平均曲率半徑對(duì)電磁波測距三角高程測量的影響分析

張成增,丁 璐,李增星,蘆小勇

(1. 中國電建集團(tuán)西北勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司,西安 710065;2. 陜西嵐河水電開發(fā)有限責(zé)任公司,陜西 安康 725000)

0 前 言

電磁波測距三角高程測量(EDM-Trigonomeric Leveling)的高差改正計(jì)算與地球平均曲率半徑和折光系數(shù)有關(guān)[1-6]?，F(xiàn)行的不同測量規(guī)程規(guī)范中,對(duì)計(jì)算中地球曲率半徑取值的規(guī)定有所不同,或未作具體要求,雖然有的規(guī)范給出了唯一取值,但是在實(shí)際作業(yè)中,測量人員取值的方式多種多樣,有按地球平均半徑取值,有按地球平均曲率半徑取值,有按橢球長半軸半徑取值,有通過查詢表查詢,也有通過公式具體計(jì)算,有的取值精確到1 km,有的取值精確到1 m,總體上沒有明確的取值標(biāo)準(zhǔn)。本文通過分析地球曲率半徑取值精度對(duì)三等三角高程測量精度的影響,獲得三等及以下測距三角高程測量對(duì)地球曲率半徑取值的精度要求,為測距三角高程測量計(jì)算中地球平均曲率半徑的取值精度提供明確、可靠的技術(shù)依據(jù)。

1 地球平均曲率半徑

由于地球平均曲率半徑計(jì)算的數(shù)據(jù)量較大,為了便于應(yīng)用,本文給出CGCS2000參考橢球體不同緯度的地球平均曲率半徑索引表,具體見表1。

表1 地球平均曲率半徑索引表 /m

2 測距三角高程測量誤差來源分析

GB/T 12898—2009《國家三、四等水準(zhǔn)測量規(guī)范》給出四等水準(zhǔn)路線或支線采用電磁波測距三角高程導(dǎo)線測量時(shí),每點(diǎn)設(shè)站法測站高差的計(jì)算中,相鄰測站間單向觀測高差計(jì)算公式為:

(1)

式中僅考慮了地球曲率對(duì)高差觀測值的影響,明確指出式中R為地球平均曲率半徑,采用6 369 000 m,公式中沒有考慮大氣垂直折光對(duì)高差的影響。

CJJ/T 8-2011《城市測量規(guī)范》給出的四等三角高程導(dǎo)線測量相鄰測站間對(duì)向觀測的高差計(jì)算公式,以及NB/T 35029-2014《水電工程測量規(guī)范》給出三、四、五等電磁波測距三角高程觀測時(shí),單向觀測高差計(jì)算為式(2):

(2)

式中:S為觀測邊的斜距;α為垂直角;K為垂直折光系數(shù);R為地球平均曲率半徑;i為儀器高;l為標(biāo)高。

公式中同時(shí)考慮了地球曲率和大氣折光系數(shù)K對(duì)高差觀測值的影響,但對(duì)地球平均曲率半徑R的取值精度沒有做出明確規(guī)定。

電磁波測距三角高程測量在實(shí)際工程測量應(yīng)用中,測距邊一般較長,地球曲率和大氣折光都會(huì)對(duì)高差產(chǎn)生影響[1]。下面的分析計(jì)算以式(2)為基礎(chǔ)進(jìn)行。式(2)可表示為:

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行微分,根據(jù)誤差傳播定律可得:

(4)

由以上電磁波測距三角高程測量高差誤差公式可知,影響高差測量精度的主要因素為垂直角α的測量誤差和大氣垂直折光系數(shù)K的測量誤差,其他影響因素還有邊長、地球平均曲率半徑、儀器高、標(biāo)高等誤差。其中,與地球平均曲率半徑誤差相關(guān)的改正項(xiàng)為:

(5)

3 大氣垂直折光系數(shù)變化范圍

測距三角高程測量中的大氣折光一般屬于近地層的垂直折射,這種折射主要由溫度梯度致使大氣密度發(fā)生變化而產(chǎn)生[8]。而折光系數(shù)K與氣溫、氣壓特別是大氣密度有關(guān),其值不易測定[9]。

一般地區(qū)觀測條件較好的情況下(成像清晰、信號(hào)穩(wěn)定、視線高度離開地面1.5 m以上、觀測時(shí)避開日出日落時(shí)段等),這時(shí)的垂直折光系數(shù)K隨著地理位置條件的不同,約變化于0.09～0.16[10]。

文獻(xiàn)[11]針對(duì)不同觀測條件(含地面溫度變化梯度大,視線離開地面較近等惡劣觀測條件),通過大量實(shí)測資料統(tǒng)計(jì)分析得知,各種地形條件下的大氣折光系數(shù)的變化范圍很大。陰天,視線懸空為下限,晴天,接近地面為上限的情況下,高山峽谷地形條件、視線懸空時(shí),K為-0.10～0.15;一般山區(qū)、視線離開地面5 m以上時(shí),K為-0.40～-0.20;丘陵地區(qū)、視線離開地面1.5 m以上時(shí),K為-0.60～-0.30;平原水網(wǎng)、視線平行地面時(shí),K為-0.80～-0.40;沙漠戈壁、視線平行地面時(shí),K為-2.50～-0.60;鐵路既有線、視線平行地面時(shí),K為-4.00～-0.80[11]。

由此可見,其數(shù)值變化很大,如果作業(yè)中K值取值不當(dāng),將會(huì)使觀測高差值出現(xiàn)較大誤差。結(jié)合文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]的統(tǒng)計(jì)分析,可知在不同觀測條件下,K值變化于-4.00～0.16。為了簡化式(5)的運(yùn)算,K值分別取0、-1、-2、-3、-4,進(jìn)行計(jì)算分析。

4 地球平均曲率半徑誤差的影響

《國家三、四等水準(zhǔn)測量規(guī)范》規(guī)定,三、四等水準(zhǔn)測量每公里水準(zhǔn)測量的偶然中誤差限差分別為3.0 mm和5.0 mm。首先來分析R的取值精度對(duì)三等水準(zhǔn)測量精度的影響,滿足三等水準(zhǔn)測量精度后,自然滿足四等及以下等級(jí)的精度要求。

由式(4)可見,測距三角高程測量高差的誤差是采用方和根合成的,根據(jù)微小誤差取舍準(zhǔn)則[12],當(dāng)測量不確定度的有效數(shù)字取1位時(shí),被舍去的某個(gè)分量引起的誤差δk必須小于或等于測量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差δ的1/3;當(dāng)δk≤(1/3)δ時(shí),則δk可視為微小分量。

故此,對(duì)于代替三等水準(zhǔn)測量的測距三角高程測量,如果某改正項(xiàng)引起的誤差不大于偶然中誤差的1/3,即不大于1 mm時(shí),可視其為微小分量,計(jì)算總誤差時(shí)即可舍去。也就是說,如果與地球平均曲率半徑誤差相關(guān)的改正項(xiàng)mc≤±1.0 mm時(shí),mc項(xiàng)即可舍去。

即當(dāng)?shù)厍蚯拾霃秸`差(mR)滿足如下條件時(shí),由其引起的測量誤差可以舍去:

(6)

為了簡化計(jì)算,上式中,當(dāng)垂直角α為0°,視線長度S取《國家三、四等水準(zhǔn)測量規(guī)范》規(guī)定最大長度1 000 m時(shí),式(6)可轉(zhuǎn)化為:

(7)

即:對(duì)于三等電磁波測距三角高程測量,當(dāng)滿足式(7)的條件時(shí),由地球平均曲率半徑R取值誤差引起的改正項(xiàng)可以忽略不計(jì)。

針對(duì)不同的垂直折光系數(shù)K,可利用式(7)計(jì)算不同緯度位置地球平均曲率半徑取值的最大允許偏差值。

CGCS2000橢球體不同緯度三等測距三角高程測量中,計(jì)算高差改正值時(shí),地球平均曲率半徑取值的最大允許偏差值如表2所示。

表2 三等測距三角高程測量平均曲率半徑取值最大允許偏差值

根據(jù)不同的垂直折光系數(shù)K所對(duì)應(yīng)的R最大允許偏差,可計(jì)算不同緯度處地球平均曲率半徑R的允許取值范圍,具體如表3所示。由表3生成相應(yīng)的R允許取值范圍隨緯度變化的曲線如圖1所示。

表3 三等測距三角高程測量平均曲率半徑最大允許取值范圍

由表2、3及圖1可知,在CGCS2000參考橢球下:

(1)K值相同時(shí),隨著緯度的增加,R的允許偏差值逐漸增大,但增大幅度較小;

(2) 相同緯度,隨著K值的減小,R的允許偏差值逐漸減小,且減小幅度較大;

(3)K值不小于-2.0時(shí),可取用橢球長半徑近似值6 378.1 km代替全球各地的地球平均曲率半徑,進(jìn)行三、四等(或以下)測距三角高程測量計(jì)算;

(4) 當(dāng)工程區(qū)觀測環(huán)境較惡劣(K值較小)時(shí),R應(yīng)取當(dāng)?shù)氐厍蚱骄拾霃健?/p>

事實(shí)上,一般觀測條件下(排除地面溫度變化梯度大,視線離開地面較近等惡劣觀測條件),大氣垂直折光系數(shù)K的變化于0.09～0.16[10]。最大視線長度1 000 m范圍內(nèi),經(jīng)過驗(yàn)算可知:

(1) 使用緯度45°處的地球平均曲率半徑R=6 378.1 km(近同于CGCS2000橢球體長半徑6 378.137 km),來代替地面各點(diǎn)的平均曲率半徑,計(jì)算高差變化值,其引起的變化范圍在±0.24 mm之間,遠(yuǎn)小于三等水準(zhǔn)測量每公里水準(zhǔn)測量的偶然中誤差限差±3.0 mm,完全滿足三等及以下水準(zhǔn)測量精度要求;

(2) 常有的幾種橢球體(克拉索夫斯基橢球體、1975年國際橢球體、WGS-84橢球體、CGCS2000橢球體等)之間,所獲得的R值變化范圍較小,可以不考慮橢球體間曲率半徑的差異,高差計(jì)算中可取相同的近似值;

(3) 地表高程值與地球曲率半徑允許偏差值相比,高程值較小時(shí),可以不考慮當(dāng)?shù)馗叱讨狄鸬那首兓?/p>

事實(shí)上,經(jīng)過驗(yàn)算還可得知,當(dāng)觀測條件稍差(如當(dāng)折光系數(shù)K=-2)時(shí),使用緯度45°處的地球平均曲率半徑R=6 378.1 km,來代替地面各點(diǎn)的平均曲率半徑,計(jì)算高差變化值,其引起的變化范圍在±0.81 mm之間,此時(shí)對(duì)于三等水準(zhǔn)測量精度要求來說,理論上仍可將其視為微小分量。實(shí)際應(yīng)用中,考慮到高海拔、大高差等對(duì)觀測邊所處位置平均曲率半徑的的影響,謹(jǐn)慎起見,特別是當(dāng)K≤-2時(shí),應(yīng)采用當(dāng)?shù)仄骄拾霃健?/p>

5 結(jié) 論

通過以上對(duì)測距三角高程測量高差計(jì)算中,由于地球平均曲率半徑誤差所致高程測量精度變化的分析,可得出如下結(jié)論:

(1) 一般觀測條件(成像清晰、信號(hào)穩(wěn)定、視線高度離開地面1.5 m以上、觀測時(shí)避開日出日落時(shí)段等)下,為了計(jì)算方便計(jì)算和減少R值對(duì)高差改正的影響,建議采用緯度45°處地球平均曲率半徑R=6 378.1 km,進(jìn)行三等及以下測距三角高程測量中的高差計(jì)算。

(2) 惡劣觀測條件(如地面溫度變化梯度大,視線離開地面、水面或障礙物較近等)下,特別是當(dāng)觀測邊超長或折光系數(shù)K≤-2時(shí),應(yīng)查表或計(jì)算工程區(qū)相對(duì)應(yīng)的地球平均曲率半徑值,進(jìn)行高差計(jì)算。

(3) 常用的橢球體(克拉索夫斯基橢球體、1975年國際橢球體、WGS-84橢球體、CGCS2000橢球體等)之間,所獲得地球平均曲率半徑R的差異值與其允許偏差值相比較小,可以不用考慮橢球體間曲率半徑的差異。