RRPRR型五桿機(jī)構(gòu)開式軌跡綜合研究

辛軍煒, 鄧援超, 宋志成, 蔡宇飛

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,武漢 430068,E-mail:yiyuansdiy@163.com)

平面五桿機(jī)構(gòu)是桿數(shù)最少的二自由度機(jī)構(gòu)[1],由于運(yùn)動副都為低副,其承載能力大,因此在工程上應(yīng)用廣泛。相對于四桿機(jī)構(gòu),五桿機(jī)構(gòu)具有較高的柔性,其中RRPRR型五桿機(jī)構(gòu)的可動性不受桿長條件的約束[2],末端工作點(diǎn)具有較高的柔性,可實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜的運(yùn)動軌跡。

在連桿軌跡生成的研究中,由于傅里葉描述符對軌跡有很好的描述,且軌跡曲線的平移、縮放、旋轉(zhuǎn)對曲線的特征參數(shù)沒有影響,通過曲線特征參數(shù)擬合的方法得到了廣泛應(yīng)用。主流的方法有通過數(shù)值圖譜法將曲線的特征參數(shù)存儲在計算機(jī)中后使用模糊識別算法進(jìn)行匹配,以及采用擬合算法通過曲線的特征參數(shù)進(jìn)行連桿參數(shù)擬合。褚金奎等[3]通過諧波特征參數(shù)法,對連桿機(jī)構(gòu)的尺寸,機(jī)構(gòu)安裝位置,連桿上工作點(diǎn)的位置參數(shù)進(jìn)行綜合,建立了數(shù)值圖譜庫;馮立艷等[4]通過建立機(jī)構(gòu)實(shí)際尺寸和安裝參數(shù)與傅里葉特征諧波參數(shù)之間的關(guān)系,結(jié)合遺傳算法對五桿機(jī)構(gòu)的特征尺寸進(jìn)行優(yōu)化擬合;李學(xué)剛等[5]通過將五桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行拆分,提出采用傅里葉級數(shù)法對平面五桿機(jī)構(gòu)軌跡代數(shù)求解的方法;丁健生等[6]基于最小二乘法,利用傅里葉級數(shù)對位置點(diǎn)近似逼近,實(shí)現(xiàn)了少位置離散點(diǎn)特征提取的方法;Uesaka等[7]提出了一種將曲線總曲率的復(fù)指數(shù)函數(shù)通過擴(kuò)展的傅里葉系數(shù)展開,從而得到的新的傅里葉描述符,使之適用于開式曲線和閉式曲線的擬合。Yue等[8]構(gòu)建了由常用平面連桿機(jī)構(gòu)生成的開、閉平面曲線庫,從而將連桿曲線生成問題轉(zhuǎn)化為庫搜索問題和局部優(yōu)化問題。

目前采用傅里葉級數(shù)法的連桿軌跡曲線綜合中,由于傅里葉級數(shù)的性質(zhì),多是針對整周采樣點(diǎn)進(jìn)行的連桿曲線擬合。工程實(shí)際中,往往只給出了部分軌跡的采樣點(diǎn),如在包裝機(jī)械中,往往只需要機(jī)構(gòu)滿足一部分軌跡曲線,對整周的軌跡并沒有要求,針對這一問題,研究借鑒了傅里葉描述符的特點(diǎn),通過與最小二乘法結(jié)合,借助遺傳算法,對開式曲線進(jìn)行擬合。

1 開式曲線的傅里葉描述符

在傅里葉級數(shù)理論中,任何周期函數(shù)都可以由正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)組成的無窮級數(shù)表示。通過在復(fù)平面中建立坐標(biāo)系,用傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式表示由連桿運(yùn)動軌跡曲線所形成的復(fù)函數(shù),且此過程可逆。

本篇論文的開式曲線的傅里葉描述符采用最小二乘法,通過定義傅里葉描述符對任務(wù)軌跡曲線進(jìn)行擬合,當(dāng)只給出了部分的連桿運(yùn)動軌跡時,首先建立該連桿機(jī)構(gòu)任務(wù)點(diǎn)的傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)方程,之后將經(jīng)擬合后的傅里葉系數(shù)與復(fù)數(shù)方程的系數(shù)進(jìn)行匹配,根據(jù)復(fù)數(shù)方程中桿件的相互關(guān)系得出連桿機(jī)構(gòu)的各個參數(shù)。

對于平面連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動軌跡可以看做一個復(fù)函數(shù)在復(fù)平面上形成的曲線,當(dāng)連桿曲柄轉(zhuǎn)動一周時,工作點(diǎn)所形成的曲線可以看做周期函數(shù)的采樣,這些采樣點(diǎn)可表示為復(fù)數(shù)形式z(t)=x(t)+jy(t),一個等時間間隔采樣的點(diǎn)數(shù)為N的離散傅里葉逆變換(IDFT)可表示為

(1)

此時z為原函數(shù),An為傅里葉系數(shù),其中n=0,1,…,N-1。則傅里葉系數(shù)An可表示為

(2)

以上公式為封閉曲線的傅里葉展開式。在開式曲線中,由于其采樣點(diǎn)未包含整周采樣點(diǎn)信息,我們無法直接使用傅里葉變換。在此,我們使用最小二乘法去近似擬合曲線的傅里葉系數(shù),稱之為開式傅里葉描述符。它們的形式為

(3)

其中:p為諧波成分的階數(shù),且k∈[-p,p];系數(shù)αk為傅里葉描述符的系數(shù),代表每個圓周運(yùn)動的半徑(為|αk|)和初始相位(為∠αk)的復(fù)矢量,通過首尾相接,分別以角速度kω0運(yùn)動從而得到z(t)[9],這些旋轉(zhuǎn)矢量又叫做諧波分量。

根據(jù)離散傅里葉級數(shù)理論,低階諧波成分用來描述曲線的輪廓,高階諧波成分用于描述曲線細(xì)節(jié)。故階數(shù)越高,傅里葉表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)越多,對曲線的描述也就越精確。當(dāng)諧波成分為3階時,對曲線軌跡點(diǎn)的擬合誤差已經(jīng)小于1%(下文有例證),可以滿足實(shí)際需求,若需要進(jìn)一步提高擬合的精度,則可以通過提高擬合的階數(shù)[10]。

最小二乘法又稱最小平方法,通過最小化平方誤差得到與目標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)匹配的最佳函數(shù)匹配,常用于曲線擬合。采用構(gòu)建誤差函數(shù)進(jìn)行最小二乘法擬合來求解系數(shù)αk,通過最小化Δ值,從而得到最佳的系數(shù)值αk

(4)

式(4)中的z(t)為原始曲線,可將其轉(zhuǎn)為復(fù)數(shù)矩陣形式求解

GX=Y

(5)

對式(5)使用LU分解進(jìn)行運(yùn)算[11]

(6)

其中:θi=ω0ti;k,m∈[-p,p];且p為諧波成分的階數(shù)。至此,經(jīng)過解矩陣方程,我們可以得到矩陣X,矩陣X中各個αm即為軌跡曲線各階次的傅里葉系數(shù)αk,進(jìn)而得到擬合曲線的函數(shù)表達(dá)式z(t)。

2 RRPRR型五桿機(jī)構(gòu)連桿曲線分析

▲圖1 一般位置下滑塊五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖

如圖1所示,該RRPRR型五桿機(jī)構(gòu)有兩個自由度,以曲柄AB與曲柄DC為主動件,轉(zhuǎn)動角速度分別為ω1和ω3,與機(jī)架AD的初始轉(zhuǎn)角分別為δ1和δ3,并設(shè)δ1和δ3的初始的相位差為δh,其中角β為機(jī)架AD與x軸之間的夾角,角θ為連桿BC與機(jī)架AD間的夾角,并隨著連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的時間而變化。A點(diǎn)坐標(biāo)為(xa,ya),BC間的距離l2隨滑塊C的運(yùn)動而變化,滑塊C上固連展桿CP的長度為l0,展桿CP與桿BC之間的夾角為α,當(dāng)曲柄AB和曲柄CD轉(zhuǎn)動時,工作點(diǎn)P運(yùn)動所行成的軌跡即為五桿機(jī)構(gòu)的軌跡曲線。

如圖1,設(shè)曲柄AB與曲柄DC轉(zhuǎn)動的角速度比ω1∶ω3=h∶v,且h和v均為任意整數(shù)。δ1和δ3的關(guān)系為

δ1=δh+δ3

(7)

(8)

通過ABCDA形成的閉環(huán),得到對應(yīng)的矢量方程為

(9)

式(9)的復(fù)數(shù)形式為

(10)

將式(10)取共軛后得到

(11)

將式(9)和式(10)相除消l2后,即可得到以連桿擺動角θ(t)為變量的轉(zhuǎn)角函數(shù)ejθ(t):

(12)

式中:“±”號表示同一機(jī)構(gòu)的兩種構(gòu)型,取“+”號表示該機(jī)構(gòu)為正裝機(jī)構(gòu),“-”號表示該機(jī)構(gòu)為反裝機(jī)構(gòu)。本篇論文采用正裝機(jī)構(gòu),式(12)的轉(zhuǎn)角函數(shù)取正號。

在RRPRR型雙自由度五桿機(jī)構(gòu)中,影響機(jī)構(gòu)工作點(diǎn)P軌跡曲線的因素有:兩原動件角速度比ω1∶ω3以及10個位置參數(shù)l1、l3、l4、l0、α、xa、ya、β、δ1、δ3[12]。其中l(wèi)1、l3、l4為基礎(chǔ)尺寸,l2為關(guān)聯(lián)尺寸與l1、l3、l4的取值有關(guān),在保證桿長l2滿足連桿持續(xù)運(yùn)動條件下,l2的取值不影響連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡。當(dāng)基礎(chǔ)尺寸給定時,展桿參數(shù)l0和α決定工作點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡的形狀和大小,xa、ya和β決定連桿軌跡的位置和方向,δ1的取值與δ3和δh有關(guān),且其中δ1和δ3決定了工作點(diǎn)P的初始位置。

當(dāng)曲柄AB和曲柄DC轉(zhuǎn)動方向相同時,滿足該五桿機(jī)構(gòu)能夠連續(xù)轉(zhuǎn)動的桿長條件為[13]

(13)

當(dāng)連桿機(jī)構(gòu)整周轉(zhuǎn)動時,轉(zhuǎn)角函數(shù)ejθ(t)的傅里葉變換為

(14)

式(14)中:ck為第k次諧波分量的幅值;φk為第k次諧波分量的初相位;θ(t)是連桿BC相對于機(jī)架AD的擺角θ的函數(shù)。

當(dāng)給出的擬合點(diǎn)少于一個周期,即為一個開式曲線時,轉(zhuǎn)角函數(shù)ejθ(t)則不是一個周期函數(shù),不能采用傅里葉變化得到系數(shù)ckejφk的值,但可通過第一節(jié)中最小二乘法擬合的方法獲得。

3 平面五桿機(jī)構(gòu)的諧波特征參數(shù)

如圖2(a)所示,滑塊五桿機(jī)構(gòu)在標(biāo)準(zhǔn)位置下,A點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn),機(jī)架AD與x軸重合,且曲柄DC與機(jī)架AD共線,此時曲柄AB與機(jī)架AD的初始夾角為δh。曲柄AB與曲柄DC轉(zhuǎn)動的角速度比ω1∶ω3=h∶v,且h和v均為任意整數(shù)。

▲圖2 兩種位置下滑塊五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖

代入轉(zhuǎn)角函數(shù)ejθ(t)的傅里葉級數(shù)表達(dá)式后,此時工作點(diǎn)P點(diǎn)的軌跡曲線則通過傅里葉描述符的形式表達(dá),具體為

rP(t)=rAD+rDC(t)+rCP(t)=l4+l3ejvωt+
l0ejα(c0ejφ0+c1ejφ1ejωt+c-1ejφ-1e-jωt+c2ejφ2ej2ωt+
c-2ejφ-2e-j2ωt+…+ckejφkejkωt)

(15)

當(dāng)曲柄DC以恒定角速度vω轉(zhuǎn)動δ3的角位移時,P點(diǎn)的傅里葉級數(shù)展開式為

rP(t)′=l4+l3ejδ3ejvωt+l0ej[α+θ(t+δ3/v)]=
l4+l3ejδ3ejvωt+l0ejα[c0ejφ0+c1ej(φ1+δ3/v)ejωt+
c-1ej(φ-1-δ3/v)e-jωt+c2ej(φ2+2δ3/v)ej2ωt+
c-2ej(φ-2-2δ3/v)e-j2ωt+…+ckej(φk+kδ3/v)ejkωt]

(16)

如圖2(b)所示,一般位置下五桿機(jī)構(gòu)的配置中:A點(diǎn)相對于原點(diǎn)O有R的位置偏移以及μ的角偏移,其坐標(biāo)的向量表示為Rejμ,且機(jī)架AD相對于x軸有β的角度;當(dāng)曲柄DC相對于機(jī)架AD以恒定角速度vω轉(zhuǎn)動δ3的角位移時,曲柄AB以hω的角速度轉(zhuǎn)動,并相對于機(jī)架AD有δ1=δh+hδ3/v的角位移。五桿機(jī)構(gòu)P點(diǎn)軌跡曲線的傅里葉表達(dá)式為

rP(t)′=[Rejμ+l4ejβ+l0c0ej(α+β+φ0)]+
l0c1ej(α+β+φ1+δ3/v)ejωt+l0c-1ej(α+β+φ-1-δ3/v)e-jωt+
[l3ej(δ3+β)+l0cvej(α+β+φv+δ3)]ejvωt…+
l0ckej(α+β+φk+kδ3/v)ejkωt+…

(17)

將式(17)中0次和v次諧波分量的系數(shù)分別進(jìn)行合并,經(jīng)整理得到rp(t)′的傅里葉系數(shù)

(18)

其中:Ck=ckejφk,k為諧波成分的次數(shù),且k∈[-p,p],p為正整數(shù)。

4 基于傅里葉描述符的曲線擬合

首先,針對給定的期望軌跡點(diǎn),傅里葉描述符理論上有無窮多項(xiàng),但對于實(shí)際問題,我們采用有限階數(shù)的傅里葉描述符[14],即可較好近似定義任務(wù)軌跡曲線R

(19)

其中:p為諧波成分的階數(shù),x(t)+jy(t)即為期望軌跡點(diǎn)R在復(fù)平面上的坐標(biāo),期望軌跡點(diǎn)傅里葉系數(shù)Rk的值可由第一節(jié)中的最小二乘法解出。

連桿機(jī)構(gòu)工作點(diǎn)軌跡P通過有限階數(shù)的傅里葉級數(shù)可以近似表示為

(20)

其中:p為諧波成分的階數(shù),Pk為連桿機(jī)構(gòu)軌跡的傅里葉系數(shù)。當(dāng)任務(wù)曲線R與連桿曲線P擬合時,滿足

Rk=Pk,k∈[-p,p]

(21)

于是對于任務(wù)曲線R的傅里葉系數(shù),滿足

(22)

其中:Ck=ckejφk,從R的傅里葉系數(shù)我們觀察到,R0、Rv、Rk均包含展桿參數(shù)l0ej(α+β),定義

(23)

即

K1+jK2=l0ej(α+β)

(24)

針對RRPRR型五桿機(jī)構(gòu)的10個參數(shù),我們設(shè)解集

M={l1、l3、l4、xa、ya、δ3、δh、K1、K2、β}

(25)

連桿機(jī)構(gòu)各桿尺寸按比例縮放不影響連桿轉(zhuǎn)角,為便于程序化求解,將解集M分別定義為解集

(26)

針對多參數(shù)的非線性優(yōu)化問題,目前已經(jīng)有粒子群算法、蟻群算法、遺傳算法等算法,其中遺傳算法是基于生物進(jìn)化理論而產(chǎn)生的隨機(jī)全局優(yōu)化算法,該算法適合較復(fù)雜的優(yōu)化問題,相比于傳統(tǒng)優(yōu)化算法,遺傳算法可以獲得很好的效果[15]。采用遺傳算法計算系數(shù)Rk的最小二乘解,通過最小化誤差函數(shù)I1,使任務(wù)曲線盡可能穿過所提供的目標(biāo)點(diǎn)

(27)

(28)

即誤差函數(shù)的取值與K1、K2無關(guān),由此

(29)

通過優(yōu)化算法對l3/l1、l4/l1、δ3、δh的值進(jìn)行搜索后,當(dāng)I1在許可誤差范圍內(nèi)時,可得到解集M1{l3/l1、l4/l1、δ3、δh、K1、K2},同時也得到了Ckejkδ3/v的值,由式(22)中的v次諧波成分

Rv=l3ej(δ3+β)+Cvl0ej(α+β)ejδ3/v

(30)

將已知量帶入式(30),分離實(shí)部和虛部后相除,消去l3即可獲得β,后代入β即可獲得l3。得到l3后代入解集M1即可得到l1和l4。

由式(23),根據(jù)已知K1、K2、β的值,可解出l0和α。

由式(22)中的0次諧波成分

R0=Rejμ+l4ejβ+C0l0ej(α+β)

(31)

通過代入已知參數(shù),將式(31)分離實(shí)部虛部可得到Rejμ的值,因

Rejμ=xa+jya

(32)

由式(32)即可得xa和ya。

到此已解出l1、l4、l0、α,解集M2{l3、xa、ya、β}的全部參數(shù),RRPRR型五桿機(jī)構(gòu)的連桿參數(shù)已經(jīng)全部解出。

5 綜合實(shí)例

為進(jìn)一步驗(yàn)證開式傅里葉描述符在連桿曲線擬合過程中的實(shí)際效果,給出了兩個應(yīng)用實(shí)例,分別為整周采樣點(diǎn)下的擬合與開式曲線下的擬合。

5.1 整周采樣點(diǎn)下的擬合

整周采樣點(diǎn)下的擬合相當(dāng)于擬合角度為360°,對于開式傅里葉描述符同樣適用。給定32個期望軌跡點(diǎn),如圖3所示,對應(yīng)位置的坐標(biāo)見表1。

表1 期望軌跡的取樣點(diǎn)坐標(biāo)

▲圖3 期望軌跡點(diǎn)

設(shè)定實(shí)例中曲柄AB和曲柄DC傳動比ω1∶ω3為1∶1。根據(jù)給定的坐標(biāo)點(diǎn),使用MATLAB編寫程序,利用遺傳算法對坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行擬合,擬合誤差為1.0850e-05,擬合效果如圖4所示。

▲圖4 整周采樣點(diǎn)下的擬合

從32個取樣點(diǎn)中,計算不同階數(shù)下的擬合誤差,隨機(jī)選取其中7個擬合點(diǎn)為例,列出不同階數(shù)下軌跡點(diǎn)的擬合誤差,如表2。

表2 各個位置點(diǎn)在不同階數(shù)下的擬合誤差

從表2中可以看出,當(dāng)階數(shù)k為3階時,坐標(biāo)點(diǎn)的擬合誤差已經(jīng)小于1%;當(dāng)階數(shù)為5時,擬合誤差已經(jīng)減少到0.5%以下。

5.2 開式曲線下的擬合

在某紙盒生產(chǎn)過程中,需要將紙張從紙張定位裝置移送到紙堆,從而完成紙張的送料,如圖5所示。

▲圖5 紙張送料示意圖

根據(jù)預(yù)定的紙張移動軌跡,從軌跡中選取16個點(diǎn)作為期望的軌跡點(diǎn),并設(shè)曲柄AB和曲柄DC的傳動比ω1∶ω3為1∶1,坐標(biāo)點(diǎn)如表3。

表3 給定的擬合坐標(biāo)點(diǎn)

因擬合的路徑是開式曲線,我們需要設(shè)定其擬合的角度,分別為110°、120°、130°、140°,擬合效果如圖6所示。

根據(jù)擬合的結(jié)果,當(dāng)擬合角度為120°時,擬合誤差最小,擬合效果滿足預(yù)期,得出的數(shù)據(jù)如下:

通過分離實(shí)部和虛部,可以解出解集M2={l3、xa、ya、β},其中

▲圖6 不同擬合角度的擬合誤差

由K1、K2以及β的值,求解出α以及l(fā)0的值。

α=1.109 0,l0=3.810 6

由以上的公式,可以得知該擬合的RRPRR型五桿機(jī)構(gòu)的10個參數(shù),匯總?cè)缦?

機(jī)架原點(diǎn)A的坐標(biāo)(xa,ya)為:(41.982 4,11.947 6);

曲柄AB的桿長為17.287 9 mm;

曲柄CD的桿長為13.200 1mm;

機(jī)架AD的長度為17.050 2 mm;

機(jī)架AD與x軸夾角β為0.460 6 rad;

曲柄AB初始角度δ1為1.137 4 rad;

曲柄CD初始角度δ3為0.209 3 rad;

連桿CP的長度為3.810 6 mm;

連桿CP與BC間夾角α為1.109 0 rad。

因此,本實(shí)例選用擬合角度擬合角度為120°時的機(jī)構(gòu)作為紙張輸送機(jī)構(gòu)。

6 結(jié)論

研究采用基于傅里葉描述符的最小二乘法擬合連桿軌跡曲線,并給出了該方法在RRPRR型五桿機(jī)構(gòu)開式曲線的擬合過程,取得了較好的擬合效果,為后續(xù)連桿機(jī)構(gòu)開式曲線的擬合提供了可借鑒的方法。在綜合案例中,采用的遺傳算法通過給定不同的擬合角度對其進(jìn)行擬合求解,從而獲得滿足預(yù)期結(jié)果的連桿機(jī)構(gòu)。經(jīng)過改造的傅里葉描述符克服了原有必須取樣整周期采樣點(diǎn)的連桿曲線擬合,更加符合實(shí)際工程應(yīng)用。