基于數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系的解題策略探究

摘 要：數(shù)學(xué)解題應(yīng)把“聯(lián)系”的觀點貫穿解決問題的全過程，解題教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，有效促進(jìn)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高對數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識；內(nèi)在聯(lián)系；解題策略；探究

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0067-03

活動是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本形式，思考是數(shù)學(xué)的核心問題.如何提升學(xué)生的解題能力，重要的不是研究教師怎樣講，而是研究如何創(chuàng)設(shè)良好的問題情境，讓學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗，在思考與活動中經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程.通過知識內(nèi)在的聯(lián)系將相關(guān)知識整合融通，使知識上下溝通、左右逢源，使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、整體化，以達(dá)到在頭腦中建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

1 題目呈現(xiàn)

題目 已知菱形ABCD，E為AD中點，且BE=3，則菱形ABCD面積的最大值為.

題目以平面圖形菱形為背景考查面積最值，學(xué)生在解題思考時可從平面幾何、三角函數(shù)、向量相關(guān)知識入手，對題目條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.學(xué)生在閱讀完題目條件后能瞬間聯(lián)想到相關(guān)知識點，看似起點低，但真正動筆演算時卻發(fā)現(xiàn)解答的落腳點很高，在考場上臨場解答非常有難度.下面我們從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，尋找題目條件與相關(guān)知識的內(nèi)在聯(lián)系，探究本題的解法（為了解題方便，不妨設(shè)AB=a，∠EAB=θ）.

2 題目探究

探究策略1 余弦定理+斜率轉(zhuǎn)化.

題目已知中線長度求面積，學(xué)生很自然地聯(lián)系到利用余弦定理將邊角轉(zhuǎn)化，通過菱形的邊長和夾角以及中線建立關(guān)系，再利用三角形面積公式將面積統(tǒng)一到角度θ.對于分式形式的三角函數(shù)最值問題可聯(lián)系到圓的參數(shù)方程（三角代換），將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題中的斜率.

評注 海倫公式S=p（p-a）（p-b）（p-c）（p=a+b+c2）是聯(lián)系三角形面積與邊長最直接的工具.在本題△ABE中，已知BE=3，AB=2AE，故很容易想到直接利用海倫公式求解面積，后邊對于最值的處理可以運(yùn)用基本不等式，也可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，還可以換元（令t=x2）后利用二次函數(shù)求解.

數(shù)學(xué)是一個整體，不同的數(shù)學(xué)知識之間存在著緊密的、重要的聯(lián)系.學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)理解的同時，應(yīng)當(dāng)能溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系［2］.但是，由于知識在教材中的呈現(xiàn)是相對獨(dú)立的，教學(xué)又是以課時為單位設(shè)計學(xué)習(xí)內(nèi)容，加上學(xué)生受到認(rèn)知發(fā)展的限制，在沒有引領(lǐng)的情況下，往往不容易發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)聯(lián).因此在解題教學(xué)中，教師應(yīng)利用適當(dāng)?shù)男问胶头椒◤臄?shù)學(xué)的邏輯上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在解題的過程中不斷地探索，進(jìn)而展示數(shù)學(xué)知識的整體性與數(shù)學(xué)方法的一般性.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉雪明.通過一題多解溝通知識聯(lián)系發(fā)展數(shù)學(xué)思維[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2022（07）：45-46.

[2] 李小蛟.基于學(xué)生視角的解題策略探究案例[J].理科考試研究，2021，28（17）：14-16.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：李小蛟（1984.10-），男，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：成都市名師專項課題“初高中數(shù)學(xué)銜接與教材整合實踐探究”（項目編號：CY2018M30）