工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡預(yù)定義時(shí)間滑模跟蹤控制*

劉宜成,楊海鑫,嚴(yán) 文

(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院,成都 610065)

0 引言

工業(yè)機(jī)器人作為智能制造中的核心裝備之一,其軌跡跟蹤控制性能正得到越來(lái)越多的重視[1]。工業(yè)機(jī)器人軌跡跟蹤控制通常是在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行的[2],即先通過(guò)關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃,得到關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡,再利用軌跡跟蹤控制器與驅(qū)動(dòng)電路,驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)電機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤控制。因此,提高關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制的性能,對(duì)實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人高精度軌跡跟蹤控制有著重要的意義[3]。

滑模控制是一種能夠使系統(tǒng)狀態(tài)沿著所設(shè)計(jì)的滑模面進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的控制器,相較于傳統(tǒng)PID等控制器,滑?？刂破骶哂恤敯粜詮?qiáng)的優(yōu)點(diǎn)[4]。然而傳統(tǒng)滑?？刂破髦荒軐?shí)現(xiàn)誤差漸近收斂,其收斂時(shí)間趨于無(wú)窮[5],對(duì)工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡跟蹤性能提升較小。針對(duì)這一問(wèn)題,很多專家學(xué)者開展了廣泛研究。王朝陽(yáng)等[6]使用非奇異終端滑模和位置前饋相結(jié)合的控制方法,提高了軌跡跟蹤精度,并能夠保證跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零,但是不同的初始狀態(tài)對(duì)收斂速度有著顯著的影響。何欣榮等[7]利用固定時(shí)間穩(wěn)定理論,設(shè)計(jì)了固定時(shí)間滑?？刂破?能夠確保在不同的初始狀態(tài)下,跟蹤誤差都能夠在一個(gè)固定時(shí)間內(nèi)完成收斂,但是該算法參數(shù)較多,且控制器不顯含時(shí)間上界,時(shí)間上界計(jì)算復(fù)雜,不利于工程應(yīng)用。JUAN等[8]提出了一種預(yù)定義時(shí)間收斂的滑模面,將收斂時(shí)間顯含在滑模面中,即預(yù)先定義了收斂時(shí)間,使用Lyapunov方法證明了滑模面的預(yù)定義時(shí)間收斂特性。MUNOZ等[9]將預(yù)定義時(shí)間滑模應(yīng)用到機(jī)械臂控制中,仿真實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的預(yù)定義時(shí)間軌跡跟蹤控制,但是該控制器含有分?jǐn)?shù)指數(shù)運(yùn)算,運(yùn)算較為復(fù)雜,不利于實(shí)時(shí)控制器實(shí)現(xiàn)。

本文使用反正切函數(shù)作為非線性項(xiàng),設(shè)計(jì)了一種新型預(yù)定義時(shí)間滑模面。相較于現(xiàn)有的預(yù)定義時(shí)間滑模面,本文所設(shè)計(jì)的預(yù)定義時(shí)間滑模面減少了滑模參數(shù)數(shù)量,降低了運(yùn)算復(fù)雜程度,并確保了滑模面的非奇異性。同時(shí),使用該新型滑模面設(shè)計(jì)了工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制器,并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。相較于傳統(tǒng)PI控制器和指數(shù)趨近律滑模控制器,本文所設(shè)計(jì)的控制器收斂速度更快,能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)定義時(shí)間收斂的高精度關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制。

1 工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型

工業(yè)機(jī)器人的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)通常使用小體積、輕量化、節(jié)能高效的永磁同步電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)裝置。為了實(shí)現(xiàn)高效、平穩(wěn)傳動(dòng),通常會(huì)使用減速機(jī)來(lái)增大永磁同步電機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩,并降低關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速[10]。工業(yè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)電機(jī)傳動(dòng)鏈如圖1所示。

圖1 工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)傳動(dòng)鏈?zhǔn)疽鈭D

圖中的工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)傳動(dòng)鏈有如下的轉(zhuǎn)矩平衡關(guān)系:

(1)

式中:Jm和JL分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量和連桿負(fù)載慣量,θm和θL分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子角度和關(guān)節(jié)連桿角度,τe為永磁同步電機(jī)產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩,G為減速器減速比,τd為包含摩擦、外部擾動(dòng)的總擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩,存在常數(shù)D,使得|τd|≤D。

根據(jù)式(1),從電機(jī)端看,電機(jī)轉(zhuǎn)子和關(guān)節(jié)連桿傳動(dòng)系統(tǒng)的總慣量為:

(2)

式(2)所表示的慣量也被稱為有效慣量?？梢钥闯?由于減速器的存在,大幅削弱了連桿運(yùn)動(dòng)對(duì)有效慣量的影響,因此當(dāng)減速比較大時(shí),可將式(1)近似為[11]:

(3)

根據(jù)式(3),可寫出工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)永磁同步電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程和轉(zhuǎn)矩方程:

(4)

式中:Kt為永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù),iq為在dq坐標(biāo)系中,永磁同步電機(jī)q軸電流。該式為工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)模型,后續(xù)將基于此模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

2 預(yù)定義時(shí)間收斂理論

考慮如下平衡點(diǎn)為原點(diǎn)的系統(tǒng):

(5)

式中:x(t)是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,f(x(t))是一個(gè)連續(xù)函數(shù),且有f(0)=0。

定義1[12]:假設(shè)系統(tǒng)為全局漸近穩(wěn)定系統(tǒng),若該系統(tǒng)能夠在一個(gè)有限時(shí)間Tc(x(0))內(nèi)收斂到平衡點(diǎn),即當(dāng)時(shí)間t≥Tc時(shí),x(t)=0,則該系統(tǒng)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)。收斂時(shí)間Tc受系統(tǒng)初始狀態(tài)影響。

定義2[13]:假設(shè)系統(tǒng)為全局有限時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng),若收斂時(shí)間Tc存在一個(gè)與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的上界值,則該系統(tǒng)為全局固定時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)。

定義3[8]:假設(shè)系統(tǒng)為全局固定時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng),若狀態(tài)收斂時(shí)間Tc有最小上界,且顯含于函數(shù)f(x(t))中,該則系統(tǒng)為全局預(yù)定義時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)。

下述引理是系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)全局預(yù)定義時(shí)間收斂的充要條件。

引理1[14]:針對(duì)如下系統(tǒng):

(6)

式中:00。若有界函數(shù)g(x)滿足以下條件:

(1)g(x)在(0,+∞)范圍內(nèi)是連續(xù)的,并滿足g(0)=0;

T

(7)

引理2[15]:對(duì)于一個(gè)全局正定的Lyapunov函數(shù)V(x)=|x|,若該Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足:

(8)

式中:m、Tc和g(xm)的定義與引理1中一致,c為一個(gè)常數(shù)。則系統(tǒng)狀態(tài)x將在預(yù)定義時(shí)間Tc內(nèi),收斂到原點(diǎn)附近小領(lǐng)域內(nèi)。滿足式(8)的系統(tǒng)被稱為實(shí)際預(yù)定義時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)。

在實(shí)際控制系統(tǒng)中,由于建模誤差、采樣延遲等因素,無(wú)法實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)收斂到原點(diǎn)的預(yù)定義時(shí)間控制[15],只能實(shí)現(xiàn)收斂到原點(diǎn)附近小鄰域的實(shí)際預(yù)定義時(shí)間收斂。

3 工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

為了讓機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)位置θm能夠跟蹤上期望軌跡θd,定義位置和速度軌跡跟蹤誤差為:

(9)

根據(jù)由式 所描述的工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),可寫出跟蹤誤差的狀態(tài)方程為:

(10)

式中:系數(shù)b=Kt/Jm,擾動(dòng)項(xiàng)d=τd/Jm,控制律u=iq,該控制律的值也為內(nèi)部電流環(huán)的給定值。

選取有界非線性函數(shù):

(11)

該函數(shù)滿足引理1中所有條件,且其導(dǎo)數(shù)形式簡(jiǎn)單,有利于降低控制器復(fù)雜程度。利用該函數(shù)設(shè)計(jì)新型滑模面:

(12)

式中:Tc是預(yù)定義時(shí)間參數(shù),可設(shè)置為任意正實(shí)數(shù);m為一個(gè)正實(shí)數(shù),sgn(·)為符號(hào)函數(shù),其定義為:

(13)

對(duì)滑模面求導(dǎo)可得:

(14)

為了滿足預(yù)定義時(shí)間穩(wěn)定性,并避免滑模面導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)奇異性問(wèn)題,指數(shù)m的選取需要滿足下式:

(15)

設(shè)計(jì)控制律u為:

(16)

式中:k=D/Jm代表擾動(dòng)項(xiàng)的上界值,為一個(gè)已知量。

定理1:對(duì)于系統(tǒng),當(dāng)選用如式(12)所示的滑模面函數(shù)和式(16)所示的控制律時(shí),系統(tǒng)為全局實(shí)際預(yù)定義時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng),系統(tǒng)狀態(tài)能夠在預(yù)定義時(shí)間Tc內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近小鄰域內(nèi)。

證明:在滑?？刂葡碌南到y(tǒng)狀態(tài)分為兩個(gè)階段:趨近階段和滑模運(yùn)動(dòng)階段[4]。分別對(duì)這兩個(gè)階段所用時(shí)間進(jìn)行分析。

首先,針對(duì)趨近階段,選取全局正定Lyapunov函數(shù):

V(s)=|s|

(17)

結(jié)合式(14)和式(16)可推導(dǎo)出V(s)的導(dǎo)數(shù):

(18)

根據(jù)引理2,滑模面s為實(shí)際預(yù)定義時(shí)間穩(wěn)定,其收斂時(shí)間,即趨近階段所用時(shí)間T1滿足:

T1

(19)

然后,當(dāng)滑模面s完成收斂后,即s=0時(shí),進(jìn)入滑模運(yùn)動(dòng)階段,根據(jù)式 有:

(20)

根據(jù)引理1,系統(tǒng)狀態(tài)e1能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)定義時(shí)間內(nèi)收斂,因此滑模運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間T2滿足:

T2

(21)

綜上所述,在滑模面(12)和控制律(16)的作用下,系統(tǒng)(10)的狀態(tài)能夠在預(yù)定義時(shí)間內(nèi)完成收斂,其總收斂時(shí)間T3為:

T3=T2+T1<2Tc

(22)

為了減小滑模抖振,采用飽和函數(shù)sat(·)替換符號(hào)函數(shù)sgn(·),飽和函數(shù)的定義為:

(23)

使用MATLAB對(duì)上文所設(shè)計(jì)的預(yù)定義時(shí)間收斂滑模控制器進(jìn)行仿真分析。設(shè)置收斂時(shí)間參數(shù)Tc=0.05 s,將狀態(tài)變量e1初始值分別設(shè)置為5,10,15,20,25,通過(guò)仿真驗(yàn)證其預(yù)定義時(shí)間收斂特性。由圖2所示的仿真結(jié)果可以看出,該滑?？刂破髂軌虮ＷC在不同的初始狀態(tài)下,系統(tǒng)狀態(tài)在預(yù)定義時(shí)間2Tc內(nèi)完成收斂,與理論一致。

圖2 不同初始狀態(tài)下的e1預(yù)定義時(shí)間收斂(Tc=0.05)

4 實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制器的有效性,在工業(yè)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn),控制系統(tǒng)框圖如圖3所示,實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示?？刂破鞑捎肨I的DSP芯片TMS320F28377D,通過(guò)DAC將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)輸出并存儲(chǔ)到示波器。以工業(yè)機(jī)器人的第3關(guān)節(jié)為受控對(duì)象,進(jìn)行關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制實(shí)驗(yàn),關(guān)節(jié)機(jī)電參數(shù)如表1所示。

表1 第3關(guān)節(jié)機(jī)電參數(shù)

圖3 滑模關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)框圖

圖4 工業(yè)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

首先進(jìn)行無(wú)初始誤差時(shí)的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。設(shè)定參考軌跡為θd=3sin(2πt),設(shè)置收斂時(shí)間Tc=0.02 s,擾動(dòng)項(xiàng)上界值k=2000。分別使用PI控制器、指數(shù)趨近律滑?？刂破?、本文所設(shè)計(jì)的預(yù)定義時(shí)間滑模控制器,進(jìn)行軌跡跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。軌跡跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線分別如圖5和圖6所示。

(a) PI控制器正弦軌跡跟蹤 (b) 指數(shù)趨近律滑?？刂破髡臆壽E跟蹤

圖6 無(wú)初始誤差時(shí)的正弦軌跡跟蹤誤差

由圖5和圖6可以看出,在沒(méi)有初始誤差的情況下,PI控制器由于帶寬受限,跟蹤性能較差。由于兩種滑模面在初始時(shí)刻都處于原點(diǎn)s=0,故指數(shù)趨近律滑模控制器與本文所設(shè)計(jì)的預(yù)定義時(shí)間滑?？刂破鞫加兄^好的動(dòng)態(tài)性能。在控制精度上,滑?？刂破骶鶅?yōu)于普通PI控制器,指數(shù)趨近律滑模控制器的跟蹤誤差最大值為0.1 rad,而預(yù)定義時(shí)間滑?？刂破鞯母櫿`差最大值為0.05 rad,可見(jiàn),本文所設(shè)計(jì)的控制器控制精度更高。

在實(shí)際的工業(yè)機(jī)器人控制中,通常會(huì)由于外部負(fù)載擾動(dòng)、環(huán)境電磁干擾、編碼器延時(shí)等問(wèn)題,導(dǎo)致軌跡跟蹤存在小范圍內(nèi)的初始誤差。設(shè)定存在0.5 rad偏移的參考軌跡θd=3sin(2πt)+0.5,再次進(jìn)行軌跡跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。軌跡跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線分別如圖7和圖8所示。

(a) PI控制器正弦軌跡跟蹤 (b) 指數(shù)趨近律滑?？刂破髡臆壽E跟蹤

圖8 存在初始誤差時(shí)的正弦軌跡跟蹤誤差

由圖7和圖8可以看出,在存在初始誤差的情況下,預(yù)定義時(shí)間滑模控制器和指數(shù)趨近律滑?？刂破鞫寄軌蛉〉幂^高的跟蹤精度,跟蹤誤差均小于0.05 rad。但是預(yù)定義時(shí)間滑?？刂破魇諗克俣雀?能夠在預(yù)先設(shè)置的2Tc時(shí)間內(nèi)完成收斂,驗(yàn)證了該控制器的預(yù)定義時(shí)間收斂特性。

5 結(jié)論

本文首先根據(jù)預(yù)定義時(shí)間收斂理論,設(shè)計(jì)了工業(yè)機(jī)器人新型預(yù)定義時(shí)間滑模關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制器,該控制器有著非奇異、運(yùn)算簡(jiǎn)單和易于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn);然后,通過(guò)Lyapunov方法證明了該控制器的預(yù)定義時(shí)間收斂特性,并進(jìn)行仿真驗(yàn)證;最后,在工業(yè)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明,該控制器能夠?qū)崿F(xiàn)工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)高精度軌跡跟蹤控制,且跟蹤誤差能夠預(yù)定義時(shí)間收斂,克服了傳統(tǒng)滑模控制器收斂速度受初始狀態(tài)影響較大的問(wèn)題。由于收斂時(shí)間可控,該控制器還可用于提升工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)同步性,后續(xù)將對(duì)該控制器在提升工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)同步性方面開展相關(guān)研究。