空間向量與立體幾何單元測(cè)試（A 卷）答案與提示

一、單項(xiàng)選擇題

1.C 2.C

3.B 提示:設(shè)圓錐底面的半徑為r,則由題意知,而L=2πr,代入得π≈。

4.D 提示:為了便于解題,將正四面體A-BCD放入正方體中,如圖1 所示。連接HG,OD。

圖1

對(duì)于選項(xiàng)A,若E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),則易知EF⊥CD,選項(xiàng)A不正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,在正方體中,易知CD⊥平面ABHG。因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)D且與平面ABHG平行的平面不經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,所以不存在E,使得DE⊥CD,選項(xiàng)B不正確。

對(duì)于選項(xiàng)C,在正方體中,易證OD⊥平面ABC,所以不存在E,使得DE⊥平面ABC,選項(xiàng)C不正確。

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)OD與平面ABC的交點(diǎn)為K,連接CK,只要令平面CDK與AB的交點(diǎn)為E即可得平面CDE⊥平面ABF,選項(xiàng)D 正確。

5.C 提示:連接AB,CD。

(1)當(dāng)點(diǎn)P在CA的延長(zhǎng)線上,即點(diǎn)P在平面α與平面β的同側(cè)時(shí),如圖2。

圖2

因?yàn)棣?/β,平面PCD∩平面α=AB,平面PCD∩平面β=CD,所 以AB//CD,△PAB～△PCD,

因|PA|=6,|AC|=9,|PD|=8,故,解得|BD|=。

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段CA上,即點(diǎn)P在平面α與平面β之間時(shí),如圖3。類似(1)的方法?？傻?/p>

圖3

因|PA|=6,|PC|=|AC|-|PA|=9-6=3,|PD|=8,故

,解得|PB|=16,則|BD|=|PB|+|PD|=24。

6.B

圖4

8.A

二、多項(xiàng)選擇題

9.BD

10.ABCD 提示:以正八面體的中心O為原點(diǎn),OB,OC,OE分 別 為x軸,y軸,z軸,建立如圖5所示空間直角坐標(biāo)系。

圖5

設(shè)正八面體的邊長(zhǎng)為2,則A(0,-,0),E(0,0,),C(0,,0),D(-,0,0)F(0,0,-)。

又AB//CD,AB?平面CDF,CD?平面CDF,則AB//平面CDF。

由AB∩AE=A,AE,AB?平面ABE,所以平面AEB//平面CDF,B正確。

易知平面ACE的一個(gè)法向量為n1=(1,0,0),平面BDF的一個(gè)法向量為n2=(0,1,0)。

因?yàn)閚1·n2=0,所以平面ACE⊥平面BDF,D 正確。

因?yàn)锳P⊥BP,AP⊥CP,所以AP⊥平面BCD。

又AP?平面BAD,可得平面BAD⊥平面BCD,C正確。

12.AD 提示:對(duì)于A,平面ABC截勒洛四面體所得截面如圖6。它的面積為三個(gè)半徑為4,圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形的面積。

圖6

對(duì)于B,如圖7,取CD中點(diǎn)G,在△ABG中,|AG|=|BG|=,|AB|=4,記該勒洛四面體上以C,D為球心的兩球交線為弧AB,則該弧是以CD的中點(diǎn)G為圓心,以為半徑的圓弧。

圖7

設(shè)圓心角為∠AOB=α,則cosα=,可知α·2≠π,所以弧長(zhǎng)不等于,B錯(cuò)誤。

對(duì)于C,如圖8,設(shè)弧AB的中點(diǎn)是M,線段AB的中點(diǎn)是N,設(shè)弧CD的中點(diǎn)是H,線段CD的中點(diǎn)是G,則根據(jù)圖形的對(duì)稱性,M,N,G,H四點(diǎn)共線且過(guò)正四面體A-

圖8

對(duì)于D,勒洛四面體能容納的最大球,與勒洛四面體的弧面相切,如圖7,其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn),由對(duì)稱性可知O為該球的球心,內(nèi)半徑為OE,連接BE,易知B、O、E三點(diǎn)共線。設(shè)正四面體A-BCD的外接球半徑為r,如圖9,則由題意得為正四面體A-

圖9

三、填空題

13.3π 提示:如圖10,取AB中點(diǎn)O,連接OC,OD。在△ABD中,由|AD|=1,,得|AD|2+|BD|2=|AB|2,則AD⊥BD。又 平 面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,故AD⊥平面BCD,即AD⊥BC。在△BCD中,|BC|=|CD|,|BD|=,即|BC|2+|CD|2=|BD|2,則BC⊥CD。因?yàn)锳D∩CD=D,所以BC⊥平面ACD,BC⊥AC。則O為三棱錐A-BCD的外接球的球心,外接球的半徑。球O的表面積為3π。

圖10

14.4 提示:連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接OP。以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖11。

圖11

因MN⊥AD,故=0,解得λ=4。

如圖12,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,E為△BCD的中心,故AE⊥平面BCD。

圖12

小球半徑|OF|=r=1,則OF⊥AC,大球半徑|OA|=R,|AC|=a。

16.①③ 提示:對(duì)于①,連接AD1,CD1。由正方體的性質(zhì)知△ACD1為等邊三角形,O為底面ABCD的中心,故O為AC的中點(diǎn),AC⊥D1O,①正確。

對(duì)于②,將D1O進(jìn)行平移到過(guò)B1點(diǎn),使之與B1P具有公共頂點(diǎn),如圖13,根據(jù)立體圖形判斷,無(wú)論如何也不可能滿足B1H平行或重合于B1P,所以D1O不可能與B1P平行,②錯(cuò)誤。

圖13

對(duì)于③,取B1B的中點(diǎn)E,連接OE,EC,BD,D1E,如圖13。易證明D1O⊥平面OEC,所以P在線段EC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)E位置時(shí),|C1P|最大,△D1C1P的面積最大為,③正確。

對(duì)于④,P到直線D1C1的距離為線段PC1的長(zhǎng)度,所以|PC1|=|PB|,判定出P點(diǎn)在線段BC1的垂直平分線上,④錯(cuò)誤。

四、解答題

17.(1)如圖14,作AP⊥CD于點(diǎn)P,分別以AB,AP,AO所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),

圖14

設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,y,z)。

取z=1,解得

又MN?平 面OCD,從 而MN//平 面OCD。

18.(1)因 為AA1⊥平 面ABC,AB,AC?平面ABC,所 以AA1⊥AB,AA1⊥AC。而AB⊥AC,故建立如圖15所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè)|A1M|=a,a∈[0,1],則

圖15

A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,1),M(0,a,1)。

(2)設(shè)平面BCM的法向量n=(x,y,z)。

取x=1,得n=(1,1,1-a)。

19.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD。因?yàn)锳D⊥CD,PA∩AD=A,PA?平面PAD,AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD。

(2)以A為原點(diǎn),在平面ABCD內(nèi)過(guò)A作CD的平行線為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖16。

圖16

則A(0,0,0),E(0,1,1),P(0,0,2),B(2,-1,0)。

平面AEP的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),平面AEF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)。

設(shè)二面角F-AE-P的平面角為θ,由圖可知θ為銳角,則

故二面角F-AE-P的余弦值為。

(3)存在這樣的λ。

若A,E,F,G四點(diǎn)共面,則AG在平面AEF內(nèi)。

存在這樣的λ=,使 得A、E、F、G四點(diǎn)共面。

20.(1)如圖17,以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OP所 在 直 線 分 別 為x軸、y軸、z軸 建 立 空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=2,則可得B(0,2,0),C(-2,0,0)。

圖17

因?yàn)锽C∩PB=B,A1E?平面PBC,所以A1E//平面PBC。

(2) 由 (1) 知 △PBC的 重 心,則

若點(diǎn)O在平面PBC內(nèi)的投影恰好為△PBC的重心,則:解得k=。

所以當(dāng)k=時(shí),點(diǎn)O在平面PBC內(nèi)的投影恰好為△PBC的重心。

21.(1)在圖18中,連接CE。

因?yàn)镈C//AB,CD=AB,E為AB的中點(diǎn),所以DC//AE,且DC=AE,四邊形ADCE為平行四邊形,|AD|=|CE|=|CD|=|AE|=2。同理可證|DE|=2。

在圖19中,取DE的中點(diǎn)O,連接OA,OC,則|OA|=|OC|=。

圖19

因?yàn)閨AD|=|AE|=|CE|=|CD|,所以DE⊥OA,DE⊥OC。

因 為OA∩OC=O,OA,OC?平 面AOC,所以DE⊥平面AOC。

因?yàn)锳C?平面AOC,所以DE⊥AC。

(2)若選擇①:由(1)知DE⊥平面AOC,DE?平面BCDE,所以平面AOC⊥平面BCDE,且交線為OC。

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OC交OC于 點(diǎn)H,則AH⊥平面BCDE。

若選擇②:因?yàn)镈C//EB,所以∠ACD即為異面直線AC與EB所成的角。

在 △ADC中, cos ∠ACD=,所以|AC|=。而|OA|2+|OC|2=|AC|2,即OA⊥OC。

因?yàn)镈E⊥平 面AOC,DE?平 面BCDE,所以平面AOC⊥平面BCDE,且交線為OC。又OA?平面AOC,所以AO⊥平面BCDE。

22.(1)如圖20,在圓柱O1O2中,AE//CG,AE?平面O1CG,CG?平面O1CG,故AE//平 面O1CG。

圖20

連接DO1,因?yàn)榈妊菪蜛BCD為底面圓O1的內(nèi)接四邊形,|AD|=|DC|=|BC|=1,所以∠AO1D=∠CO1D=∠BO1C=。

則△AO1D為正三角形,故∠O1AD=

因AD?平面O1CG,O1C?平面O1CG,故AD//平面O1CG。

又AE∩AD=A,AE,AD?平 面ADE,故平面ADE//平面O1CG。

(2)如圖21,以O(shè)1為坐標(biāo)原點(diǎn),在底面圓O1內(nèi)過(guò)點(diǎn)O1垂直于平面ABFE作直線為x軸,以O(shè)1B,O1O2為y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系。

圖21

由于|AD|=|DC|=|BC|=1,|CG|=1,由(1)可知|AO1|=1。