基于縮減基法的剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺快速優(yōu)化*

黃觀新,盧永和,張 馳,楊志軍

(廣東工業(yè)大學(xué)省部共建精密電子制造技術(shù)裝備國家重點實驗室,廣州 510006)

0 引言

半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)中的精密定位需求越來越急迫,對定位精度的要求也越來越高[1]。剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺利用柔性鉸鏈的彈性變形補(bǔ)償摩擦死區(qū),實現(xiàn)了納米級定位[2-4]。力學(xué)分析對提高剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的定位精度等級重要性不言而喻[5]。精密定位平臺的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,設(shè)計參數(shù)較多,采用有限元方法分析時,每一次修改設(shè)計參數(shù)后都需要重新建立模型,由于分析模型的空間維度較大,完成一次分析耗時較久。結(jié)構(gòu)優(yōu)化時需要不斷改變設(shè)計參數(shù)并求解平衡方程,因此會嚴(yán)重影響優(yōu)化效率,計算效率的提高是實行高效優(yōu)化的必要條件[6-8]。

遺傳算法是一種通過模擬生物界的遺傳和變異而形成的全局優(yōu)化概率搜索方法,能有效避免收斂于局部最優(yōu)解,目前該算法廣泛應(yīng)用于工程問題的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中[9-11]。但其每迭代一次都需要計算n個力學(xué)平衡方程(n指優(yōu)化計算次數(shù)),遺傳算法優(yōu)化耗時較長的缺陷限制其被廣泛應(yīng)用。在工程實際中遺傳算法往往結(jié)合近似模型使用,通常使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來建立近似模型[12-14]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)適合求解復(fù)雜問題的最優(yōu)解,是一種有效的優(yōu)化設(shè)計方法[15]。但使用該方法需要建立復(fù)雜的訓(xùn)練模型,同時樣本數(shù)據(jù)對預(yù)測的結(jié)果影響很大,樣本數(shù)據(jù)不充分時計算結(jié)果誤差較大,此外神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不適用于要求計算精度較高的問題[16]。

縮減基法(reduced basis method)是一種求解近似模型的分析方法,目前RBM對于非線性問題的求解以及誤差分析有較為成熟的理論成果[17-18]。其中在汽車、模具等領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面應(yīng)用廣泛[19-22],在瞬態(tài)分析、熱傳導(dǎo)分析等領(lǐng)域的技術(shù)研究也十分成熟[23],然而RBM在高精密定位平臺的機(jī)構(gòu)分析中應(yīng)用甚少。

本文針對剛?cè)狁詈掀脚_的受力特點對縮減基法進(jìn)行擴(kuò)展,提出一種基于多工況RBM的剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺結(jié)構(gòu)快速優(yōu)化方法,首先構(gòu)造低維空間的樣本參數(shù),其次利用樣本參數(shù)的線性組合求解新的位移向量,并對多工況RBM和有限元方法計算的位移結(jié)果進(jìn)行誤差分析。遺傳算法在不斷迭代過程中,直接使用RBM的計算結(jié)果進(jìn)行全局搜索尋求目標(biāo)值,以此實現(xiàn)快速優(yōu)化。

1 剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺結(jié)構(gòu)與原理

1.1 剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的結(jié)構(gòu)設(shè)計

剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺由剛性框架和工作平臺組成,幾何模型如圖1所示。其中剛性框架固定在滑塊上,用于運(yùn)動方向?qū)?。直線電機(jī)的動子與柔性工作平臺底部連接,用于施加驅(qū)動載荷。柔性鉸鏈一端固定于剛性框架,另一端連接工作平臺,并沿著導(dǎo)軌移動。柔性鉸鏈組的幾何模型如圖2所示。柔性鉸鏈分為兩種:一體式柔性鉸鏈與工作平臺一體加工,用于消除裝配誤差,實現(xiàn)高精度定位;彈片式柔性鉸鏈用于調(diào)節(jié)工作平臺的剛度,起緩沖作用。

圖1 剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺幾何模型

圖2 柔性鉸鏈幾何模型

1.2 剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的工作原理

通過驅(qū)動直線電機(jī)帶動柔性工作平臺運(yùn)動,當(dāng)驅(qū)動力克服導(dǎo)軌的摩擦力時,工作平臺實現(xiàn)長行程運(yùn)動。當(dāng)驅(qū)動力小于框架與導(dǎo)軌之間的最大靜摩擦力時,剛性框架處于靜止?fàn)顟B(tài),此時工作平臺借助柔性鉸鏈的彈性變形補(bǔ)償摩擦死區(qū)。相比于傳統(tǒng)精密運(yùn)動平臺,剛?cè)狁詈线\(yùn)動定位平臺將導(dǎo)軌與工作平臺間的摩擦力轉(zhuǎn)化為柔性鉸鏈的彈性力,利用柔性鉸鏈的彈性變形補(bǔ)償位置誤差,實現(xiàn)更高精度定位。

2 縮減基法基本原理

結(jié)構(gòu)優(yōu)化是剛?cè)狁詈隙ㄎ黄脚_實現(xiàn)高精度定位的關(guān)鍵技術(shù)手段,因此首先需要構(gòu)造有限元方程。設(shè)剛?cè)狁詈隙ㄎ黄脚_的系統(tǒng)平衡方程為:

K(μ)d(μ)=f

(1)

式中:μ指設(shè)計參數(shù),是r維向量;K(μ)為h×h的總體剛度矩陣,d(μ)為節(jié)點位移向量,f為載荷向量。

在優(yōu)化過程中,設(shè)計變量的值發(fā)生改變時導(dǎo)致需要重復(fù)求解上式方程。由于維數(shù)h很大,每次需要花費大量時間求解,導(dǎo)致優(yōu)化設(shè)計受到限制。為了避免求解有限元方程時耗費大量時間,有必要采用高精度高效率的縮減基法求解位移。

RBM的求解步驟為,首先在設(shè)計參數(shù)可行域內(nèi),選取N組值作為樣本參數(shù)組成樣本空間TN={μ1,μ2,…,μN(yùn)},μn表示第n組樣本參數(shù)(n=1～N,用于表示樣本組的下標(biāo),其意義在本文中保持不變),通過式(1)求解出對應(yīng)的位移向量d(μn),將N組位移解組成縮減基矩陣R。

R={d(μ1),d(μ2),…,d(μN(yùn))}

(2)

假設(shè)真實h維空間中的位移解可以用縮減基矩陣中位移向量d(μn)的線性組合來表達(dá),并且d(μn)線性無關(guān)。則在選取新的設(shè)計參數(shù)時,位移解可表達(dá)為:

d(μ)=Rγ(μ)

(3)

式中:γ(μ)為系數(shù)向量。

系統(tǒng)能量為:

(4)

將式(3)代入式(4)得到系統(tǒng)的能量為:

(5)

根據(jù)能量最小的原則,由式(5)可得:

RTK(μ)Rγ(μ)=RTf

(6)

令KN(μ)=RTK(μ)R,fN=RTf,式(6)可簡化為:

KN(μ)γ(μ)=fN

(7)

求解式(7)可得γ(μ),將其代入式(3)即可得到新設(shè)計參數(shù)對應(yīng)的位移向量d(μ)。

式(7)中KN(μ)為N×N的矩陣,選取新的設(shè)計參數(shù)時,由于h遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于N,采用縮減基法可將求解h階系統(tǒng)平衡方程(1)轉(zhuǎn)化為求解N階方程(7),減少了大量計算。對于設(shè)計變量在剛度矩陣中可分離的情況,計算量可進(jìn)一步減少。假設(shè)剛度矩陣可分離為:

(8)

式中:φj(μ)為設(shè)計變量μ的標(biāo)量函數(shù),Kj為與設(shè)計參數(shù)無關(guān)的剛度矩陣,則縮減剛度矩陣KN(μ)可表達(dá)為:

(9)

(10)

3 剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的快速優(yōu)化

3.1 建立優(yōu)化模型

本文以剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的簡化模型作為優(yōu)化結(jié)構(gòu)建立數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上優(yōu)化尺寸參數(shù)。針對柔性鉸鏈的小變形采用以下假設(shè):柔性鉸鏈發(fā)生的彎曲變形均為彈性變形;本構(gòu)方程滿足虎克定律。剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺簡化模型的參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺簡化模型的參數(shù)設(shè)置

(1)設(shè)計變量。柔性鉸鏈幾何模型如圖2所示,前期實驗研究顯示,柔性鉸鏈的厚度t1,t2對剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的性能有顯著影響,因此選取柔性鉸鏈厚度為設(shè)計變量,即:

μ=[t1t2]

(11)

剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺各方面的性能涉及多種靜力學(xué)工況,其控制方程為:

K(μ)D(μ)=F

(12)

式中:D(μ)和F分別為多工況的位移矩陣和載荷矩陣。

(2)目標(biāo)函數(shù)。剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的驅(qū)動器位于工作臺下方,工作臺受到驅(qū)動力時沿著導(dǎo)軌方向運(yùn)動。但由于載荷偏心,工作臺需要承受額外的扭轉(zhuǎn)力矩,因此需要設(shè)計更高的扭轉(zhuǎn)剛度來抵抗因扭轉(zhuǎn)力矩產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)位移θx,表達(dá)式為:

(13)

式中:d(θ,x)為繞x軸扭轉(zhuǎn)的位移向量,a為θx在d(θ,x)中的下標(biāo),F(θ,x)為工作平臺中心點o處沿y方向的集中力fy和繞x軸的轉(zhuǎn)矩wx組裝得到的載荷向量。

優(yōu)化時尋找最佳的t1,t2,使得平臺的最大扭轉(zhuǎn)位移達(dá)到最小,故目標(biāo)函數(shù)可以表示為θx,max。

(3)約束條件。柔性鉸鏈在高速高頻運(yùn)動狀態(tài)下存在應(yīng)力集中的問題會導(dǎo)致疲勞破壞,所以柔性鉸鏈的厚度需要在一定的范圍內(nèi)選取。柔性鉸鏈的補(bǔ)償能力決定了剛?cè)狁詈线\(yùn)動定位平臺的精度等級,因此需要設(shè)計合適尺寸參數(shù)的柔性鉸鏈。為保證合理設(shè)計剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺,要求工作平臺具有一定的工作剛度Kv以及承載剛度Kf,分別用式(14)、式(15)表達(dá)為:

(14)

(15)

式中:Fy、Fz分別為o點處沿y軸的集中力fy和沿z軸的集中力fz組裝得到的載荷向量,uy、uz分別為工作方向和承載方向的位移,b為uy在dy中的下標(biāo),c為uz在dz中的下標(biāo)。

工作剛度和承載剛度的許用范圍可估計如下:根據(jù)前期實驗數(shù)據(jù),平臺在工作時的載重力約G為100 N,剛性框架與導(dǎo)軌間的摩擦系數(shù)α約為0.5,摩擦力可表達(dá)為:

f=αG

(16)

根據(jù)平臺定位精度的標(biāo)準(zhǔn),要求柔性鉸鏈補(bǔ)償?shù)奈灰菩枰笥? μm,同時承載方向的位移需要小于0.02 μm。以此為基礎(chǔ),可計算出Kv和Kf的極限值,具體數(shù)值如表2所示。另外,柔性鉸鏈厚度的取值范圍也列于表2中。

表2 平臺設(shè)計參數(shù)取值范圍

綜合上述分析,工作平臺的優(yōu)化問題可以概括為,在柔性鉸鏈的厚度取值范圍內(nèi)并且工作平臺剛度滿足要求的前提下,選擇最合適的柔性鉸鏈厚度,使得工作平臺的最大扭轉(zhuǎn)位移達(dá)到最小。優(yōu)化問題可用以下數(shù)學(xué)模型表達(dá):

(17)

3.2 優(yōu)化模型求解

3.2.1 優(yōu)化算法

本文使用遺傳算法求解式(17)優(yōu)化問題,具體流程為:

(1)使用二進(jìn)制編碼染色體。

(2)計算機(jī)隨機(jī)選取15個個體組成初始種群,并計算每個個體的適應(yīng)值。

(3)使用單點交叉的方式選擇父代交叉。

(4)當(dāng)函數(shù)容差小于10-3時,剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的目標(biāo)函數(shù)收斂。

優(yōu)化過程如圖3所示,優(yōu)化算法所使用的參數(shù)設(shè)置如表3所示。

表3 優(yōu)化參數(shù)設(shè)置

圖3 遺傳算法流程框圖

3.2.2 正問題計算

優(yōu)化問題式(17)需要考慮剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的3個工況Fl(l=y,z,θx,用于表示不同工況的下標(biāo),其意義在本文中保持不變),因此式(12)中的D(μ)和F可分別記為:

(18)

再計入柔性鉸鏈與剛性框架以及工作平臺間的連接約束方程C×D(μ)=0,采用拉格朗日乘子法的形式可將剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的平衡方程表達(dá)為:

(19)

式中:Λ為拉格朗日乘子矩陣。

優(yōu)化過程中需要反復(fù)求解式(19),因此,本文提出多工況縮減基法對其進(jìn)行快速求解。多工況縮減基法的計算過程可分為離線階段和在線階段:

(1)離線階段:

(20)

則式(19)的解可假設(shè)為:

(21)

式中:Γ為N×3的系數(shù)矩陣。

(22)

(23)

式中:t為柔性鉸鏈的厚度,Bk(k=m,b,s)和Dk(k=m,b,s)分別為對應(yīng)的應(yīng)變矩陣和本構(gòu)矩陣,Ai為單元面域?？紤]到一體式柔性鉸鏈和彈片式柔性鉸鏈的厚度與材料不同,可將式(22)進(jìn)一步整理為:

(24)

式中:Q1和Q2分別為一體式柔性鉸鏈和彈片式柔性鉸鏈的單元集合,且:

(25)

記

(26)

(27)

則式(19)變?yōu)?

(28)

(29)

式中:

(30)

(31)

(32)

(2)在線階段:

②對于每一個μ*,求解縮減式(29),得到系數(shù)矩陣Γ(μ*)。

③將系數(shù)矩陣Γ(μ*)代入式(21)即可得到多工況的位移矩陣。

3.2.3 誤差分析

樣本參數(shù)的選取直接影響縮減基算法的計算精度,為了反應(yīng)出設(shè)計參數(shù)整體特性,本研究使用拉丁超立方抽樣法采樣。確定樣本區(qū)間t1∈[0.4,1.4],t2∈[0.1,0.4],將厚度區(qū)間分成8份,分層隨機(jī)抽取一個數(shù)值,并求解8組厚度的平衡方程得到位移向量,然后將位移向量組成樣本空間。

圖4 樣本數(shù)據(jù)

將有限元方法與RBM的計算結(jié)果作誤差分析以驗證RBM的計算精度,在μ的可行域內(nèi)隨機(jī)選擇5組設(shè)計參數(shù)進(jìn)行測試,如表4所示。

表4 設(shè)計參數(shù)取值

使用有限元方法和縮減基法分別計算系統(tǒng)位移向量,采用兩種方法計算的相對誤差可表達(dá)為:

(33)

為了驗證縮減基法在剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺上應(yīng)用的可靠性,本文針對以下3種工況做誤差分析:以工作平臺中心點o作為輸出點,分別計算在工作方向的平動位移uy,承載方向的平動位移uz,繞X軸的轉(zhuǎn)動位移θx。根據(jù)表4的設(shè)計參數(shù),利用式(33)可計算出相對誤差εd,y方向、z方向和θx方向的誤差結(jié)果如表5所示。

表5 相對誤差εd

根據(jù)表5的數(shù)據(jù)可知,RBM計算θx的最大誤差為8.356×10-6,沿y方向平動位移的最大誤差為1.475×10-13,沿z方向平動位移的最大誤差為5.522×10-9。證明RBM具有良好的計算精度,適用于剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺的分析中。

使用遺傳算法做優(yōu)化設(shè)計研究需要更改設(shè)計參數(shù)時,直接調(diào)用RBM的計算結(jié)果。優(yōu)化時RBM重復(fù)計算在線階段的步驟即可。優(yōu)化計算參數(shù)如表6所示,優(yōu)化結(jié)果如表7所示。

表7 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果

由表6可以看出,使用有限元法計算一次系統(tǒng)平衡方程需要85 s,而RBM僅需0.001 7 s,其耗時遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于有限元方程,應(yīng)用RBM代替有限元法可節(jié)省約3.512×106s。迭代次數(shù)與最優(yōu)解的關(guān)系如圖5所示。從圖5可知,計算到第26代時目標(biāo)函數(shù)搜索到最優(yōu)解6.554×10-9,此時t1為0.591 1 mm,t2為0.266 3 mm。

圖5 迭代次數(shù)與最優(yōu)解關(guān)系圖

根據(jù)表7數(shù)據(jù),使用有限元軟件ABAQUS對柔性鉸鏈的初始值和最優(yōu)值的位移結(jié)果進(jìn)行對比驗證,初始值的位移結(jié)果如圖6所示,最優(yōu)值的位移結(jié)果如圖7所示。驗證結(jié)果表明,剛?cè)狁詈线\(yùn)動定位平臺的最大扭轉(zhuǎn)位移減少了17.2%。

圖6 初始值位移云圖

圖7 最優(yōu)值位移云圖

4 結(jié)論

本文將RBM的應(yīng)用擴(kuò)展到多工況領(lǐng)域,并結(jié)合遺傳算法對多工況的剛?cè)狁詈线\(yùn)動平臺進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。對比RBM和有限元法的優(yōu)化結(jié)果得到:使用兩種方法計算的結(jié)果十分相近,最大的計算誤差僅有8.356×10-6,證明RBM應(yīng)用在多工況領(lǐng)域具有良好的精確度;RBM完成優(yōu)化計算的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于有限元法,優(yōu)化時間可節(jié)省3.512×106s,表明RBM具有高效的優(yōu)化效率。對比優(yōu)化前后的目標(biāo)函數(shù)值發(fā)現(xiàn)平臺的扭轉(zhuǎn)位移減少了17.2%,平臺的工作性能得到提升,因此可為高速精密定位平臺的結(jié)構(gòu)設(shè)計和精度保持研究提供參考。