七自由度冗余機械臂運動學和動力學分析及仿真

張澤璽，熊根良，張華，許寶陽，包俊陽

（201620 上海市 上海工程技術大學 上海市大型構件智能制造機器人技術協(xié)同創(chuàng)新中心）

0 引言

串聯(lián)機械臂在工業(yè)領域逐漸大放異彩，特別是以六自由度機械臂為代表的非冗余機械臂技術已漸趨成熟。隨著工業(yè)技術的高速發(fā)展，機械臂的工作場景變得愈加復雜，人們對機械臂的工作性能也有了更高的要求。傳統(tǒng)的低自由度非冗余機械臂漸漸難以勝任，因此需要加強對以七自由度機械臂為代表的冗余機械臂的研究。冗余機械臂最大的優(yōu)勢在于其具有多余的自由度，因而相較于非冗余機械臂有著更高的靈活性、容錯性與可靠性，且利用其自運動的特性可以實現(xiàn)避障[1]、避奇異點[2]、避免關節(jié)限位、優(yōu)化關節(jié)力矩[3]、適應人類動作[4]等性能指標，但隨著機械臂的自由度數(shù)目的增加，機械臂的運動學與動力學求解的難度也隨之提高[5]，因此對冗余機械臂進行深入的研究是非常必要的。

國內(nèi)外學者對七自由度冗余機械臂的運動學及動力學研究取得許多進展。Shimizu 等[6]對七自由度機械臂進行逆運動學研究，證明將臂形角作為冗余參數(shù)可完全反應機械臂的冗余性，該方法的幾何意義明顯，缺點在于其普適性低，僅適用于機械臂肩部和腕部均為等效球關節(jié)的構型；趙京等[7]基于臂形角參數(shù)化方法，以最小勢能指標為理論依據(jù)可以確定機械臂唯一的肘部位置，繼而完成了七自由度機械臂的逆運動學求解；徐俊虎等[8]對“骨科手術輔助機器人系統(tǒng)”中的無偏置七自由度冗余機械臂進行運動學逆解時，提出了一種以減小最大關節(jié)位移為控制優(yōu)化目標的優(yōu)化方法，利用該方法可顯著提升機械臂的作業(yè)效率；祖迪等[9]將梯度投影法與關節(jié)角參數(shù)化方法相結合求解冗余機械臂的逆運動學問題，在梯度投影法得到一個優(yōu)化近似解的基礎上，再利用關節(jié)角參數(shù)化方法得到一個更為精確的解；Fei 等[10]提出將加權最小范數(shù)法與梯度投影法相結合的思路，與僅使用加權最小范數(shù)法相比，關節(jié)速度變化更加平穩(wěn)，求解更加可靠；馮玉倩等[11]基于拉格朗日方法對七軸機械臂進行動力學分析與仿真，驗證了其建立模型的合理性，但其不足在于仿真沒有建立在實際工況環(huán)境中；劉壯壯[12]采用牛頓-歐拉方法對冗余機械臂進行了動力學求解及仿真，并基于慣性橢球原理對機械臂的動力學性能進行了分析；陳罡等[13]基于ADAMS 與MATLAB 對七自由度機械臂進行聯(lián)合仿真，分析了各關節(jié)之間控制參數(shù)的耦合性，仿真結果驗證了機械臂末端執(zhí)行器的動態(tài)響應可以滿足實際工況的需求。

本文針對七自由度機械臂Diana V2 的運動學及動力學建模的正確性問題分別進行分析與驗證。針對運動學問題，首先基于D-H 方法建立機械臂的正運動學模型，再采用梯度投影法對機械臂的逆運動學問題進行求解，利用MATLAB 機器人工具箱驗證結果；針對動力學問題，在SolidWorks中建立該冗余機械臂的三維模型，采用拉格朗日方法對其進行動力學理論建模，然后將模型導入ADAMS 中，將機械臂按照規(guī)劃路徑進行運動，得出機械臂七個關節(jié)力矩隨時間變化的仿真曲線，并將仿真得到的輸出信息作為MATLAB 中動力學方程的輸入，MATLAB 數(shù)值分析后繪制出的力矩曲線與ADAMS 仿真曲線進行對比，以驗證動力學模型的可靠性。

1 七自由度機械臂構型分析

冗余機械臂最顯著的構型特點在于其“自運動”特性，也就是在末端位姿固定的情況下可以有無數(shù)組關節(jié)角度與之對應。如今已經(jīng)有很多學者對七自由度機械臂的構型問題進行了大量的研究與分析，本文所使用的Diana V2 機械臂是思靈公司生產(chǎn)的一款輕量化協(xié)作機械臂，其構型為帶有偏置的SRS 型，具備反應快、自適應、靈敏度高等優(yōu)點，適合精密裝配與在狹窄空間中作業(yè)。在建立機械臂坐標系的各種方法中，D-H 方法的應用是最為廣泛的，本文采用改進后的D-H 方法描述機械臂的結構參數(shù)，并建立各個連桿的坐標系，該機械手臂的模型及DH 坐標系如圖1 所示，機械臂D-H 參數(shù)值如表1 所示。

表1 冗余機械臂D-H 參數(shù)值Tab.1 D-H parameter value of manipulator

圖1 機械臂模型及連桿坐標系Fig.1 Manipulator model and linkage coordinate system

2 機械臂運動學分析

2.1 正運動學

2.2 逆運動學

機械臂逆運動學與正運動學的求解過程相反，相對更為困難，是已知末端位姿求解機械臂各個關節(jié)的角度值。但是由于冗余機械臂自身的冗余特性，使得同一個末端位姿可以反解出無數(shù)組解，因此需要補充相應的約束條件求得唯一解。本文采用梯度投影法求運動學逆解，該方法求得的解由特解和齊次解2 部分組成，由于特解與齊次解是正交關系，因此梯度投影法在不影響完成首要任務的同時，能對次要任務進行優(yōu)化。梯度投影法的公式為

式中：——逆運動學方程=的解，可以保證機械臂末端的運動規(guī)律；k(I-J+J)——=0的齊次解，是H? 在零空間的投影，該部分的作用是在不影響機械臂末端位姿的前提下，通過對目標函數(shù)的優(yōu)化實現(xiàn)關節(jié)變量的最優(yōu)化；k——梯度系數(shù)，其大小與優(yōu)化速度呈正相關；H?——優(yōu)化目標H的梯度。

在實際應用場景中，梯度系數(shù)k的取值是難點，k取值過大易引發(fā)震蕩，k取值較小則對機械臂關節(jié)運動的約束作用不明顯，可能造成關節(jié)變量超出關節(jié)極限范圍。

利用MATLAB 機器人工具箱對機械臂逆運動學算法進行驗證，圖2 為機械臂各關節(jié)角度分別為pi/2，-pi/4，-pi/2，pi/3，pi/2，3/4pi，-3/4pi 時 的仿真模型，將關節(jié)角度代入正運動學方程計算出對應的末端位姿矩陣，并將該位姿矩陣作為逆運動學算法的輸入，計算得到各關節(jié)角度與初始值誤差很小，且由圖3 可知逆運動學解算出的關節(jié)角連續(xù)且平滑，而且角度變化范圍也在各關節(jié)的運動范圍之內(nèi)，因此驗證了逆運動學算法的正確性。

圖2 機械臂仿真模型Fig.2 Simulation model of manipulator

圖3 各關節(jié)角度變化曲線Fig.3 Joint angle change curve

2.3 工作空間求解

蒙特卡洛法是基于概率統(tǒng)計論對隨機性問題進行仿真，機械臂末端的理論工作位置并不屬于隨機性問題，因此先將機械臂工作空間的解設計為統(tǒng)計參量，再利用該方法可在MATLAB 中求解得到該七自由度機械臂的工作空間。此次定義隨機采樣點數(shù)為5 000。隨機采樣點數(shù)越大，呈現(xiàn)出的工作空間范圍則越接近真實的工作空間，可得到該機械臂的工作空間范圍接近一個橢球體，機械臂工作空間云圖如圖4 所示。

圖4 機械臂工作空間云圖Fig.4 Cloud map of manipulator workspace

3 機械臂動力學分析

3.1 動力學建模

動力學主要研究的是物體運動與力之間的關系，該機械臂所有關節(jié)均為旋轉關節(jié)，故對其進行運動和關節(jié)力矩分析時，需要考慮各個連桿的慣性張量I。將機械臂各個連桿的質心C作為原點建立坐標系，則相對此坐標系慣性張量I 為

其中對角線元素為剛體繞坐標軸的質量慣性矩，其余元素為慣性積。機械臂各連桿的質量、質心位置、轉動慣量等參數(shù)如表2 所示。

表2 機械臂屬性參數(shù)Tab.2 Mechanical arm attribute parameters

研究機械臂動力學的方法有牛頓-歐拉法、拉格朗日法、旋量方法及凱恩方法等，鑒于Diana七自由度機械臂構型的復雜性，采用拉格朗日方法對其進行動力學分析。拉格朗日方法本質上是基于系統(tǒng)能量對時間采用微分的動力學方法，該方法基于能量平衡方程，更適合于分析同一系統(tǒng)中的多個連桿運動。

定義拉格朗日函數(shù)為L=K-P，其中：L——拉格朗日函數(shù)，K——機械臂系統(tǒng)總動能，P——系統(tǒng)總勢能。對于Diana 七自由度機械臂而言，系統(tǒng)動能和勢能分別為

連桿i的質心在連桿i局部坐標系中的位置為

機械臂各個關節(jié)力矩的推導方程為

式中：τi——機械臂廣義力或力矩；θi——廣義坐標；——廣義坐標的1 階導數(shù)。計算上述拉格朗日方程中的導數(shù)項可得新的各關節(jié)力矩表達式為

式（9）中的第1 部分代表機械臂廣義加速度產(chǎn)生的慣性力對動力學的影響，第2 部分為科氏力和離心力項，第3 部分表示重力對關節(jié)轉矩的影響。

本文以Diana 七自由度機械臂為實驗平臺進行動力學分析，將其動力學方程展開為

在七自由度冗余機械臂的運動過程中，科氏力與向心力對動力學的影響與轉速呈正相關。通常大臂關節(jié)轉速較慢，故可以忽略對動力學影響很小的科氏力與向心力，但同時小臂及腕部關節(jié)的轉速相對較高，因此在求解動力學的過程中不可忽略。另外，角加速度與重力對機械臂運動的穩(wěn)定性與精度有著較大的影響。故應當綜合分析對機械臂動力學產(chǎn)生影響的因素并相應地做出簡化，以得到各個關節(jié)的力矩推導公式。

3.2 動力學仿真

采用ADAMS 作為仿真平臺對七自由度冗余機械臂進行動力學分析。首先基于SolidWorks 建立了冗余機械臂的三維模型，并將模型保存為Parasolid格式并導入ADAMS，需注意建立的模型應盡量簡化，滿足虛擬樣機仿真性能的同時，構件數(shù)量盡可能少。在SolidWorks 中建立的簡化模型如圖5 所示。

圖5 機械臂簡化模型Fig.5 Simplified model of robotic arm

首先需要根據(jù)機械臂的實際需要設置仿真參數(shù)，從而預測機械臂的力矩值。將上述建立的機械臂模型導入到ADAMS 中，導入后對機械臂的屬性進行定義，包括顏色、位置、名稱和材料等，特別是質量信息，以確保仿真模型的質心與轉動慣量與三維模型保持一致，然后再對機械臂添加約束，由于Diana 機械臂有7 個轉動自由度，因此在機械臂各個關節(jié)處添加一個轉動副，并在基座與大地之間添加一個固定副。設置完成后的模型如圖6 所示。

圖6 機械臂約束與驅動Fig.6 Constraint and drive of manipulator

為了使機械臂按照預定軌跡運動，需要對每個轉動副設置相應的驅動，設置完成后的各關節(jié)初始關節(jié)角度均為0，目標關節(jié)角度依次為60，30，45，30，90，45，120。規(guī)劃仿真時間為5 s，仿真步長設置為300。此時便可以求解系統(tǒng)中的反約束力，根據(jù)運動求作用力就是逆動力學問題。通過ADAMS 完成對機械臂的動態(tài)仿真后，從后處理模塊中得到各關節(jié)仿真力矩隨時間變化曲線。

另外，機械臂動力學求解包含大量的矩陣運算，因此需要在MATLAB 中對動力學理論模型進行相應的簡化，將仿真得到的機械臂各關節(jié)運動物理量（角度、角速度、角加速度）作為動力學方程的輸入，求出各個時間點對應的關節(jié)力矩值并擬合成相應的曲線，最后與上述仿真得到的力矩曲線進行對比。圖7 為機械臂各關節(jié)理論力矩曲線和仿真力矩曲線的對比。

圖7 各關節(jié)理論力矩曲線與仿真力矩曲線對比圖Fig.7 Comparison diagram of theoretical torque curve and simulation torque curve of each joint

由圖7 可知，相較其他關節(jié)，關節(jié)7 的驅動力矩最小，這是因為關節(jié)7 運動過程中僅有很小的負載，且負載集中在其關節(jié)軸線附近，因此即使有較大的角加速度，對驅動力矩的影響也很小；關節(jié)2的驅動力矩逐漸增大且幅值遠大于其他關節(jié)，這是因為機械臂按照預定路徑運動時，關節(jié)2 處所受的負載逐漸變大，且需要承受上部關節(jié)的重力和運動時產(chǎn)生的向心力及科氏力。通過觀察各關節(jié)的力矩變化，總體可以看出各關節(jié)力矩受其余關節(jié)的耦合影響。通過機械臂各關節(jié)的力矩仿真曲線，分析各關節(jié)的動力學特性，為進一步研究機械臂控制及設備性能可靠性提供參考。

綜上，七自由度機械臂按照規(guī)劃路徑運行時的理論與仿真力矩數(shù)據(jù)基本吻合，驗證了動力學建模的準確性，因此上述建立的動力學方程可應用于后續(xù)的算法研究中，也為機械臂后續(xù)控制提供了試驗基礎。

4 結論

（1）采用改進D-H 法建立了冗余機械臂的連桿坐標系，推導出相應的運動學方程，基于梯度投影法求解其逆運動學問題，并利用MATLAB 機器人工具箱驗證了算法的可靠性；（2）以拉格朗日方法為理論基礎，建立了冗余機械臂的動力學模型，當機械臂運動時，可通過動力學方程計算出機械臂各個關節(jié)的理論力矩；（3）在SolidWorks 中建立了冗余機械臂的三維模型，將模型導入ADAMS 進行動力學仿真并繪制出仿真力矩曲線，將ADAMS仿真得到的運動信息作為MATLAB 動力學方程的輸入，繪制理論力矩曲線。將兩者進行對比，判斷擬合程度，結果證明了動力學建模的可靠性。

本文對冗余機械臂運動學與動力學的分析研究為后續(xù)控制研究和運動優(yōu)化提供了試驗依據(jù)和理論基礎。