高速列車跟蹤的有限時間復(fù)合控制器設(shè)計

宋躒為

（大連交通大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116028）

目前，中國高速列車技術(shù)不斷發(fā)展。相應(yīng)地，對列車的狀態(tài)實現(xiàn)有效監(jiān)測，及時跟蹤運行軌跡，是高鐵運輸行業(yè)的重中之重。目前，對于列車運行狀態(tài)的分析，主要采用多質(zhì)點模型[1-2]方式。該模型相較于單質(zhì)點模型[3]，充分考慮了相鄰車廂之間的耦合作用力——車鉤力，因此，能夠更好地對高速列車的縱向運動狀態(tài)進行描述，并且已有相關(guān)研究應(yīng)用于高速列車的跟蹤控制。

由于高速列車的高速運行特性，在較短的時間范圍內(nèi)，盡管非常小的作用力作用于相鄰車廂，但它們之間的相對位移也有可能發(fā)生較大的變化，從而導(dǎo)致列車發(fā)生脫鉤事故。因此，在限定的時間內(nèi)研究高速列車的穩(wěn)定性問題更有意義。高速列車在運行過程中受到附加阻力和運行噪聲等諸多外部擾動的影響，因此，在擾動條件下，研究高速列車的有限時間有界性（Finite Time Boundness，F(xiàn)TB）更為重要[4-5]。列車在運行過程中會受到陣風的干擾，所以陣風阻力對于研究高速列車的跟蹤控制往往是不可忽視的重要因素[6-7]。另外，旅客人數(shù)及行李箱的增減、戴維斯系數(shù)變化等不確定性因素對于列車的運行有著不可忽視的影響。盡管有學(xué)者通過分析強風條件下的空氣阻力變化，將滑?？刂破鱗8]用于消除模型誤差，但是該方法忽略了系統(tǒng)輸入時滯的影響。

綜上所述，本文考慮輸入時變時滯、可建模陣風和系統(tǒng)不確定性等因素對于高速列車的影響，提出了一種基于擾動觀測器的有限時間復(fù)合控制器。該控制器包括反饋控制項和擾動補償項，其中擾動補償項能有效地估計陣風擾動，進而有效地實現(xiàn)高速列車的有限時間跟蹤控制。

1 高速列車動力學(xué)系統(tǒng)建模

首先，車鉤力的運動可近似為：f（xi）=kxi+，k＞0 是剛性系數(shù)，d是阻尼系數(shù)?？紤]列車的運行阻力Ra=c0+cvv+cav2，v為列車速度，c0、cv、ca為戴維斯系數(shù)，則得到高速列車的動力學(xué)方程如下：

式中：為i和i+1 節(jié)車間相對位移；、mi和為i車速度、質(zhì)量和相對控制力；為附加阻力，dr（t）∈Rs；g（t）∈Rr，為僅作用于頭車的陣風[4]。

式中：各系數(shù)形式詳見文獻[9]；ΔA和ΔB為狀態(tài)和輸入不確定性，ΔA=M1F1（t）N1，ΔB=M2F2（t）N2，F(xiàn)iT（t）Fi（t）≤I。

其中，T為有限時間窗，ε1＞0、ε2＞0。

陣風g（t）可建模為：

在式中，未知擾動w（t）∈Rη，L1、L2與擾動幅值有關(guān)，W與擾動頻率有關(guān)。

2 基于擾動觀測器的有限時間復(fù)合跟蹤控制器

本節(jié)中，首先針對g（t）設(shè)計擾動觀測器：

式中：H為待設(shè)計的增益矩陣；W1=W+HGL1。

由式（2）—（4）可得：

假設(shè)1：rank（B）=rank（[B G]）。

引理1[10]：若假設(shè)1 成立，則存在矩陣B*，使得下式成立。

基于式（5）和式（6），設(shè)計如下的控制器：

其中，反饋控制項u1（t）和擾動補償項u2（t）的具體形式為：

其中，待設(shè)計增益矩陣K∈Rn×（n-1）。令l（t）=t－tk，則式（8）中第一個方程改寫為

將式（5）中第一個方程和式（7）代入式（2）可得：

定義1[11]：給定正標量c1＞0，T＞0，加權(quán)矩陣U＞0，對于系統(tǒng)若有（c1、c2是常數(shù)），則（t）關(guān)于（c1，c2，U，T）是FTB 的。

令y（t）∈Rm=（t），假設(shè)（0）=0，本文設(shè)計有限時間復(fù)合跟蹤控制器式（7），使得t∈[0，T]，性能指標①和②成立： ①對于任意非零式（9）中的誤差動態(tài)（t）關(guān)于（c1，c2，U，T，ε1，ε2，εd）是FTB 的；②

引理2：對于矩陣Z＞0，標量τ＞0，均有成立。

引理3：對于任意實矩陣χ1、χ2及Ω（t），若有ΩT（t）Ω（t）≤I成立，則存在任意正標量μ，使下式成立。

定義sym（J）=J+JT，基于引理2 及引理3，給出定理1。

定理1：給定加權(quán)矩陣U，正標量c1、μ（ii=1，2）、εi（i=1，2）和εd，若存在對稱正定矩陣、、及R，矩陣Y1=、Y2=RH，正標量γ1、γ2、γd、σ和c2，使得下式成立。

則性能指標①和②同時得到滿足。式（11）中，對稱矩陣Θi，j滿足下列關(guān)系：矩陣中其他元素為零。

證明：選擇如式（13）所示的Lyapunov 候選函數(shù)。

對V（t）求導(dǎo)，且由引理2 及可得：

故有：

其中，X11=sym（PA）+Q－q-1Z+κG1TG1，X22=-eαqQ－q-1Z，X55=symR（W+HGL1），*為矩陣中對稱元素。

由V（t）的定義，易知-αV（t）≤-αV1（t）－αV2（t）；另外，考慮υ（t）的定義，則由式（16）和（17）可得：

基于Schur 補引理及引理3，則由式（18）可得：

其中， 對陣矩陣Λ i，j滿足以下關(guān)系：矩陣中其他元素為零。

另一方面，式（11）可重新表示為：

其中，與Ψ的行數(shù)相同，且滿足以下條件。12 中各元素為：

易知≥0，故可進一步得到Ψ＜0；基于Schur補引理，則Ψ＜0 等價于：

其中，對稱矩陣Υ i，j滿足以下關(guān)系：。矩陣中其他元素為零。

對式（18）從0 到T積分，基于Granwall 不等式可得：

由式（13）可知：

式（28）符合定義1，即若有定理1 成立，則有性能指標①得到滿足。

類似的，由式（12）可得：

對式（29）從0 到T積分，考慮到V（t）≥0，則由Gronwall 不等式可得：

即，若有定理1 成立，則性能指標②得到滿足。

綜上所述，LMI（13）和LMI（14）保證性能指標①和②同時得到滿足，故定理1 證畢。

3 仿真分析

在本節(jié)中，給出6 車模型的高速列車數(shù)值仿真算例，以驗證設(shè)計方案的有效性。與高速列車動力學(xué)模型有關(guān)的仿真參數(shù)選取如表1 所示。另外，系統(tǒng)的測量輸出矩陣C選擇為C=I9。

表1 高速列車仿真參數(shù)

令α=0.001，c1=4.33，q=0.2，κ=0.6，μ1=0.1，μ2=0.1，T=550，U=I11，由定理1 得到γ1=0.1、γ2=0.1 和γd=1.450 8，則求解得到控制器增益K和H的值，因K和H的維數(shù)較大，故此處略去。利用設(shè)計的有限時間復(fù)合跟蹤控制器進行跟蹤控制，得到的陣風估計結(jié)果和狀態(tài)跟蹤結(jié)果如圖1 和圖2 所示。狀態(tài)跟蹤的均方根誤差（Root Mean Square Errors，RMSEs）如表2、表3 所示。

圖1 陣風估計結(jié)果

圖2 相對位移和相對速度的跟蹤結(jié)果

表2 相對位移跟蹤的RMSEs

表3 相對速度跟蹤的RMSEs

由圖1 可知，設(shè)計的擾動觀測器能夠精確地估計陣風的真實值。由圖2 可知，基于擾動觀測器，設(shè)計的有限時間復(fù)合控制器能有效地實現(xiàn)高速列車的跟蹤控制。表2、表3 進一步證明了設(shè)計的有效性。經(jīng)計算，陣風估計的RMSEs 為0.125 0，表明陣風估計較為精確，從而使相對位移和相對速度跟蹤誤差均相對較小，如表2、表3 所示，相對位移的跟蹤誤差均未超過2×10-3，而相對速度跟蹤誤差均未超過3×10-2。

綜上，本文設(shè)計的基于擾動觀測器的有限時間復(fù)合控制器，不僅能有效估計陣風擾動，而且能保證閉環(huán)誤差系統(tǒng)對于系統(tǒng)不確定性和外部擾動的FTB，以及測量輸出對于系統(tǒng)不確定性和外部擾動的魯棒性能，從而有效地實現(xiàn)了對高速列車位移和速度的有限時間跟蹤控制。

4 結(jié)論

本文考慮系統(tǒng)的不確定性、陣風和外部擾動的影響，針對高速列車的位移和速度跟蹤控制問題，提出了一種基于擾動觀測器的有限時間復(fù)合控制策略。設(shè)計的復(fù)合控制器包括采樣反饋控制項及擾動補償項，視采樣反饋控制項為輸入時變時滯，建立了時變時滯誤差系統(tǒng)，并將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為LMI問題。給出仿真算例，通過仿真結(jié)果和分析，得出如下結(jié)論：設(shè)計的擾動觀測器能夠有效地估計陣風的真實值；基于設(shè)計的擾動觀測器，提出的有限時間復(fù)合控制器保證了誤差動態(tài)對外部擾動和不確定的FTB；提出的有限時間復(fù)合控制器保證了測量輸出對于外部擾動和不確定的有限時間魯棒性。