橢圓截面截錐彈體的高速穿甲特性及阻力模型*

鄧希旻，武海軍，董 恒，田 澤，黃風雷

（北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081）

近年來，高升阻比氣動外形技術不斷在新型飛行器中應用，高超音速飛行器形狀趨于扁平化和異型化，為適應飛行器的內(nèi)部空間，戰(zhàn)斗部也朝著非圓化的方向發(fā)展。高超聲速反艦導彈對目標的毀傷能力主要來源于彈體的穿甲/侵徹效應及裝藥的爆轟波沖擊作用，其中針對非圓截面戰(zhàn)斗部的高速穿甲理論研究相對較少，彈體在穿甲/侵徹過程中的阻力特性及作用機理尚不明確，而穿甲能力作為衡量半穿甲戰(zhàn)斗部威力的重要指標，對異型彈體高速穿甲阻力特性的研究具有重要意義。

針對異型截面彈體的侵徹/穿甲機理，董恒等[1]、王浩等[2]分別對混凝土和金屬薄板類目標開展了系統(tǒng)的研究，分析了彈體在中低速范圍內(nèi)的阻力及彈道特性。Dai 等[3]和魏海洋等[4]基于空腔膨脹理論提出了橢圓截面尖卵形彈體侵徹半無限厚靶的彈道模型。田澤等[5]根據(jù)能量守恒和虛功原理分析了非圓變截面彈體斜貫穿金屬薄板時的姿態(tài)偏轉機理，構建了彈體姿態(tài)偏轉模型。Wu 等[6]給出了三維空間彈道計算框架，基于空腔膨脹理論給出了橢圓截面彈體侵徹半無限靶的彈道預測模型，討論了橢圓長短軸之比、初始著角、攻角對彈道偏轉的影響。Liu 等[7]開展了400～1 000 m/s 初速下，不同長短軸之比的橢圓截面彈體侵徹半無限鋁靶的實驗，基于保角映射分析了彈孔附近的應變分布，建立了預測彈孔非對稱變形和破壞行為的理論模型。鄧希旻等[8]開展了上下非對稱橢圓截面彈體在800～1 000 m/s 初速下正、斜貫穿間隔金屬板的實驗，并結合數(shù)值仿真分析了彈體的速度變化及偏轉特性，確定了高速貫穿時薄板的破壞模式主要為延性擴孔、花瓣破壞和碎裂。以上針對非圓截面彈體穿甲/侵徹機理的研究取得了一定的成果，但對于高超聲速導彈落速（2Ma～3Ma）下的穿甲理論研究相對較少。

傳統(tǒng)圓截面彈體的穿甲理論研究已十分成熟，根據(jù)Backman 等[9]總結的穿甲特性可知，彈頭形狀對穿甲破壞模式的影響較大，如平頭彈使靶板出現(xiàn)剪切沖塞破壞，錐頭彈造成花瓣破壞。平頭彈穿甲的阻力模型如Recht-Ipson 模型[10]、Awerbuch 模型[11]以及Chen-Li 模型[12]已經(jīng)在科研及工程設計中得到了大量的應用與驗證。Wen 等[13]針對平頭彈低速沖擊薄靶問題，給出了考慮靶板整體結構響應和局部剪切沖塞的解析表達式。Rosenberg 等[14]發(fā)現(xiàn)靶板受錐頭彈、尖卵形彈體低速沖擊時出現(xiàn)延性擴孔和花瓣破壞，延性擴孔主要發(fā)生在中厚靶（厚徑比為1/3～1）的穿甲過程中。Chen 等[15]發(fā)現(xiàn)隨著靶板厚度和靶板材料強度的增加，穿孔機理也會發(fā)生變化。Masri[16]分別討論了平面應力（薄靶）和平面應變（無限厚靶）條件下空腔擴孔時所消耗的能量，提出了單位體積材料擴孔所耗能量的概念，并結合能量守恒方程給出了彈體剩余速度及彈道極限的解析表達式。

綜上所述，異型截面彈體對金屬薄板的穿甲研究仍處于起步階段，主要研究成果集中在中低速范圍內(nèi)。異型彈體高速（2Ma～3Ma）穿甲時的阻力特性及靶板破壞模式是穿甲力學基礎理論研究和高超聲速武器技術發(fā)展的關鍵問題。本文中以典型橢圓截面截錐彈體為研究對象，通過彈體高速貫穿金屬薄板的數(shù)值仿真計算，分析彈體穿甲過程中的阻力特性及靶板破壞模式，研究橢圓截面尖卵形/平頭彈體的高速穿甲過程，提出兩類典型彈體的阻力函數(shù)和剩余速度解析模型，進而結合彈體結構的空間表征，建立適用于橢圓截面截錐彈體高速貫穿金屬薄板的剩余速度預測模型。

1 橢圓截面彈體高速穿甲特性

1.1 仿真模型與參數(shù)

橢圓截面截錐彈體的具體尺寸參數(shù)如圖1 所示，橢圓截面的長短軸之比λ=1.6。以945 鋼板為研究對象，根據(jù)幾何尺寸縮比，靶板厚度為0.3 cm。彈體質量為265.2 g，著靶速度為700～1 000 m/s。仿真計算軟件為Abaqus/Explicit，采用全尺寸三維模型計算。網(wǎng)格尺寸對計算精度有較高影響，圖2 給出了彈體正貫穿0.3 cm 靶板的剩余速度與網(wǎng)格尺寸的變化規(guī)律，定義彈靶作用區(qū)的網(wǎng)格邊長為0.02 cm?？紤]到剪切帶寬度約為10～100 μm[17]，為表征平頭彈穿甲過程的裂紋擴展過程，平頭彈穿甲仿真模型中彈靶作用區(qū)的網(wǎng)格尺寸為0.01 cm[18]。單元類型為減縮積分單元C3D8R，靶板邊界施加固定約束邊界條件。彈靶接觸采用通用接觸算法，忽略彈靶間的摩擦作用[19]?？紤]到彈體直徑遠大于靶板厚度，彈體變形較小，為便于后續(xù)理論分析，假設彈體為剛性材料。

圖1 橢圓截面截錐彈體結構示意圖Fig.1 The geometry of the projectile

圖2 網(wǎng)格敏感性驗證Fig.2 Grid sensitivity verification

靶板材料的應力-應變關系采用改進的Johnson-Cook 本構模型描述，具體形式為：

式中： ε ˉp為等 效 塑性應 變； ε˙0和 ε˙ˉ 分 別為參 考 應變率和等效塑性應變率；T、T0和Tm分別為變形溫度、參考溫度和材料的熔點溫度；A為在參考應變率和參考溫度下的初始屈服應力；B和n分別為材料應變硬化模量和硬化指數(shù)；C1、C2為材料應變率強化參數(shù)；mT為材料熱軟化指數(shù)。

由于高速穿甲時靶板剪切區(qū)產(chǎn)生高溫導致材料軟化，引入局部塑性功產(chǎn)熱導致的溫升[20]：

式中：χ 為塑性功轉熱因子；ρ 為材料密度；c為比定壓熱容。

靶板材料的損傷特性由Mae[21]提出的計及應力三軸度η 的三段式損傷模型表征。假定損傷參數(shù)D與等效塑性應變成線性增加的關系，有：

式中：D1～D4為材料參數(shù)，D1=εf,s為剪切失效應變（即η=0 時）， εf,t為單軸拉伸失效應變（η=1/3 時）， εˉf為平均失效應變， d εˉp為等效塑性應變增量。當損傷參數(shù)D達到1 時單元刪除。

綜上所述，通過擬合參考文獻[22]的實驗數(shù)據(jù)，945 鋼的各項參數(shù)如表1 所示。

表1 945 鋼仿真材料參數(shù)統(tǒng)計Table 1 Material parameters of 945 steel used in numerical simulation

1.2 穿甲過程分析

基于彈體參數(shù)及模型參數(shù)，開展橢圓截面截錐彈體以1 000 m/s 初速正貫穿0.3 cm 945 鋼板的數(shù)值仿真分析。圖3 給出了彈體的速度和加速度變化曲線。根據(jù)加速度變化情況，彈體貫穿靶板的過程包括頭部侵入階段（階段Ⅰ）和彈身貫穿階段（階段Ⅱ），其中階段Ⅰ是彈靶作用的主要時期，階段Ⅱ無載荷作用。階段Ⅰ可進一步細化為4 個時期，如圖4～5 示。

圖3 彈體正貫穿速度/加速度曲線Fig.3 The velocity and acceleration curves of the projectile

圖4 彈體加速度與塞塊速度曲線Fig.4 The plug velocity and acceleration curves of the projectile

圖5 階段I 不同時刻彈靶速度分布Fig.5 Velocity distributions at different times in phase I

Ⅰ-Ⅰ時期，時刻?至時刻①。彈體頭部侵入靶板后，彈體前方靶板形成與截錐平臺面積相近的塞塊，塞塊速度迅速增加并超過彈體速度，在時刻①達到最大值。該時期頭部阻力由靶板剪切破壞和彈孔側壁的徑向擠壓產(chǎn)生，當塞塊速度高于彈體速度時，靶板剪切破壞導致阻力卸載。

Ⅰ-Ⅱ時期，時刻①至時刻②。塞塊在時刻①達到最大速度并與彈體分離，在慣性作用下繼續(xù)向前運動。高速運動的塞塊與四周靶板發(fā)生相對運動，靶板背面形成鼓包，并導致彈孔深度增加。塞塊作為新的侵徹體對靶板造成破壞，彈體阻力減小。

Ⅰ-Ⅲ時期，時刻②至時刻③。隨著塞塊的進一步運動，彈孔內(nèi)壁單元發(fā)生失效，塞塊在時刻③完全與靶板分離。由于塞塊侵徹靶板形成的彈孔面積與彈頭截錐面積相近，使得彈體侵入時徑向擠壓彈孔內(nèi)壁，從而出現(xiàn)延性擴孔的破壞模式。該時期彈體阻力由靶板的延性擴孔產(chǎn)生，阻力大小隨彈靶接觸面積的增大而增大。

Ⅰ-Ⅳ時期，時刻③之后。塞塊與靶板分離，彈體不再受塞塊影響。該階段可近似等效為橢圓截面卵形彈體侵徹具有初始開孔的金屬薄靶，彈體與彈孔內(nèi)壁完全貼合，靶板變形為局部的徑向擴孔。彈體阻力與彈體外形相關，阻力大小變化平緩，當彈體頭部貫穿靶板時阻力卸載為零。

根據(jù)彈塑性力學可知，材料的塑性變形及破壞與應力狀態(tài)相關，不同方向上的應力做功不同將導致塑性功分量出現(xiàn)區(qū)別，因此可根據(jù)靶板塑性功分量的分布情況量化分析靶板的破壞模式。以著靶點為原點建立柱坐標系rθz，其中r軸指向彈孔內(nèi)壁，z軸沿彈體軸線指向彈體尾部。柱坐標系下靶板單元的應力 σij、應變分量 εi j如圖6 所示，其中參量下標i，j=1，2，3，分別指代柱坐標系的r、θ、z軸。

基于圖6 所示的柱坐標系，靶板單元在各個方向上的塑性功可表示為：

式中：下標ij為柱坐標系的坐標軸方向，Wij為柱坐標系rθz下的塑性功分量， σ 和 εp分別為應力和塑性應變分量， γij=2εpi j為切應變分量，V為單元體積。

圖7 給出了階段Ⅰ的靶板塑性功率曲線。Ⅰ-Ⅰ和Ⅰ-Ⅱ時期，徑向應力σ11、切向應力σ13和軸向應力 σ33產(chǎn)生的塑性功率占比最大，結合平頭彈高速貫穿的破壞模式可知，該時期靶板響應以剪切破壞和軸向壓縮為主，靶板的破壞模式為剪切沖塞。Ⅰ-Ⅲ時期，切向應力 σ13對應的塑性功率減少，W11、W33和W13的變化率趨于一致。在Ⅰ-Ⅳ時期，徑向、軸向及切向塑性功分量變化率較大，表明此時靶板的響應主要為靶板平面內(nèi)的孔口擴張及垂直于靶板平面的彎曲變形，破壞模式為延性擴孔-花瓣彎曲，并以延性擴孔主導。

圖7 階段Ⅰ靶板的塑性功率-時間曲線Fig.7 Energy rate curves of the target in phase Ⅰ

通過上述分析，橢圓截面截錐彈體高速正貫穿金屬薄靶時，靶板的破壞模式分為侵入初期頭部截錐造成的剪切沖塞和卵形頭部對靶板的延性擴孔。為獲得兩類破壞模式所對應的彈體阻力特性，將橢圓截面截錐彈體分解為橢圓截面平頭彈和橢圓截面尖卵形彈，分別針對兩類彈體開展仿真研究。

1.3 穿甲阻力特性分析

定義與橢圓面積相等的圓為等效圓，半徑為re0。兩類彈體的彈身等效圓半徑為1.5 cm，長度約為10 cm，橢圓的長軸及短軸別為2re0λ0.5和2re0λ-0.5，長短軸之比λ 為1、1.5、1.8 和2，如圖8～9 所示。其中，平頭彈和尖卵形彈體的質量分別為554.6、453.9 g。

圖8 等效圓與橢圓的幾何關系Fig.8 Equivalent circle and ellipse

圖9 尖卵形彈體結構示意圖Fig.9 The geometry of the ogive projectile

4 種不同長短軸之比的橢圓截面尖卵形彈體以700～1 000 m/s 的初速侵徹0.3 cm 945 鋼板時的加速度曲線如圖10～11 所示。由圖可知，圓截面及橢圓截面彈體以900 m/s 的初速撞擊靶板時的加速度曲線基本重合，表明等效圓面積相等的橢圓截面彈體在同一初速下，延性擴孔產(chǎn)生的阻力相近。彈體阻力與著靶速度相關，速度的增大導致載荷峰值升高，降低了作用時間。

圖10 相同速度下不同尖卵形彈體加速度對比Fig.10 Ogive projectile’s acceleration at the same velocity

圖11 不同速度下尖卵形彈體加速度對比Fig.11 Ogive projectile’s acceleration at the different velocity

值得注意的是，雖然橢圓截面尖卵形彈體的軸向阻力與等截面積的圓截面彈體相同，但橢圓空腔擴孔過程中的應力并非均勻分布，如圖12所示。文獻[5, 23-25]研究了侵徹、爆炸載荷作用下橢圓空腔的應力分布，均發(fā)現(xiàn)橢圓長軸方向上的應力高于短軸，與圖12 一致。

圖12 橢圓空腔中的等效應力分布示意圖Fig.12 Stress distribution of elliptic cavity

橢圓截面平頭彈以700～1 000 m/s 的初速侵入0.3 cm 945 鋼板時的彈體加速曲線如圖13～14 所示。在相同沖擊速度下，等效圓面積相等的各類彈體的阻力曲線重合，因此計算橢圓截面彈體剪切沖塞阻力時可采用圓截面彈體的分析方法。圖14 驗證了上述結論在700～1 000 m/s 初速下的適用性，同時發(fā)現(xiàn)剪切沖塞破壞時彈體所受阻力與初速正相關。此外，各工況彈體正貫穿0.3 cm 靶板的時間均為1.25 μs，彈體最大位移約為0.12 cm，表明彈靶作用過程并非結束于頭部貫穿靶板。

圖13 相同速度下不同平頭彈加速度對比Fig.13 Flat projectile’s acceleration at the same velocity

圖14 不同速度下兩類平頭彈加速度對比Fig.14 Flat projectile’s acceleration at the different velocities

平頭彈低速正貫穿金屬薄靶可分為局部壓入（t1時刻）、裂紋擴展（t2時刻）和塞塊形成（t3時刻）等階段[26-27]，如圖15 (a)～(c)所示。其中紅色箭頭代表裂紋擴展的方向，發(fā)現(xiàn)裂紋產(chǎn)生于彈體侵入靶板后的一段時間，并以高于彈體的速度向靶板背面?zhèn)鞑ィ斄鸭y貫穿靶板后塞塊形成。高速沖擊時的靶板響應如圖15 (d)～(i)所示。在彈體頭部壓入階段（t1時刻），靶板發(fā)生壓縮變形和徑向擴張。t2時刻無裂紋產(chǎn)生，彈孔內(nèi)壁沿徑向擴展，出現(xiàn)延性擴孔的特征。t3時刻彈孔內(nèi)壁徑向擴張停止，塞塊與靶板相連位置產(chǎn)生裂紋，且裂紋方向隨著靶速度的增加逐漸轉向塞塊內(nèi)部。上述現(xiàn)象表明，薄板受平頭彈高速沖擊時出現(xiàn)延性擴孔和剪切沖塞相耦合的模式。彈體所受阻力除材料壓縮產(chǎn)生的軸向壓力、裂紋擴展形成的剪力外，還存在靶板徑向膨脹產(chǎn)生的阻力。

圖15 橢圓截面平頭彈以不同速度撞擊時靶板的破壞模式Fig.15 Failure modes of the target at different impact velocities

2 彈體阻力模型建立

橢圓截面截錐彈體的頭部長度約為靶板厚度的8 倍，穿甲過程包含了頭部截錐引起的剪切沖塞破壞和尖卵形頭部的延性擴孔破壞，且兩類破壞模式近似于獨立出現(xiàn)，因此本節(jié)分別基于橢圓截面尖卵形彈體和橢圓截面平頭彈體建立兩類破壞模式對應的阻力函數(shù)。在本文的研究范圍內(nèi)，Johnson 破壞數(shù)ΦJ?1、薄靶厚度與彈體直徑之比H/D＜1，因此建立阻力模型時僅考慮局部響應，忽略靶板的整體結構變形。

2.1 橢圓截面尖卵形彈高速正穿甲阻力模型

質量為m、頭部長度為l的剛性橢圓截面尖卵形彈體正侵入厚度為H的金屬薄板時，以彈體弧柱交界面為xOy平面，彈體軸線為z軸，建立如圖16 所示的坐標系。其中，a0、b0分別為弧柱交界面上橢圓的半長軸、半短軸長。

圖16 橢圓截面尖卵形彈體正貫穿薄靶示意圖Fig.16 Schematic of elliptical cross section ogive projectile penetrating thin target

進一步，將法向速度vn沿靶板面內(nèi)和靶板法向分解為ve和va。由于高速穿甲過程中，彈靶接觸面上的摩擦對彈體動能改變影響較小[19]，因此彈體僅受法向應力σn的作用。與法向速度vn分解方向一致，法向應力σn可分解為面內(nèi)應力σe和軸向應力σa。

由于橢圓截面尖卵形彈體對靶板徑向擠壓破壞與錐頭彈侵入靶板的延性擴孔破壞模式相近，因此面內(nèi)應力滿足Poncelet 形式，即：

式中：Am為材料的靜態(tài)阻力系數(shù)，Bm為慣性系數(shù)，Y、ρ 分別為靶板材料的屈服強度和密度。根據(jù)文獻[1] 采用的橢圓空腔表面應力的修正方法，σe可表示為：

Masri[16]提出了平面應力條件下單位體積靶板擴孔所需比能sc，則靜態(tài)阻力項Am可表示為：

式中：Ω為任意時刻彈靶接觸面積，dΩ為彈靶接觸位置處彈體微元面積。由延性擴孔過程的分析可知，頭部貫穿階段彈靶始終接觸，如圖18所示。

圖18 延性擴孔過程中彈靶相對位置關系示意圖Fig.18 The relative position between a projectile and a target

引入橢圓參數(shù)方程：

2.2 橢圓截面平頭彈高速正穿甲阻力模型

假設靶板在準靜態(tài)條件下滿足率無關的Johnson-Cook 本構關系：

同時考慮到材料在單軸拉伸條件下的應力三軸度η=1/3，結合式(5)，可得材料的準靜態(tài)抗拉強度為：

以945 鋼為例，塑性硬化模量為807 MPa，圖19 給出了初速600～1 000 m/s 條件下C與α 的關系曲線。絕熱剪切帶的寬度一般為10～100 μm[17]，對于0.3 cm 鋼板而言，α∈[0.01，0.1]，在高速沖擊條件下，本文中取C=0.5。結合式(22)～(24)則可表征動態(tài)剪切條件下材料的動態(tài)力學特性。

圖19 高速沖擊下C-α 曲線Fig.19 C-α curves under high velocity impact

根據(jù)前文的分析可知，高速正沖擊條件下，階段Ⅱ時彈體側壁與彈孔內(nèi)壁分離，不再受外力作用，因此假設載荷僅作用于彈體頭部。此外，圖15 表明，彈體高速侵入靶板時分為壓入和塞塊形成兩階段。橢圓截面平頭彈高速貫穿金屬薄靶時的載荷除Awerbuch[11]提出的慣性力、壓縮力和剪切力外，還應考慮延性擴孔阻力。在壓入階段，彈體所受載荷為慣性力Fi、壓縮力Fc和延性擴孔阻力Fr；塞塊形成階段因發(fā)生剪切破壞引入剪切力Fs。質量為m的橢圓截面平頭彈以初速v0正侵入厚度為H、密度為ρ 的金屬薄靶，彈靶作用過程及接觸面如圖20 所示。

(1) 壓入階段

彈體侵入靶板初期，彈靶作用區(qū)的靶板材料受壓縮并隨彈體一同運動，在彈體前方形成附加質量。如圖20 所示的彈靶接觸面上，彈體半長軸、半短軸分別為a0、b0，橢圓面積Ae=πa0b0，則彈體所受慣性力合力為：

假定壓入階段的開坑面積與彈體截面積相同，則作用在彈體頭部微元的壓縮力為：

彈孔內(nèi)壁材料沿徑向擴張的過程與橢圓空腔延性擴孔相同，采用式(10)近似計算，式中速度為材料徑向運動速度。彈體所受延性擴孔阻力為：

壓入階段的彈體運動學方程可表示為：

式中：M=m+ρAex為彈體與靶板附加質量之和，x為彈體侵入深度?？紤]到dM/dt=ρAedx/dt=ρAev，則上式可改寫為：

由于dv/dt=（dv/dx）（dx/dt）=v（dv/dx），則可得到彈體速度與侵入深度的函數(shù)：

壓入階段結束于彈靶接觸面上產(chǎn)生的塑性沖擊波運動至靶板背面時[26]，此時彈體侵入深度為x1。該階段的持續(xù)時間為：

式中：cs為塑性沖擊波波速。Teng 等[26]認為，高速沖擊條件下的塑性沖擊波速比彈體侵入速度v0和剪切鉸橫向傳播速度ch高一個量級，同時給出了塑性沖擊波波速的表達式：

式(32)表明，塑性沖擊波波速與彈體初速之比僅與彈體與塞塊的質量比、靶板厚度H及壓入深度x1相關，通過實驗測得塞塊的實際厚度H-x1，則可利用式(32)求得塑性沖擊波速。表2 給出了本節(jié)各仿真工況中塑性沖擊波到達靶板背面的時間t1、彈體壓入深度x1，結合靶板厚度H計算得到了塑性沖擊波速cs=H/t1。

表2 塑性沖擊波速仿真結果Table 2 Simulation results of the velocity of plastic shock wave

金屬材料在未發(fā)生相變的情況下的沖擊響應為：

式中：c0為壓力為0 時材料中的聲速，Sc為經(jīng)驗參數(shù)，u0為粒子速度。當兩種相同的材料對稱碰撞時，粒子速度為碰撞速度的一半，即u0=0.5v0。根據(jù)945 鋼的材料成分參數(shù)，采用相似配比的350 馬氏體時效鋼[30]作近似計算，其中c0=4 403 m/s、Sc=1.414。同時考慮彈體與靶板材料均為鋼材，則式(33)可改寫為：

從表2 給出的計算結果可知，式（34）計算出的塑性沖擊波波速低于仿真及式(32)得到的波速。考慮到采用350 馬氏體時效鋼作為945 鋼的近似，同時忽略了彈靶材料之間的差異，從而引入了誤差。由于壓入階段持續(xù)時間占總穿靶時間的10%～20%，為簡化計算模型，本文中采用式(34)近似計算塑性沖擊波速。

(2) 塞塊形成階段

在t1時刻，彈體壓入深度為x1，此時裂紋形成并向靶板背面擴展，彈體受剪切力作用?？紤]到剪切力與彈體侵入深度x相關，則對于厚度為H的薄靶，侵入過程中彈體剪切力為：

該階段附加質量作用于彈體的慣性力和延性擴孔阻力仍分別采用式(25)、(27)計算。壓縮力在塞塊形成階段隨侵入深度的增加逐漸減弱，當彈體貫穿靶板時壓縮力為0，因此采用二次函數(shù)近似表征壓縮力的變化情況[11]：

彈體在塞塊形成階段的運動學方程為：

此外，彈體侵入靶板的過程與彈靶作用深度xd相關。在平頭彈剪切沖塞模型中，實際彈靶作用深度xd存在差別，部分研究認為實際作用深度等于靶板厚度[31]，B?rvik 等[32]通過實驗及數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)實際作用深度約為靶板厚度的一半。Teng 等[26]給出了平頭彈撞擊時靶內(nèi)裂紋傳播平均速度vˉc的表達式，并認為該速度的最大值低于靶板材料的瑞利波速cR：

式中：v?0和vr為壓入階段結束時彈體速度和穿靶后的剩余速度。通過讀取數(shù)值仿真中各工況彈體的剩余速度和彈靶作用過程中彈體的位移，結合式(40)獲得了初速為700、800、900、1 000 m/s 時裂紋傳播的平均速度分別為2 398、2 057 、2 093、2 137 m/s，總平均速度為2 171 m/s。

945 鋼的彈性模量為210 GPa，泊松比為0.33，由式(41)可得材料的瑞利波速約為2 949.3 m/s，該速度略大于裂紋傳播的平均速度。通過式(40)計算裂紋傳播速度需要獲得彈體穿靶后的剩余速度和壓入階段的彈體速度，為簡化模型，認為裂紋傳播速度近似等于瑞利波速，即：

則塞塊形成階段中，彈靶作用的時間為：

通過以上分析，給出了橢圓截面彈體高速正貫穿金屬薄靶的阻力及速度函數(shù)，結合式(29)、(38)，代入初始條件v(t=0)=v0，在各階段作用時間t1、t2內(nèi)，以時間增量Δt求得不同時刻的彈體速度：

式中：下標i和i-1 分別代表當前時刻和上一時刻。

3 阻力模型驗證及應用

3.1 阻力模型驗證

圖21 和表3 給出了700～1 000 m/s 初速下兩類橢圓截面彈體正貫穿0.3 cm 945 鋼板的剩余速度，并比較了仿真結果與理論結果的相對誤差。結果表明，基于式(21)、(44)得到的彈體剩余速度與仿真結果的相對誤差小于2%。

表3 模型誤差Table 3 Relative deviation of the model

圖21 剩余速度-初速曲線Fig.21 Residual velocity vs.initial velocity curves

3.2 橢圓彈正穿甲模型

上述兩類模型給出了彈體高速穿甲過程中阻力函數(shù)和剩余速度計算方法，但僅適用于結構簡單的橢圓截面平頭彈和尖卵形彈體。對于本文中所研究的橢圓截面截錐彈體，可基于剛體動力學理論、彈靶分離思想[6]建立橢圓彈正穿甲模型。主要步驟包括彈體表面網(wǎng)格劃分、求解應力函數(shù)及彈體運動方程組計算等。

參照作者前期工作中得到的橢圓截面彈體的網(wǎng)格劃分方法[6]，橢圓截面截錐彈體的表面網(wǎng)格劃分如圖22 所示。

圖22 彈體表面單元劃分示意圖Fig.22 Meshing of projectile surface

根據(jù)微分面力法[33]，穿靶過程中彈體所受載荷垂直于彈體表面微元，即：

結合上述彈體表面網(wǎng)格劃分和應力函數(shù)，根據(jù)文獻[6]給出的剛性彈體空間運動方程組及坐標轉換關系，建立橢圓截面截錐彈體的橢圓彈正穿甲模型，計算流程如圖23 所示。

圖23 計算流程圖Fig.23 Flow chart of computation

3.3 橢圓彈正穿甲模型驗證

圖24 給出了圖1 中橢圓截面截錐彈體以800～900 m/s 初速正貫穿0.3 cm 945 鋼板的加速度曲線。可以看出，橢圓彈正穿甲模型計算得到的彈體加速度曲線與仿真結果吻合。此外，模型得到的剪切沖塞持續(xù)時間與仿真結果相近，證明了采用式(34)近似計算剪切沖塞作用時間的合理性。

圖24 彈體加速度曲線對比圖Fig.24 Comparison on the acceleration of projectile

為進一步驗證正穿甲模型的有效性和適用范圍，圖25 給出了等效圓面積相同、長短軸之比為1.6 和2 時，橢圓截面截錐彈體正貫穿0.3、0.5 cm 945 鋼板的剩余速度曲線。結果表明，兩類工況的理論結果與仿真值吻合較好。此外，結合Recht-Ipson 公式[10]和仿真數(shù)據(jù)，得到了兩類工況的彈道極限曲線。Recht-Ipson 公式[10]為：

圖25 兩類彈體正穿甲剩余速度曲線Fig.25 Residual velocity of two types of projectiles

式中：vt、v0和vbl分別為剩余速度、初速及彈道極限。a、p為系數(shù)，由仿真結果進行擬合得到。表4 統(tǒng)計了本文阻力模型與Recht-Ipson 公式預測的剩余速度對比。比較彈道極限曲線和理論結果可以看出，橢圓彈正穿甲模型高估了低速沖擊時的彈體穿甲能力。分析認為，兩類阻力模型均忽略了靶板的整體變形，而在低速沖擊時靶板的結構響應與局部響應共同主導了彈體的能量耗散，從而導致理論計算的剩余速度高于實際值。

表4 剩余速度對比表Table 4 Comparison of the residual velocity

綜合以上分析，本文提出的橢圓彈正穿甲模型對于描述彈體高速沖擊時的阻力特性具有較高精度，適用于預測橢圓截面截錐彈體高速侵徹金屬薄靶的彈體阻力和速度變化情況。

4 結 論

基于數(shù)值仿真方法分析了橢圓截面截錐彈體高速貫穿金屬薄靶的阻力特性和靶板破壞模式，針對橢圓截面尖卵形彈體和平頭彈體貫穿薄靶的作用過程進行了研究，提出了高速穿甲阻力函數(shù)和剩余速度預測模型，并結合微分面力法與剛體動力學理論構建了橢圓彈正穿甲模型，得到的主要結論如下。

(1)金屬薄靶受橢圓截面尖卵形彈體高速沖擊時的破壞模式為延性擴孔，未出現(xiàn)明顯的花瓣破壞。彈體表面法向阻力仍滿足Poncelet 二次函數(shù)形式，非對稱彈頭結構導致彈體表面載荷非均勻分布，表現(xiàn)為長軸方向載荷高于短軸方向。

(2)橢圓截面平頭彈高速撞擊金屬薄靶時的響應與低速時不同，除材料的軸向擠壓、剪切失效、裂紋擴展外，出現(xiàn)類似于延性擴孔的破壞模式，穿甲過程可分解為壓入階段和塞塊形成階段兩部分。彈靶作用時間與材料性能和沖擊速度相關，兩階段分別在塑性沖擊波到達靶板背面和裂紋貫穿靶板時結束。

(3)橢圓截面尖卵形、平頭彈體正貫穿金屬薄板時所受阻力與截面積相等的圓截面彈體相近，區(qū)別在于橢圓截面彈體非對稱結構外形導致載荷非均勻分布。

(4)基于橢圓截面尖卵形/平頭彈體高速穿甲阻力函數(shù)的橢圓彈正穿甲模型，可較好地預測橢圓截面截錐彈體在高速條件下貫穿金屬薄靶時的阻力特性及彈體速度變化特征。

本文中所研究的正貫穿條件及橢圓的軸對稱性掩蓋了彈體載荷非均勻分布造成的彈體偏轉，而在斜貫穿條件下非對稱載荷分布是非圓截面彈體姿態(tài)偏轉的重要問題，因此后續(xù)工作中應對該問題進行深入研究。