二維顆粒結(jié)構(gòu)中非線性波的傳播和脈沖衰減①

王超科 周振江 程相樂 D.Michael McFarland 盧奐采

(浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進加工技術(shù)教育部重點實驗室 杭州 310014)

0 引言

有序顆粒介質(zhì)對沖擊能量捕獲和吸收[1-3]和沖擊振動抑制[4-5]等,具有潛在的和重要的研究價值。Nesterenko[6]在1983 年發(fā)現(xiàn)了脈沖在一維均勻顆粒鏈中以一種特殊的孤立波形式傳播,即Nesterenko孤立波,可以在較長距離內(nèi)穩(wěn)定地傳播,并且集中了脈沖激勵的大部分能量[7-12]。Nesterenko[13]及此后的研究人員[14-15]還發(fā)現(xiàn)了如聲真空和呼吸子等強非線性動力學(xué)現(xiàn)象。

通過改變顆粒的大小、質(zhì)量和材質(zhì)等,以形成復(fù)合顆粒鏈[16-20]是進一步研究顆粒鏈中的波傳播特性最常用的方法。仿真和實驗研究發(fā)現(xiàn),由輕、重2種顆粒構(gòu)成的二段式一維復(fù)合顆粒鏈,當(dāng)孤立波從輕顆粒子鏈傳播到重顆粒子鏈,通過輕-重顆粒交界面時,大部分能量會在界面處被反射回來,反射波在輕顆粒子鏈形成一組幅值較小的子波,而透射波在重顆粒子鏈以小幅值孤立波的形式傳播。反之,孤立波從重顆粒子鏈傳播到輕顆粒子鏈,通過重-輕顆粒交界面時,大部分能量會在界面處被透射。Hong[21]研究了脈沖在由大小相同,質(zhì)量和材料不同的3 種球形顆粒子鏈構(gòu)成無預(yù)壓縮的一維非均勻顆粒鏈中的傳播,發(fā)現(xiàn)部分脈沖會被短時約束在輕珠子鏈中,稱之為顆粒容器,并通過時間滯后的方式釋放,使得高幅值孤立波被分散為許多低幅值孤立波,從而降低了沖擊力。

眾多學(xué)者對二維耦合顆粒鏈進行了研究,發(fā)現(xiàn)脈沖波在二維耦合均勻顆粒鏈中傳播時,會出現(xiàn)脈沖等分[22-24]、定向能量轉(zhuǎn)移[25]等現(xiàn)象。另外,Zhang等人[24]在2015 年對二維耦合顆粒結(jié)構(gòu)作了系統(tǒng)的研究,研究了由2 列相同的、交錯耦合的一維均勻顆粒鏈構(gòu)成的二維耦合顆粒鏈模型,實驗驗證了新型混合孤立波-剪切波的存在,并闡明了顆粒鏈間的能量相互交換是由混合波引起的、并最終會達到能量均分的物理現(xiàn)象。而在他們的研究中,并未對二維耦合顆粒鏈在沖擊能量的吸收和降低傳遞力方面作具體的考察。

通過二維非均勻顆粒鏈對脈沖能量的局部約束和延時傳遞來降低傳遞力,是顆粒介質(zhì)動力學(xué)研究的重要題目。本文提出了由材質(zhì)相同、半徑不同的3 種不同質(zhì)量的球形顆粒,即重珠、輕珠和耦合珠,有序排列為2 個不同的二維耦合顆粒鏈系統(tǒng)、二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)和二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng),運用分子動力學(xué)方法仿真,比較研究了這2 種顆粒鏈系統(tǒng)中的脈沖波傳播特性、能量傳遞現(xiàn)象以及上述機理對顆粒鏈末端傳遞力的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

在圖1 所示的二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中,顆粒間在縱向和橫向均無預(yù)緊力作用,其中,上、下2 列顆粒鏈均由N顆直徑為R1的重珠緊密排列組成。由初始速度為V0沖擊激勵的顆粒鏈為激勵鏈,另一條鏈則為吸收鏈。激勵鏈與吸收鏈之間通過嵌入(N-1) 顆直徑為R2的耦合珠提供耦合性,耦合珠與相鄰重珠滿足相切的幾何關(guān)系。系統(tǒng)的上側(cè)、下側(cè)和右側(cè)為剛性壁邊界條件。

圖1 二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)

顆粒之間的接觸類型和顆粒與邊界之間的接觸類型,主要為點與點接觸和點與面接觸,相鄰顆粒間的接觸力可以用赫茲接觸定律[26-27]來描述,表達式為

其中,k是赫茲接觸系數(shù),δ是2 個顆粒之間的變形量。不同幾何形狀的顆粒間的接觸定律和參數(shù)詳情見文獻[26,27]。

當(dāng)2 個球形顆粒接觸時,式(1)中的接觸系數(shù)為

其中,Rs1、Es1、vs1和Rs2、Es2、vs2分別為2 個顆粒的半徑、彈性模量、泊松比。當(dāng)顆粒與剛性壁接觸時,假設(shè)顆粒的半徑為Rs1,剛性壁的曲率半徑為Rs2且Rs2→∞,式(1)中的接觸系數(shù)為

式(4)中,α為重珠和重珠之間的接觸系數(shù),η為重珠和耦合珠之間的接觸系數(shù),均由式(2)可得。由于邊界條件不同,激勵鏈?zhǔn)孜差w粒的運動控制方程,不同于式(4)。激勵鏈?zhǔn)孜差w粒、吸收鏈和耦合鏈中顆粒的運動控制方程,不在此贅述,詳見附錄A。

通過四階龍格-庫塔法,求解顆粒的控制方程,得到每個顆粒的位移和速度時間序列。求解過程中引入以下無量綱計算:

其中,ζ是時間t和初始速度激勵V0的無量綱化比例因子

2 仿真計算和分析

2.1 二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)

在如圖1 所示的二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中,設(shè)定激勵鏈和吸收鏈均由N=20 顆重珠組成,所有顆粒的材料參數(shù)相同,即彈性模量E=193 MPa,密度ρ=7930 kg/m3,泊松比v=0.3。重珠的半徑為R1=12.5 mm,耦合珠的半徑為5.18 mm。激勵的無量綱初始速度為=1 ×10-4。

圖2中給出了激勵鏈和吸收鏈中顆粒的水平方向和垂直方向速度分量的時間序列響應(yīng),不同顏色的曲線代表激勵鏈和吸收鏈中不同顆粒的速度曲線。從圖中可以看出,有2 種不同類型波的傳播,分別沿水平方向和垂直方向傳播。

圖2 激勵鏈與吸收鏈中顆粒的速度時間序列

如圖2(a)所示,激勵鏈和吸收鏈中顆粒的水平速度分量均形成了孤立脈沖波(solitary pulse waves,簡稱P 波)。這2 個孤立波都類似于在一維均勻顆粒鏈中產(chǎn)生的Nesterenko 孤立波,是由顆粒鏈水平方向的動能傳遞形成的。由圖2(b)所示,由于耦合珠將激勵鏈和吸收鏈耦合起來,2 珠鏈之間存在著劇烈的能量交換。兩個孤立波在前12 顆重珠中傳播時的幅值發(fā)生著變化,激勵鏈中的孤立波幅值逐漸減小,吸收鏈中的孤立波幅值逐漸增大,到達約為第13 顆重珠(圖中線寬較粗的曲線)時發(fā)生脈沖等分[22-24],即激勵鏈和吸收鏈中傳播的孤立波的幅值趨于相同。

垂直速度分量波形如圖2(b)所示,為剪切波(shear waves,簡稱S 波)。顆粒的橫向高頻率振蕩(與x軸傳播的P波的近零頻率形成對比)是由其與固定剛性邊界之間的赫茲接觸相互作用產(chǎn)生的,導(dǎo)致顆粒的運動形成強烈的非線性剪切型波。圖3給出了激勵鏈和吸收鏈中顆粒的水平和垂直速度分量在空間和時間上的變化,從中能更好地看到非線性剪切波的形成。如圖3 所示,這些非線性剪切波是近場運動,即它們在空間上靠近激勵施加點的地方,并在最初的瞬變過程中形成,同時P 波在2 條鏈中傳播[29-30]。因此,非線性剪切波是由顆粒的水平和垂直運動的非線性耦合在運動的初始高能階段(即非線性效應(yīng)更明顯時)產(chǎn)生的,并且不能傳遞到系統(tǒng)的遠場。

圖3 激勵鏈與吸收鏈中顆粒的速度時空圖

圖4 給出了激勵鏈和吸收鏈中顆粒的動能隨時間和空間的變化,從中能更清楚地觀察到能量交換和脈沖等分現(xiàn)象。從圖中可看出,在激勵施加之后,由于耦合珠的存在,圖4(a)激勵鏈中顆粒的動能逐漸減小,圖4(b)吸收鏈中顆粒的動能逐漸增大,最終2 鏈中顆粒的能量大小近似相同,即能量從激勵鏈轉(zhuǎn)移到吸收鏈,最終導(dǎo)致2 條鏈之間的能量均衡分配。

圖4 激勵鏈與吸收鏈中顆粒的動能時空圖

在二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中,脈沖能量在初始瞬變后發(fā)生等分,將在整個孤立波傳播過程中保持不變,使得每條顆粒鏈獨立產(chǎn)生等幅值的孤立波傳播現(xiàn)象。在施加沖擊之后存在一個初始階段,即脈沖能量從初始瞬變到等分這一階段,在此期間產(chǎn)生混合型波的傳播,從而在2 條鏈之間產(chǎn)生劇烈的能量交換,隨后脈沖在2 條鏈中各自沿x方向等幅值傳播,并且未衰減地傳播到遠場。

綜上所述,由于二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu),在激勵施加點附近,接近零頻率的縱向傳播的P波和橫向高頻震蕩的S 波相互耦合共同形成一種混合波傳播模式[24]。P 波構(gòu)成了顆粒鏈系統(tǒng)沿水平方向的動量與能量傳遞的主要機制(類似于一維均勻顆粒鏈中的Nesterenko 孤立波),但是在垂直方向上,S 波提供了脈沖能量的部分高頻散射的機制。因此,這些剪切波在減少最終傳遞到顆粒鏈系統(tǒng)遠場的脈沖能量中起著重要作用。

傳遞到二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中激勵鏈末端的脈沖能量衰減的主要原因包括:(1)由于耦合珠的存在,激勵鏈和吸收鏈之間會發(fā)生能量交換,能量從激勵鏈轉(zhuǎn)移到吸收鏈;(2)一部分脈沖能量會通過顆粒橫向高頻振蕩被約束在激勵施加點附近。因此,與一維均勻顆粒鏈系統(tǒng)[6]相比,二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中激勵鏈末端的傳遞力峰值降低到約100 N,如圖5 所示。

圖5 一維均勻顆粒鏈系統(tǒng)和二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中激勵鏈末端傳遞力

2.2 二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)

在引言中提到,通過改變顆粒的大小、質(zhì)量和材質(zhì),以形成復(fù)合顆粒鏈[16-20]系統(tǒng),改變一維顆粒鏈中的波傳播特性,以減弱顆粒鏈末端傳遞力峰值[21]。因此,本文引入輕珠子鏈構(gòu)成二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng),如圖6所示。本節(jié)考慮在沖擊激勵作用下,混合P 波和S 波的傳播過程,對末端傳遞力進行了數(shù)值仿真,并與2.1 節(jié)中二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)的結(jié)果進行對比。

圖6 二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)示意圖

設(shè)定二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)中激勵鏈和吸收鏈均由N1=7,N2=6 和N3=N4=5 的4 段顆粒鏈構(gòu)成,激勵鏈和吸收鏈中的顆?？倲?shù)目為N=23,非均勻顆粒鏈的總長度和2.1 節(jié)中均勻顆粒鏈保持一致。所有顆粒,即重珠、輕珠和耦合珠的材料參數(shù)也與2.1 節(jié)中相同。重珠的半徑為R1=12.5 mm,耦合珠的半徑為≈5.18 mm,輕珠的半徑為R3=6.25 mm。激勵的無量綱初始速度仍為

從圖7、8 和9 中仍可以看出,在激勵施加點附近和初始高能階段,存在P 波和S 波相互耦合的混合波傳播模式[24],激勵鏈和吸收鏈之間有強烈的能量交換現(xiàn)象。但是,如圖7(a)和8(a)所示,不同于二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中脈沖傳播方式,P 波從重珠傳播到輕珠時,輕珠鏈中的波速提高,其波形和波幅都發(fā)生改變并繼續(xù)向前傳播,在輕-重珠交界位置發(fā)生反射。而在N2和N3區(qū)域,激勵鏈和吸收鏈之間沒有嵌入耦合珠,橫向振動的幅值遠小于存在耦合珠的N1和N4區(qū)域的顆粒振動,如圖7(b)和8(b)所示。從能量角度分析,圖9 所示的部分脈沖能量被局部約束在輕珠鏈中,并且延時傳遞到顆粒鏈末端,從而產(chǎn)生類似于一維非均勻顆粒容器的沖擊緩釋機理。

圖8 激勵鏈與吸收鏈中顆粒的速度時空圖

圖9 激勵鏈與吸收鏈中顆粒的動能時空圖

綜上所述,除了激勵鏈和吸收鏈之間發(fā)生能量交換之外,引起二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)中激勵鏈末端的脈沖能量衰減的主要原因還包括:沿縱向傳遞的P 波在輕-重顆粒交界面發(fā)生反射,分解為一系列低幅值脈沖波,按照不同的波速、逐次釋放到顆粒鏈末端;部分能量在通過輕珠鏈的過程,在x方向上發(fā)生多次反射,局部約束在輕珠鏈中,導(dǎo)致該部分能量的延時傳遞。因此,非均勻顆粒鏈系統(tǒng)能夠進一步地分散脈沖能量和降低顆粒鏈的傳遞力。

由于非均勻顆粒結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的能量局部約束和延時傳遞,激勵鏈末端的傳遞力的峰值減小,即傳遞力的波形由大幅值、小波長的脈沖波轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗械男》?、大波長的脈沖波。圖10(a)、(b)分別給出了激勵鏈中首、尾顆粒的能量分布和激勵鏈末端的傳遞力,其能量衰減了約85%,激勵鏈末端的傳遞力大約降低至80 N。與圖11(a)、(b)中二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)的結(jié)果相比,其能量大約減少了5%,傳遞力大約減小了20 N。因此,二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)能夠?qū)⒏叻得}沖分散成一系列低幅值脈沖,從而降低激勵鏈末端的傳遞力。

圖10 二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)中激勵鏈?zhǔn)孜差w粒的能量和末端傳遞力

圖11 二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中激勵鏈?zhǔn)孜差w粒的能量和末端傳遞力

3 結(jié)論

本文通過理論建模和數(shù)值仿真,研究了二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)和非均勻顆粒鏈系統(tǒng)中的脈沖波傳播特性、能量傳遞現(xiàn)象以及上述機理對減小顆粒鏈傳遞力的影響。結(jié)果表明,在沖擊激勵作用下,由于耦合珠的存在,二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)中的脈沖波在激勵施加點附近發(fā)生散射,激發(fā)出相互耦合的混合波,包括縱向傳播的近零頻率的孤立波(P 波)與橫向高頻剪切波(S 波)。在二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)中,這種強能量散射機制依舊存在,相比于前者,非均勻顆粒結(jié)構(gòu)導(dǎo)致P 波從重珠傳播到輕珠時,波形和波幅發(fā)生了改變,引起波速改變和時延的產(chǎn)生,在輕-重珠交界面位置發(fā)生反射。并且,非均勻顆粒結(jié)構(gòu)能夠?qū)⒚}沖能量局部約束到輕珠鏈中,使得該部分能量延時傳遞到顆粒鏈末端,導(dǎo)致激勵鏈末端傳遞力的峰值降低,力的波形由大幅值、小波長的脈沖波轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗械男》怠⒋蟛ㄩL的脈沖波。

與一維均勻顆粒鏈系統(tǒng)相比[6],二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)能將激勵鏈末端傳遞力的峰值降低到約100 N;而二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)對脈沖能量的削弱效果更好,激勵鏈末端傳遞力的峰值進一步降低到約80 N。

本文通過引入輕珠鏈構(gòu)成非均勻顆粒結(jié)構(gòu),將脈沖能量局部約束在輕珠鏈中,使得傳遞到顆粒鏈末端的脈沖能量逐級衰減,降低了末端的傳遞力的峰值。該研究結(jié)果對于二維顆粒結(jié)構(gòu)在新型超結(jié)構(gòu)和超材料的高效減振器應(yīng)用方面具有重要的參考價值。

附錄A 強非線性運動方程

在第1 節(jié)中已給出激勵鏈中第i(2 ≤i≤N-1)顆顆粒的運動控制方程式(4)。在本節(jié)中將給出激勵鏈?zhǔn)孜差w粒、吸收鏈和耦合鏈中顆粒的運動控制方程,列為式(A1)～(A6)。式(4)和(A1)～(A6)共同組成圖1 所示的二維均勻顆粒鏈系統(tǒng)的控制方程。同第2 節(jié)中所述為顆粒質(zhì)量為顆粒縱向位移分量為顆粒橫向位移分量。其中,上標(biāo)j=1、2、3 分別代表激勵鏈、吸收鏈和耦合鏈,下標(biāo)i代表顆粒的序號。當(dāng)j=1、2 時,即對于激勵鏈和吸收鏈;當(dāng)j=3 時,即對于耦合鏈為顆粒的材料密度。

激勵鏈中首顆粒的縱向位移和橫向位移的運動方程,即i=1 時,

激勵鏈中尾顆粒的縱向位移和橫向位移的運動方程,即i=N時,有:

吸收鏈中首顆粒的縱向位移和橫向位移的運動方程,即i=1 時,有:

吸收鏈中第i顆顆粒的縱向位移和橫向位移的運動方程,當(dāng)i=2、…、N-1 時,有:

吸收鏈中尾顆粒的縱向位移和橫向位移的運動方程,即i=N時,有:

耦合鏈中第i顆顆粒的縱向位移和橫向位移的運動方程,當(dāng)i=1、…、N-1 時,有:

其中,α為重珠和重珠之間的接觸系數(shù),η為重珠和耦合珠之間的接觸系數(shù),二者的具體表達式可由式(2)獲得。類似地,圖6 所示的二維非均勻顆粒鏈系統(tǒng)中顆粒的運動控制方程也能根據(jù)赫茲接觸定律和牛頓第二定律列出。