小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透策略

陳夢(mèng)嵐

當(dāng)下正是培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵時(shí)期，將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)，能幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以分別在課前導(dǎo)入、概念講解、難點(diǎn)教學(xué)、計(jì)算教學(xué)訓(xùn)練以及數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、抽象能力和創(chuàng)新能力，進(jìn)而形成良好的數(shù)形結(jié)合能力。

數(shù)形結(jié)合是一種將數(shù)與形緊密相連的一種科學(xué)有效的數(shù)學(xué)思想，主要按照“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”的形式展開(kāi)，能夠?qū)⒊橄箅y懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化地呈現(xiàn)出來(lái)，主要被應(yīng)用于解決分?jǐn)?shù)、幾何、方程等數(shù)學(xué)問(wèn)題領(lǐng)域中，通過(guò)將數(shù)化成形、將形變成數(shù)，來(lái)理清數(shù)與形之間的特殊關(guān)系和結(jié)構(gòu)。當(dāng)下小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中難免會(huì)陷入學(xué)習(xí)困境，對(duì)此，本文對(duì)如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行詳細(xì)研究。

一、數(shù)形結(jié)合思想的概述

數(shù)形結(jié)合思想指的是憑借形的生動(dòng)直觀闡述數(shù)之間的關(guān)系。我國(guó)數(shù)形結(jié)合思想最早應(yīng)用于河圖和洛書，通過(guò)圖形空間的建構(gòu)清晰地體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系；在早期的算籌和算盤計(jì)數(shù)工具中也有應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的現(xiàn)象，主要用數(shù)來(lái)思形、用形來(lái)思數(shù)，以詮釋數(shù)學(xué)原理。這里所指的“形”為空間形式的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，如幾何知識(shí)中會(huì)用到正方體、長(zhǎng)方體、模型進(jìn)行表示，還可以用到線段圖、韋恩圖、樹形圖進(jìn)行表示，通常會(huì)用多媒體技術(shù)呈現(xiàn)幾何圖形，讓數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)更加具象化、清晰化，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言用直觀的圖像呈現(xiàn)出來(lái)，關(guān)鍵點(diǎn)就是將代數(shù)問(wèn)題和圖形問(wèn)題得以有效轉(zhuǎn)換?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提到，學(xué)生需要擁有縝密的數(shù)學(xué)思考方式，具備良好的邏輯推理能力。而數(shù)形結(jié)合思想能夠用圖形將數(shù)量關(guān)系緊密地聯(lián)系在一起，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)和問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，是幫助學(xué)生形成良好的發(fā)散思維、邏輯思維、創(chuàng)新思維的有效路徑之一，同時(shí)數(shù)形結(jié)合還具有良好的概括知識(shí)的效果，對(duì)解決數(shù)學(xué)難題有著積極的促進(jìn)作用。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想所面臨的問(wèn)題

目前有些教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法并不科學(xué)，認(rèn)知并不全面，容易降低課堂滲透效果，難以將幾何和數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，致使學(xué)生思維受到嚴(yán)重限制，再加上不同的學(xué)生所接受的教育和學(xué)習(xí)方式存在差異，所以實(shí)際運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力也不相同。有些教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想依舊存在偏差，難以從教材知識(shí)點(diǎn)中深度挖掘可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)，針對(duì)圖形的認(rèn)知、圖形的測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)位置、統(tǒng)計(jì)與概率等都很少應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，從而難以展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的重要作用

（一）能有效揭示抽象的數(shù)量關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)課本中經(jīng)常出現(xiàn)不同的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生正確辨析其中的數(shù)學(xué)奧秘，如小學(xué)高年級(jí)的比例問(wèn)題、分?jǐn)?shù)問(wèn)題、植樹問(wèn)題等，都需要學(xué)生熟知其中的抽象數(shù)量關(guān)系，為了有效揭示彼此之間的數(shù)量關(guān)系，教師會(huì)應(yīng)用到集合圖、線段圖、示意圖等數(shù)形結(jié)合思想，豐富學(xué)生各自的表象，引起學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，能夠有效拓寬學(xué)生的思路，使學(xué)生的思維層次得到有效提高，從而準(zhǔn)確、快速地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（二）能協(xié)助學(xué)生扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)幾何知識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的幾何知識(shí)屬于重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出應(yīng)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確描述幾何圖形和解決幾何問(wèn)題，應(yīng)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的形象思維。教師要憑借數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生建構(gòu)完整的幾何知識(shí)體系，用直觀的圖形表示幾何圖形中的形象關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，學(xué)生親自繪制幾何圖形，能產(chǎn)生豐富的形象思維和再造性想象力，達(dá)到形象思維和抽象思維相輔相成的效果，有助于提高學(xué)生再造幾何圖形的能力。

（三）能有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)辨析能力

處在小學(xué)階段的學(xué)生通常以直觀形象的觀察能力為學(xué)習(xí)行為方式，對(duì)抽象、邏輯性強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)理解得并不深入，在辨析數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中容易產(chǎn)生思考偏差，而教師將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用在學(xué)生辨析數(shù)學(xué)問(wèn)題中，能協(xié)助學(xué)生畫出對(duì)應(yīng)問(wèn)題的圖像，將隱藏的數(shù)學(xué)問(wèn)題顯性化，是一種抽象思維轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笏季S的過(guò)渡形式，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)辨析能力。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法的有效策略

（一）在課前導(dǎo)入中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

馬斯洛曾提出的“需求層次理論”研究中的“尊重需求”明確指出，要在自我尊重的同時(shí)能得到他人的尊重。對(duì)抽象難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)講解來(lái)說(shuō)，課堂前期的導(dǎo)入環(huán)節(jié)尤為重要，教師要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)前期就進(jìn)入注意力集中的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)此，教師可以在課前導(dǎo)入階段運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，有利于讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生濃厚的興趣，使學(xué)生進(jìn)入良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)。

例如，在講授《數(shù)學(xué)廣角──植樹問(wèn)題》時(shí)，這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生能正確理解“總長(zhǎng)=間隔數(shù)×間距”“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，建構(gòu)植樹數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)確理解間隔與棵樹之間的關(guān)系。為此，教師可以借助多媒體技術(shù)創(chuàng)設(shè)情境，出示小學(xué)附近綠化帶栽種的樹木的照片，讓學(xué)生扮演園林設(shè)計(jì)師，思考如果該綠化帶全長(zhǎng)100米，要在每相隔5米處栽種一棵樹，需要種植幾棵樹苗保護(hù)附近的生態(tài)環(huán)境？接著，教師讓學(xué)生用畫線段圖或者擺小棒的方式自主探索，在交流互動(dòng)中規(guī)劃該綠化帶區(qū)域的栽樹情況，學(xué)生要考慮兩端需要栽種的樹，明確其間距、段數(shù)、間隔數(shù)，還會(huì)用到數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行列式。學(xué)生用畫圖的方法演示植樹算法，通過(guò)擺小棒方式或者畫線段圖的方式，清晰地認(rèn)識(shí)到如果兩端都需要栽樹，要先算出段數(shù)的數(shù)值，再求解出棵樹，驗(yàn)證出棵樹=間隔數(shù)+1，從而準(zhǔn)確地找到植樹棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系，最大限度地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在解決植樹問(wèn)題方面的效用。

（二）在數(shù)學(xué)概念講解中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

小學(xué)數(shù)學(xué)高年級(jí)的很多數(shù)學(xué)概念具有抽象性強(qiáng)的特征，對(duì)認(rèn)知度較低，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)較少的小學(xué)生而言有較大的學(xué)習(xí)難度。在以往的教學(xué)中，教師會(huì)直接用口述講解的方式或者讓學(xué)生背記的方式掌握數(shù)學(xué)概念，這種教學(xué)方法短期內(nèi)有效果，但是在長(zhǎng)期訓(xùn)練中難以達(dá)到良好的教學(xué)效果。為此，教師可以在講解數(shù)學(xué)概念期間運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能夠有效降低數(shù)學(xué)知識(shí)難度。

例如，在講授《因數(shù)與倍數(shù)》時(shí)，首先，教師可以利用多媒體技術(shù)展示學(xué)校開(kāi)展運(yùn)動(dòng)會(huì)的圖片，其中，擁有36名學(xué)生和35名學(xué)生的兩個(gè)班級(jí)需要排成兩種隊(duì)形，這時(shí)學(xué)生回答出36人班級(jí)的學(xué)生排成的隊(duì)形可以用“9×4”表示，35人班級(jí)的學(xué)生排成的隊(duì)形可以用“5×7”表示。其次，教師提出問(wèn)題：“9×4=36中誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)又是誰(shuí)的倍數(shù)？”學(xué)生認(rèn)為回答：“數(shù)字4和9是36的因數(shù)，36是4和9的倍數(shù)?！边@種用乘法算式與圖形結(jié)合的方式，可以讓學(xué)生根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的概念準(zhǔn)確地解答倍數(shù)和因數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。再次，教師引導(dǎo)學(xué)生列舉其他例子表述，解答數(shù)與數(shù)之間的倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系，其間，學(xué)生用列式、圈畫等大量舉例內(nèi)容深度理解“行數(shù)為1”這種特殊因數(shù)和倍數(shù)的求解情況。最后，在指導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)因數(shù)和倍數(shù)概念模型時(shí)，教師還可以指導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)子圖明確某個(gè)數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)，學(xué)生通過(guò)明確數(shù)量，找出行數(shù)與每行的數(shù)量乘積，再在圖中圈一圈，在右方寫出9的倍數(shù)，從而準(zhǔn)確地用a×1，a×2，a×3……來(lái)表示，就能找出對(duì)應(yīng)的非零自然數(shù)a的倍數(shù)。通過(guò)親自繪制點(diǎn)子圖，能使學(xué)生正確認(rèn)識(shí)某個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的，其本身屬于最小倍數(shù)，不存在最大倍數(shù)，兩個(gè)臨近倍數(shù)的差相當(dāng)于這個(gè)數(shù)本身，進(jìn)而正確理解倍數(shù)的特征和確定倍數(shù)的有效方法。

（三）在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)課本中的難點(diǎn)是阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵教學(xué)環(huán)節(jié)，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的疑難問(wèn)題。例如，在講解《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》時(shí)，為了讓學(xué)生準(zhǔn)確理解分?jǐn)?shù)的概念及性質(zhì)，教師在課堂上借助孫悟空和八戒偷吃西瓜的動(dòng)畫片，引入分西瓜的分?jǐn)?shù)知識(shí)。首先，教師給出“1/8、1/4”兩個(gè)分?jǐn)?shù)讓學(xué)生思考如何區(qū)分，指導(dǎo)學(xué)生在折紙過(guò)程中涂畫出“1/8、1/4”兩個(gè)長(zhǎng)方形折疊后的份數(shù)。其次，教師繼續(xù)讓學(xué)生折疊，用紅色水彩標(biāo)注“1/8、1/4”的位置，這時(shí)學(xué)生能直觀地發(fā)現(xiàn)，原來(lái)1/4能夠轉(zhuǎn)變?yōu)?個(gè)2/8，而另一張紙依然為1/8，如果將兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，其分母相等，分?jǐn)?shù)單位相同，相加之后就能化簡(jiǎn)變成1/4，學(xué)生通過(guò)觀察兩個(gè)分母找到最小公倍數(shù)，如果3個(gè)1/8相加就等于3/8。學(xué)生在此期間通過(guò)折紙，用水彩圖畫出對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)的位置，從而正確理解分?jǐn)?shù)的概念和性質(zhì)，熟練掌握分?jǐn)?shù)“通分”的具體步驟和異分母相加的算理知識(shí)。

教師還可以引入分蛋糕的教學(xué)情境，讓學(xué)生自主探索如何將一個(gè)蛋糕平均分成8份，引導(dǎo)學(xué)生正確理解分?jǐn)?shù)知識(shí)點(diǎn)中的“平均分”概念。其間，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用圓規(guī)在紙上畫出一個(gè)圓，然后在圓中畫出兩條互相垂直的直徑，明確直徑AC和BD，連接A、B兩點(diǎn)，找出AB線段的中心點(diǎn)，沿著圓心和中心點(diǎn)畫出一條線段，用同樣的方式畫出另一條線段，這樣就能將圓形蛋糕平均分成8等份。接著學(xué)生解答1/8、3/8、5/8等在圓形蛋糕中的體現(xiàn)形式，進(jìn)而有效展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在分?jǐn)?shù)知識(shí)中的有效應(yīng)用方式。

（四）在計(jì)算教學(xué)訓(xùn)練中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，部分小學(xué)生在數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程中容易出現(xiàn)計(jì)算順序不準(zhǔn)確、計(jì)算邏輯混亂等情況，為了讓學(xué)生正確地掌握數(shù)學(xué)算理，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程中存在的問(wèn)題，從而使學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)知識(shí)中的算理和計(jì)算技巧。

例如，在講授《分?jǐn)?shù)除法》課程時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，需要解決類似4/5÷2的計(jì)算題，教師可以展示某個(gè)標(biāo)有刻度的量杯，用圖形的方式展示4/5升的圖像，將4/5平均分成兩份，也就是將4個(gè)1/5分成兩份，每份就是2個(gè)1/5，相等于2/5，這時(shí)學(xué)生就會(huì)知道將分子中的4除以2，得出的商2就是分子，從而準(zhǔn)確理解分?jǐn)?shù)除法法則。教師用數(shù)形結(jié)合的方式，將新舊知識(shí)中的連接點(diǎn)體現(xiàn)出來(lái)，將形的變化轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)符號(hào)，用圖形驗(yàn)證的方式指導(dǎo)學(xué)生解答計(jì)算習(xí)題。

又如，在講解《百分?jǐn)?shù)》課程期間，部分學(xué)生經(jīng)常將百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)或者小數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤，對(duì)此，教師可以使用數(shù)形結(jié)合的方式，引導(dǎo)學(xué)生整理計(jì)算步驟。為了讓學(xué)生了解百分?jǐn)?shù)如何轉(zhuǎn)變成分?jǐn)?shù)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生使用繪制格子圖的方式，找出其中的30%，將30個(gè)小方格圖上紅色，表示30%，其余的部分為70%。接著，用對(duì)應(yīng)的數(shù)值繪制這個(gè)百分?jǐn)?shù)公式，使學(xué)生快速將這個(gè)百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)，即3/10。教師還可以用線段圖指導(dǎo)學(xué)生表示50%，使學(xué)生形成良好的數(shù)形結(jié)合思想。

（五）在數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教材中有大量的數(shù)學(xué)公式，需要學(xué)生熟練掌握公式中各個(gè)數(shù)值的關(guān)系，同時(shí)靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)公式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，并自主推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式。馮·格拉斯菲爾德所提出的“建構(gòu)主義教育理論”明確指出，教學(xué)者可以借助其他媒介引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如，在講授《多邊形的面積》課程時(shí)，為了讓學(xué)生正確理解平行四邊形的面積公式，有效培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，教師提出問(wèn)題：某個(gè)長(zhǎng)方形花壇的面積為6平方米，如果在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)平行四邊形花壇，那么花壇的面積是多少？教師可以運(yùn)用數(shù)方格的方式，展示方格圖，規(guī)定每個(gè)小方格面積為1平方米，然后指導(dǎo)學(xué)生用割補(bǔ)法圍繞這個(gè)長(zhǎng)方形繪制平行四邊形。學(xué)生在反復(fù)嘗試后認(rèn)識(shí)到，原來(lái)平行四邊形中的底邊為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的高，從而正確掌握平行四邊形面積推導(dǎo)公式。

教師還可以指導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)三角形的面積公式，先給出三角形三條邊的數(shù)值，讓學(xué)生將兩個(gè)完全相同的三角形紙片拼接成一個(gè)平行四邊形，學(xué)生在實(shí)踐操作中通過(guò)旋轉(zhuǎn)和拼接，按照最終的計(jì)算數(shù)值就能驗(yàn)證出平行四邊形的面積等于三角形面積的2倍，從而得出三角形的面積=底×高÷2，進(jìn)而有效發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。

五、結(jié)語(yǔ)

總而言之，教師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想優(yōu)化課堂教學(xué)模式，有利于開(kāi)闊學(xué)生的知識(shí)視野，讓學(xué)生擁有良好的抽象思維、邏輯思維和創(chuàng)新思維，進(jìn)而有效展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的效用。

（宋行軍）