。因而，數(shù)學知識所反映的內(nèi)容具有整體建構、融會貫通的認知特點，便于學生理解和接受。

結構化的數(shù)學知識能促進學生學習拾級而上。學生的思考是從無序到有序的過程，不是單一、線性的串聯(lián)思維模式，而是在融通的過程中將各個思考環(huán)節(jié)有序地調(diào)控。

（二）圖示構建的意義特征

在教學中，多數(shù)教師會使用思維導圖進行內(nèi)容結構化設計；也有部分教師習慣將概念圖用于內(nèi)容結構化設計，他們認為概念圖簡單、明了，能體現(xiàn)知識間的關聯(lián)。相比之下，圖示構建趨向于知識圖譜，在知識領域中進行知識的獲取、融合儲存、知識推理及知識體系間的應用，聚焦核心知識關聯(lián)、整合、遞進等。

數(shù)學知識圖示以知識的關聯(lián)、遷移等呈現(xiàn)為主，通過思維表征化外顯的形態(tài)，體現(xiàn)數(shù)學知識與方法之間的內(nèi)在邏輯關系，具有整體性、關聯(lián)性、表征性、可視性等特點。圖示的構建能促進學生在學習過程中的能動性，讓學生自主將獲取到的知識信息與原有的知識經(jīng)驗進行溝通、完善，不斷整合、深化知識，形成系統(tǒng)結構、縝密的邏輯思維，從而促進學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展（如圖1）。

因此，將數(shù)學內(nèi)容進行結構化設計可以使零散的內(nèi)容與核心概念產(chǎn)生關聯(lián)，知識的核心概念或關鍵概念、大概念、大觀念等都可以用零散的內(nèi)容聯(lián)系起來，促進知識與方法的遷移，讓學習呈現(xiàn)出不斷進階的形態(tài)。

三、圖示構建下內(nèi)容結構化設計應立足表現(xiàn)特征

建立具有結構化特點的數(shù)學知識體系，不僅方便學生從整體的角度去梳理、理解數(shù)學內(nèi)容的思想方法，還能讓學生感受數(shù)學知識的本質(zhì)與內(nèi)涵，體會到知識的遷移與應用的價值。

（一）整合學習內(nèi)容，體現(xiàn)結構設計的整體性

不同的數(shù)學知識之間具有本質(zhì)特征的關聯(lián)，體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)容與數(shù)學思想方法之間的聚合，呈現(xiàn)出整體性。小學數(shù)學的整體性就是把相同本質(zhì)特征的數(shù)學知識內(nèi)容進行整合，正如馬云鵬教授多次提到的，把具有相同本質(zhì)特征的內(nèi)容放到一個主題里，通過主題整合的方式呈現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)容的整體性。

由此，數(shù)學內(nèi)容在橫向發(fā)展中的四大領域主題不變，不同學段在縱向銜接過程中體現(xiàn)出學習內(nèi)容的遞進化。例如，第一至第三學段均有數(shù)與運算、數(shù)量關系內(nèi)容，如“路程=速度×時間”在第三、四學段呈現(xiàn)更多的是物理量的變化關系，這樣的整體性更加利于學生學習。

（二）突出學科本質(zhì)，反映結構設計的一致性

小學數(shù)學四大領域內(nèi)容，通過主題整合的方式呈現(xiàn)、劃分為七大主題，充分體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)容的整體性，還反映了主題內(nèi)的知識本質(zhì)的一致性，這正是內(nèi)容結構化特征的一大特色。不難發(fā)現(xiàn)，通過學習內(nèi)容主題重組的方式，數(shù)學學科本質(zhì)一致性就是聚焦一個大主題統(tǒng)領的核心概念，將一個或幾個核心概念貫穿于整個主題，雖然在不同學段的表現(xiàn)水平不一樣，但本質(zhì)特征均具有一致性，因而體現(xiàn)的核心素養(yǎng)也具有一致性。

例如，從四年級除法“商不變的性質(zhì)”到五年級“分數(shù)的基本性質(zhì)”再到六年級的“比的基本性質(zhì)”，可以發(fā)現(xiàn)它們反映出除法、分數(shù)、比等三者之間的相關關系一致性的特點。又比如，在除法運算中，從整數(shù)除法的計量單位轉換到小數(shù)除法的計數(shù)單位，它們之間表現(xiàn)出運算意義上的同步轉化及細分單位的一致性，這樣的關聯(lián)在打通整數(shù)、小數(shù)意義的同時，建立了計量單位與計數(shù)單位之間表達的一致性。

（三）表現(xiàn)學生學習，呈現(xiàn)結構設計的階段性

根據(jù)學生年齡特征和學習需要，小學階段數(shù)學課程內(nèi)容的各學習主題以螺旋式上升的方式被安排在三個學段。例如，第二學段“圖形的認識與測量”內(nèi)容，學生在平面圖形、立體圖形之間的關系認識過程中感悟圖形的抽象，進而形成空間觀念及初步的幾何直觀。到了第三學段，學生則在度量角度中加深對圖形的認識，如三角形的三邊關系可以借助小棒等學具探究發(fā)現(xiàn)，六年級可以借助尺規(guī)作圖深入理解三邊關系，由感性認識上升到理性認識，在體現(xiàn)內(nèi)容的整體性和學科本質(zhì)一致性的同時，各學段內(nèi)容的選擇和設計呈現(xiàn)明顯的階段性。

四、圖示構建下內(nèi)容結構化設計的實踐路徑

在小學數(shù)學知識圖示構建中，教師可以深入融合跨學科元素設計圖示的應用模型，主動建構知識，擴充知識背景及知識領域，在整合、統(tǒng)整知識中形成圖示構建的有效模式，體現(xiàn)教、學、評的一致性。

（一）化多為少，分清主次，突出重點

在“數(shù)的認識”中，從整數(shù)到分數(shù)、小數(shù)，都是從數(shù)量多少到數(shù)的大小的抽象過程，數(shù)是數(shù)量的抽象，數(shù)的大小是數(shù)量的多少的抽象?？梢钥闯?，它們在數(shù)的讀寫、表示的意義、數(shù)的比較大小等方面具有一致性，不僅有助于理解數(shù)概念的本質(zhì)，還可以遷移到數(shù)的運算中，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，切實感悟到計數(shù)單位的價值。

“新課標”在教學建議中指出：“在理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)意義的同時，理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)基于計數(shù)單位表達的一致性?！薄靶抡n標”強調(diào)，數(shù)是對數(shù)量的抽象，注重打通數(shù)之間的關聯(lián)、把握數(shù)的一致性。根據(jù)學生學習的特點，學生對于整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)缺乏整體認識、關聯(lián)理解。因此，在教學中，教師要幫助學生從數(shù)的意義、大小關系等方面多角度建立數(shù)概念間的聯(lián)系，讓學生經(jīng)歷具體—抽象—具體的思維過程，促進知識理解，有效遷移方法。鼓勵學生認識“計數(shù)單位”核心概念，聯(lián)結“十進制關系”，在計數(shù)單位個數(shù)“累加”中進一步體會計數(shù)單位的價值，感悟數(shù)的一致性，發(fā)展學生數(shù)感。

（二）化繁為簡，深刻簡約，彰顯核心

“新課標”明確指出：“能進行簡單的小數(shù)、分數(shù)的四則運算和混合運算，感悟運算的一致性，發(fā)展運算能力和推理意識?！笨梢?，數(shù)的運算的重點在于理解算理、掌握算法，與算理直接相關的核心概念是“計數(shù)單位的‘累加’”，這一核心概念分布在四、五年級不同的運算單元中，而這些相關內(nèi)容在學科本質(zhì)上具有一致性，有助于實現(xiàn)知識和方法的遷移。學生通過化繁為簡的方式，把分數(shù)轉化為整數(shù)除法進行運算，可以溝通分數(shù)除法與小數(shù)除法之間的關系，與小數(shù)除法轉化為整數(shù)除法的運算方法是一致的。學生在探究、說理、質(zhì)疑、辨析等過程中，不斷體會單位細分與商不變規(guī)律，在知識的聯(lián)結與遷移中，進一步發(fā)展了運算能力和推理意識。

（三）化行為形，厘清發(fā)展，思維可視

數(shù)學知識之間具有點狀、線性、鏈接式的特點，數(shù)學知識的緣由、定義、意義、特征及本質(zhì)等形成了圖示建構的勾連要素，各模塊內(nèi)容的重組、整合、聚焦等也表明學生在認知結構中已構建數(shù)學知識體系。下面筆者分別以單課時、單元內(nèi)容結構設計為例，進行圖示建構的相關說明。

1.單課時結構體現(xiàn)。平移是一種基本的圖形變換，在小學數(shù)學知識領域中，平移是圖形的位置與運動主題下的內(nèi)容。學生在二年級已經(jīng)初步感知了生活中的平移現(xiàn)象及特征，在動作表征中能借助方格圖將簡單的圖形沿水平或垂直方向平移。教師要幫助學生建立空間觀念，發(fā)展空間想象能力，在多元化的活動中感悟變與不變的數(shù)學思想方法（如圖2）。

本圖示的設計，基于直線運動核心內(nèi)容，從位置、形狀、大小等方面進行主動建構，在原有的認知基礎上，在知識融合過程中將各個知識點聯(lián)系起來，以此建構分層次的知識體系。學生聚焦核心內(nèi)容，在主題任務結構下進一步發(fā)現(xiàn)、探索平移的特點，同時綜合運用已儲存的認知經(jīng)驗對平移進行辨析、判斷，提升學生思維能力，進一步發(fā)展學生的空間觀念。

2.單元結構設計體現(xiàn)?！捌叫兴倪呅魏吞菪巍边@一單元是學生學習平行四邊形、三角形、梯形等多邊形面積的基礎，也是學習長方體、正方體等幾何體的基礎。根據(jù)人教版教材內(nèi)容編排可知，本單元的知識框架呈現(xiàn)的僅是點狀知識，無法將碎片化的各知識模塊進行組合、提煉。從整體上看，學生需要理解平行與垂直的概念，在操作、探究過程中掌握平行四邊形和梯形的特征，同時會運用分類、比較、歸納等多種方式掌握各四邊形之間的關系（如圖3）。

因此，在單元整體教學理念引領下，依據(jù)教材和學生認知規(guī)律，從課程視域、單元整體的視角，統(tǒng)籌規(guī)劃、系統(tǒng)思考、全面育人，緊扣學段目標，從整體上建構內(nèi)容豐富、形式多樣、評價多元的數(shù)學知識體系。以數(shù)學知識為研究對象，通過思維可視化的方式揭示平面圖形之間的內(nèi)在邏輯關系及相互發(fā)展的關系，具有整體性、關聯(lián)性、表征性、可視性等特點。教師一方面應引導學生從邊的位置關系和角的特點去辨析圖形特征，喚醒原有的經(jīng)驗感悟；另一方面教師將平行四邊形與長方形、正方形、梯形等建立關聯(lián)，將新獲取的知識與已有知識經(jīng)驗進行多層次、不同角度地整合內(nèi)化，形成知識系統(tǒng)結構，進一步發(fā)展學生的空間觀念及幾何直觀等。

（作者單位：福建省廈門實驗小學）